习题课讲义(多元微积分).doc

第六讲：多元函数的微分法及其应用一、 二元函数的极限与连续1、 二元函数的定义：设有三个变量、与，如果对于、所能取的每一对值，按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称是、的函数，记作， 。注：这里的为定义域或定义区域。区域：连通的开集，也称开区域。应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：比如：为有界开集；为有界闭集； 为无界开集；为无界闭集。例已知，求：解：记：、，即、，故。2、 二重极限：，当时，恒有。注1：二重极限中：要求“以任何方式”、“同时”进行。如果函数沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使时极限不存在，则不存在；如果函数沿两条不同的路径（或以两种不同的方式）使时极限不存在，则不存在。注2：要注意二重极限：与二次极限或的差别；例：设函数讨论。解：取，随的不同而变化，因此不存在。注：的存在性与二次极限、的存在性无关：取（），但、均不存在，（、均不存在），反例更多。3、二元函数的连续性：设二元函数在的某个邻域内有定义，若或记全增量，或，当时，恒有，则称在处连续。若在内处处连续，则称函数在内连续；函数不连续的点称为的间断点。若函数在有界闭区域上连续，则在上必有界，且能取得最大值和最小值。也必取得介于最大值和最小值之间的任何值。3、 例子例1（1）；（2）； （3）令，则；注：时，是变量，也在变化，不能把看成常量；比如： 不存在。 （4）因为，不妨设，由知，从而，由得；（5）（6），由，其中；且，故。注：求（证明）二重极限（存在）时，一般先估计二重极限是否存在，若估计存在，则可利用函数连续性或夹逼原理或等价无穷小等。例2讨论函数在点处的连续性解取，取，故不存在，因此论函数在点处不连续。二、 二元函数的微分法1、 偏导数（1）一阶偏导数：设函数在点的某个邻域内有定义，。其中：、称为关于、的偏増量。几何意义：表示曲线在点处的切线对轴的倾斜角的正切。（2）二阶偏导数： 、称为二阶偏导数，其中、称为二阶混合偏导数。定理：若的两个二阶混合偏导数、在区域内连续，则在内必有。2、 全微分（1）若在点处全增量可表示为，其中、不依赖于、，则称在点处可微，其中称为在点处的全微分，记作。（2）偏导数连续、函数可微与偏导数存在的关系 具有一阶连续偏导数可微、存在，且或连续或方向导数存在注1：可通过讨论：是否趋于零，确定在点处是否可微；若，则在点处可微，若，则在点处不可微；比如：函数由，及取得知在点处不可微。本题还可说明：函数不可微但偏导数存在。注2：偏导数存在但函数不连续：比如：函数在点处存在偏导数（可由定义得），但不连续（可取、及讨论）。偏导数不存在但函数连续：比如：函数在点处偏导数不存在但函数连续。3、方向导数与梯度（1）；（2）若在点处可微，则在点处各方向的方向导数均存在，且；（3）设在点处 具有一阶连续偏导数，称为在点处的梯度，记作。（4）若具有一阶连续偏导数，则，其中，且说明：方向导数沿梯度方向达到最大值，且最大值等于梯度的模。例求函数（其中常数、）在已知点处沿此点的向径的方向导数，并问当、为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。解，其中；又，由，比较系数得；注：由，即， 得，也即梯度方向与所求方向导数的方向一致，故，即。4、多元复合函数的求导法则设函数具有一阶连续偏导数，、具有偏导数，则函数具有偏导数，且注1：上述法则的条件若改为：函数及、可微，则可给出下列证明：由，及，得 及比较得。注2：在求多元复合函数的导数时，应尽可能地用图解法表示函数的复合关系（分清中间变量与自变量） 非具体表达式的函数求偏导数时，应正确使用偏导记号： 、等，并注意它们仍是复合函数，且复合关系与一致。例1设，求、：解 ，故，。例2设，求，其中、具有二阶连续（偏）导数。解 ； 例3设函数，其中、分别具有阶、阶导数，求。解 ，故例4设，其中具有二阶连续偏导数，求解， 例5设函数满足方程，其中具有二阶连续偏导数，具有不同时为零的偏导数、，求：解 在方程两端关于求偏导数，得 （1）两端关于求偏导数，得 （2）由偏导数、不同时为零，故，即。