高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 1 二面角 做一做1在正方体abcd a1b1c1d1中 二面角d1 ab d的平面角的大小是 答案 45 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 平面 与平面 垂直 记作 2 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直 如图所示 3 判定定理 做一做2在三棱锥p abc中 已知pa pb pb pc pc pa 如图 则在三棱锥p abc的四个面中 互相垂直的面有对 解析 平面pab 平面pac 平面pab 平面pbc 平面pac 平面pbc 答案 3 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有无数个 2 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角相等或互补 3 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 4 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明两个平面垂直 例1 如图 已知 bsc 90 bsa csa 60 又sa sb sc 求证 平面abc 平面sbc 思路分析 方法一 取bc的中点d 证出 ads为二面角a bc s的平面角 通过计算得到 ads 90 方法二 先证出点a在平面sbc上的射影d为 sbc的外心 即为斜边bc的中点 再证ad 平面sbc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明 方法一 bsa csa 60 sa sb sc asb和 asc是等边三角形 则有sa sb sc ab ac 令其值为a 则 abc和 sbc为共底边bc的等腰三角形 取bc的中点d 如图 连接ad sd 则ad bc sd bc ads为二面角a bc s的平面角 在rt bsc中 sb sc a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 方法二 sa sb sc 且 bsa csa 60 sa ab ac 点a在平面sbc上的射影为 sbc的外心 sbc为直角三角形 点a在 sbc上的射影d为斜边bc的中点 ad 平面sbc 又ad 平面abc 平面abc 平面sbc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1在本例中 若sa sb sc 2 其他条件不变 如何求三棱锥s abc的体积呢 解 由方法一或方法二可得sd ad sd bc ad bc d sd 平面abc 即sd的长就是顶点s到底面abc的距离 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 求二面角的大小 例2 导学号96640052如图 已知四边形abcd是正方形 pa 平面abcd 1 二面角b pa d平面角的度数为 2 二面角b pa c平面角的度数为 思路分析 先依据二面角的定义找相应二面角的平面角 然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值 最后指出二面角的平面角的大小 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解析 1 pa 平面abcd ab pa ad pa bad为二面角b pa d的平面角 又由题意 bad 90 二面角b pa d平面角的度数为90 2 pa 平面abcd ab pa ac pa bac为二面角b pa c的平面角 又四边形abcd为正方形 bac 45 即二面角b pa c平面角的度数为45 答案 1 90 2 45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2在题设条件不变的情况下 若pa ad 求平面pab与平面pcd所成的二面角的大小 解 cd 平面pab 过p作cd的平行线l 如图 由pa cd cd ad pa ad a 知cd 平面pad 从而cd pd 又cd l l pd dpa为平面pab和平面pcd所成二面角的平面角 为45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 垂直关系的综合应用 例3 导学号96640053如图 在四棱锥p abcd中 底面是边长为a的正方形 侧棱pd a pa pc a 1 求证 pd 平面abcd 2 求证 平面pac 平面pbd 3 求证 二面角p bc d是45 的二面角 思路分析 1 转化为证明pd dc与pd ad 2 转化为证明ac 平面pbd 3 先证出 pcd为二面角p bc d的平面角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明 1 pd a dc a pc a pc2 pd2 dc2 pd dc 同理可证pd ad 又ad dc d pd 平面abcd 2 由 1 知pd 平面abcd pd ac 而四边形abcd是正方形 ac bd 又bd pd d ac 平面pbd 同时ac 平面pac 平面pac 平面pbd 3 由 1 知pd bc 又bc dc bc 平面pdc bc pc pcd为二面角p bc d的平面角 在rt pdc中 pd dc a pcd 45 二面角p bc d是45 的二面角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错认二面角的平面角典例如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 四边形abcd是正方形 且pa 2ad 二面角p cd a的平面角为 则tan 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错解 连接ac pa 平面abcd pca是二面角p cd a的平面角 pca 在 pac中 pa ac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错因分析 错解中 错认为 pca是二面角p cd a的平面角 其实不然 其原因在于pc ac与二面角p cd a的棱cd不垂直 正解 pa 平面abcd cd 平面abcd cd pa 又cd ad 且pa ad a cd 平面pad pd 平面pad cd pd pda是二面角p cd a的平面角 在rt pad中 pa ad pa 2ad 答案 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 2 cc1 二面角c1 bd c的大小为 解析 如图 连接ac交bd于点o 连接c1o c1d c1b o为bd中点 c1o bd ac bd c1oc是二面角c1 bd c的平面角 答案 30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 解析 m n n m 又m 答案 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 二面角d1 bc d的平面角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 解析 在正方体abcd a1b1c1d1中 bc cd bc cc1 cd cc1 c bc 平面d1c 又d1c 平面d1c bc d1c d1cd是二面角d1 bc d的平面角 在 d1cd中 d1d cd d1d cd d1cd 45 即二面角d1 bc d的平面角的大小是45 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 3 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 解析 设平面 外的点为a 平面 内的点为b 过点a作面 的垂线l 若点b恰为垂足 则所有过ab的平面均与 垂直 此时有无数个平面与 垂直 若点b不是垂足 则l与点b确定唯一