重心.doc

三者定义1、 重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。(与组成该物体的物质有关) 重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。 说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。质心和重心的关系就好象质量与重量的关系3、 形心：物体的几何中心。(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。 一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。 当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； 只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的 形心。重心重心在工程中具有重要的意义。例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。本节介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。一、重心的概念及其坐标公式地球表面附近的物体，都受到地球引力的作用。地球对其表面附近物体的引力称为物体的重力，重力的大小称为物体的重量。重力作用在物体的每一微小部分上，为一分布力系，这些分布的重力实际组成一个空间汇交力系，力系的汇交点在地心处。可以算出，在地球表面相距30m的两点上，重力之间的夹角也不超过1 。因此，工程上把物体各微小部分的重力视为空间平行力系是足够精确的，一般所说的重力，就是这个空间平行力系的合力。一个不变形的物体（即刚体）在地球表面无论如何放置，其平行分布的重力的合力作用线，都通过该物体上一个确定的点，这一点就称为物体的重心。所以，物体的重心就是物体重力合力的作用点。一个物体的重心，相对于物体本身来说就是一个确定的几何点，重心相对于物体的位置是固定不变的。下面根据合力矩定理建立重心的坐标公式。如图3-20所示，取直角坐标系Oxyz，其中z轴平行于物体的重力，将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，设物体的重心以C表示，重心的坐标为xC、yC、zC。图3-20物体的重力为应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有(1)由式(1)即可求得重心的坐标xC、yC。为了求坐标zC，可将物体固结在坐标系中，随坐标系一起绕x轴旋转90，使y轴铅垂向下。这时，重力W与Wi都平行于y轴，并与y轴同向，如图3-20中带箭头的虚线所示。然后对x轴应用合力矩定理，有（2）由式(1)和(2)得到物体重心C的坐标公式为(3-22)如果物体是均质的，这时，单位体积的重量=常量。以Vi表示微小部分Mi的体积，以V=Vi表示整个物体的体积，则有 和 ，代入式(3-22)，得(3-23)这说明，均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于物体的大小和形状。所以，均质物体的重心又称为形心。确切地说：由式(3-22)所确定的点称为物体的重心；由式（3-23）所确定的点称为几何形体的形心。对于均质物体，其重心和形心重合在一点上。非均质物体的重心与形心一般是不重合的。 如果将物体分割的份数为无限多，且每份的体积无限小，在极限情况下，式(3-23)可改写成积分形式 (3-24)一些简单几何形状的均质物体的重心（形心），都可由积分公式(3-24)求得。表3-2列出了几种常用物体的重心（形心），可供查用。工程中常用的型钢（如工字钢、角钢、槽钢等）的截面的形心，可从机械设计手册中查得。名称图形形心坐标线长、面积、体积三角形在三中线交点面积梯形在上、下底边中线连线上面积圆弧弧长扇形面积弓形面积抛物线面面积抛物线面面积半球形体面积二、质心的概念及其坐标公式如图3-21所示，设质点系由n个质点组成，第i个质点Mi的质量为mi，相对于固定点O的矢径为ri，整个质点系的质量为 ，则质点系的质量中心（简称质心）C的矢径为(3-25)图3-21质心反映了质点系质量分布的一种特征，它是质点系中一个特定的点。当质点系中各质点的相对位置发生变化时，质点系质心的位置也随之改变。而刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，其内各质点的相对位置是固定的，因此刚体的质心是刚体内某一确定点。质心的概念及其运动在动力学中具有重要地位。式(3-25)的矢量式一般用于理论推导，而在实际计算质心位置时，常用直角坐标形式。如图3-21所示，取直角坐标系Oxyz，第i个质点Mi的坐标为xi、yi、zi，质心的坐标为xC、yC、zC。由式(3-25)分别向x、y、z轴投影，得(3-26)式(3-26)为质点系质心的坐标计算公式。对于质量均匀分布的刚体，单位体积的质量（密度）=常量。以Vi表示微小部分Mi的体积，以V=Vi表示整个物体的体积，将 代入式(3-26)，可得式（3-23）。可见，均质刚体的质心和形心的位置是重合的。在地球表面附近，重力与质量成正比，将 代入式(3-22)，可得式（3-26），因此，在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。应当注意，质心和重心是两个不同的概念。重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。三、确定物体重心位置的方法前面所述的重心和形心坐标公式，是确定重心或形心位置的基本公式。在实际问题中，可视具体情况灵活应用。对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种工程中常用的确定重心位置的方法。 1.组合法工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体组成的，这些简单形体的重心通常是已知的或易求的，这样整个组合形体的重心就可用式(3-23)直接求得。2.负面积法如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积），仍可利用式(3-23)来求形体的重心。3.实验法（平衡法）如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。(1)悬挂法对于形状复杂的薄平板，确定重心位置时，可将板悬挂于任一点A，如图3-24a所示。根据二力平衡原理，板的重力与绳的张力必在同一直线上，故物体的重心一定在铅垂的挂绳延长线AB上。重复使用上法，将板挂于D点，可得DE线。显然，平板的重心即为AB与DE两线的交点C，如图3-24b所示。图3-24(2)称重法对于形状复杂的零件、体积庞大的物体以及由许多构件组