例6设、变换方程：解， ，同理，代入原方程得。注：由方程得及，即（其中、为任意具有二阶连续可导的函数）为方程的通解。例7设，则 。解：由得，故；例8设向量，函数在点处可微且，则 。解：由，解得，因此。例9设函数具有二阶连续偏导数，且，证明：。证明：根据题意，在直线上：，故，例10设非零函数具有二阶连续偏导数，证明的充分必要条件为。证明：必要性：（略）充分性：由，即，得,即，亦即，即4、隐函数导法则（1）条件：函数在点的某邻域内具有一阶连续偏导数；结论：在点的某邻域内恒能确定一个（单值）连续且具有连续导数的函数，使，。（2），确定：，使，（3），确定：、可通过微分：后解出、。例1设函数由方程确定，试求、：解一设， ，则，其中由方程确定。解二在两端关于求导：，得 （下同）解三 在两端微分：，得 ，（下同）例2设、由方程组确定，求、：解一 在方程组两端微分：，整理得，即，；解二 在方程组两端关于求导：，整理得，类似得，。例3 设，其中由方程确定，求对的导数，其中函数、均可微。解一由确定，由整理得，又，由方程确定，故，因此 解二将微分：，消去，得。例4设函数、由方程组确定，试求、：解将方程组微分：，消去，得，即；，即；例5设函数，在点的某个邻域内连续且具有一阶连续偏导数，试求、；解设，、在点的某个邻域内连续且具有一阶连续偏导数，且，故在点的某个邻域内存在连续且具有一阶连续偏导数的反函数、。由，得，因此，。例6求由方程（其中为常数）所确定的函数在的范围内的极值。解由，令，得，代入原方程得驻点，由知当时，取得极值。三、偏导数在几何上的应用1、空间曲面的切平面方程及法线方程（1）空间曲面方程：，其中具有连续偏导数、且不同时为零，为曲面在点处的法线向量，点处的切平面方程为法线方程为（2）空间曲面方程：，其中具有连续偏导数，或为曲面在点处的法线向量，点处的切平面方程为：法线方程为2、空间曲线的切线方程及法平面方程（1）空间曲线方程：，其中、具有连续导数且导数不同时为零。为空间曲线在对应点处的切线向量，空间曲线在对应点处的切线方程为法平面方程为。（2）空间曲线方程：，其中、具有连续偏导数，且，点处的切线方程为注：空间曲线的切线可看作为组成该空间曲线的两曲面的切平面的交线（3）椭球面在点处的切平面方程为3、例子例1求曲线与平面平行的切线方程。解，由，即，其中，故，得，；所求切线方程为或。例2试求曲面上垂直于直线的切平面方程。解，已知直线的方向向量，由得，即切点为及；所求切平面方程为及，即及 例3求空间曲线在点处的切线方程：解只要考虑空间曲面在点处的切平面，由得及，这样，该曲面在点处的切平面方程为，即，故所求切线方程为。例4求空间曲线在点处的切线方程：解，故所求切线方程为，即。例5试证曲面：上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为。解 ，任取，点处的切平面方程为，即；即，截距之和为。例6设曲面：，点，试证曲面在点处的法线垂直于直线（其中为坐标原点）。证明：，故，即曲面在点处的法线垂直于直线。例7设函数具有不同时为零的一阶连续偏导数，试（1）写出曲面：（其中）上任一点处的切平面方程；（2）证明该曲面上任一点的法线向量都与某确定的向量正交（垂直）并写出该向量。解（1）任取，在点处的切平面方程为；（2）取确定的常向量，由，即，整理得：，由、不同时为零，知，及，若取，则，即有非零向量。四、多元函数的极值1、在点处取得极值的必要条件：设函数在点处可微，若在点处取得极值，则，；点称为函数的驻点。2、在点处取得极值的充分条件：设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，记，则当时，在点处取得极值，且时取得极大值，时取得极小值；当时，在点处无极值；当时，不能确定。在点处是否有极值。3、 最大（小）值：设为有界闭区域，；注：必在内取得极值，且在内有唯一的驻点，则；4、 条件极值问题：考虑目标函数在约束条件下的极值：取，则由得驻点，并判断出其是否为问题的解。问题：考虑目标函数在约束条件下的极值：取，则由，得驻点，并判断出其是否为问题的解。例1（1）在平面上求一点，使其到个定点的距离平方和为最小。解设，令，得，由，故为所求。（2）求函数在区域上的最大值和最小值：解：在区域内按无条件极值处理，在边界上按条件极值处理；（1） 当时，由，得点，其对应函数值；（2） 当时，在上的最大值为、最小值为；（3） 当且、时，（本题也可作讨论）取，由得、，其对应函数值，比较上述函数值得在区域上的最大值为、最小值为。例2设有曲面：，平面：，求曲面与之间的最短距离。解任取，令，得，故。注：本题也可设，通过得解。例3已知平面上两定点、，试在的椭圆上求一点，使的面积最大解设点坐标为，则，令，由，及，得，故；又，、，有，因此最小，最大注：本题容易将误认为是最大值，应注意：最值可以在边界处取得。例4在椭球面上求一点，使得函数沿点到点的方向导数具有最大值。解，取，令 ， 得点及，经验证为解。例5设曲线：，其中具有一阶连续偏导数，为曲线外的一点，是点到曲线的最短距离，其中为曲线上的点，证明就是曲线的法线。解只需证明垂直与曲线在点处的切线。记曲线在点处的切线为，点及的坐标分别为、，由是点到曲线的最短距离，显然有函数取得最小值。故令，由，得，这就是直线的方程，其斜率为；又，曲线在点处的切线的斜率为，由知，即就是曲线的法线。例6已知，为正数，在位于第一卦限的球面上找一点，使函数在此点具有最大值，并用此结论证明对于任意正实数、，恒有。解设，由得，；故，即，故，记，得。第七讲：重积分一、 二重积分的概念及性质1、定义：设函数在有界闭区域上有界，将任意地划分成个小区域，其中也表示该区域的面积，记；任取，；若存在，则称在上可积，此极限为在上的二重积分，记作。注：若函数在有界闭区域上连续，则存在。（连续可积）2、性质：设、在上可积，则（1）线性性：；（2）对区域的可加性：设由、组成，则；（3）保序性：若，则；推论：若，则；若，则；(4)中值定理：设在有界闭区域上连续，在上可积且不变号，则至少存在一点，使。3、利用对称性计算二重积分：（1）其中关于轴对称，为位于的部分；（2）其中关于轴对称，为位于的部分；（3），其中与关于直线对称；，其中关于直线对称；4、 例子例1设，其中，比较、的大小。解当时，故；，故，即，因此。例2计算二重积分，其中由，及所围，函数在上连续。解取曲线将分成与，其中关于轴对称，关于轴对称；由，故。例3 计算二重积分，其中，解作直线将区域分成， 。例4 计算二重积分，其中，函数在上连续。解作直线将区域分成与两个部分，即， 例5证明，其中为上连续的正函数。解 设，显然关于对称，。注：可用类似的办法证明。例6设函数在上连续，并记，试求。解记，显然与关于直线对称，且。注：1、本题也可用定积分方法解：记，。2、例5、例6宜放在下节讲。二、二重积分的计算与应用1、利用直角坐标系计算二重积分：（1）设，则；（2）设，则（3）设，且函数在上连续，则（交换积分次序）2、利用极坐标系计算二重积分：注：直角坐标系与极坐标系的转换关系为或，；（1）设，则；（2）设，则（3）利用广义极坐标系计算二重积分： 直角坐标系与广义极坐标系的转换关系为，；，比如：。3、二重积分的应用（1）几何应用：曲顶柱体的体积：，曲面面积： ，平面图形的形心：，；注：利用求平面图形的形心的公式可较容易地解以下例子：比如：设厂 。（2）物理应用：设平面薄片的面密度函数为 ,平面薄片的质量：平面薄片的质心（重心）：，平面薄片的转动惯量：平面薄片关于直线：的转动惯量为，其中；平面薄片对质点的引力：利用及元素法得解。4、例子例1交换积分次序：。解当时，的符号有正有负，不恒大于零，因此必须将所给的二次积分分成两项：；例2试求定积分，其中。解 。例3计算二次积分。解 例4 计算二次积分。解 例5已知函数具有一阶连续导数，且，其中常数，计算。解 交换积分次序得：，设， ，原式。例6设为连续函数，证明，证明当时显然成立，假设时结论成立，则（交换积分次序得） 例7将二次积分转换成极坐标形式。解 例8 计算二重积分，其中。解 。例9 计算二重积分，其中。解 ，令，则，。例10 计算二重积分，其中解设，其中，。例11设函数在上连续，且满足方程，试求。解，因此，求导得，即，解得：，由得，故。例12 计算二重积分，其中有曲线围成。解双纽线化为极坐标形式：，利用对称性，例13计算二重积分，其中。解设，其中，。例14证明平面上曲线弧（，）绕轴旋转的旋转曲面面积为。解 曲线弧绕轴旋转的旋转曲面为，即，此曲面关于平面对称，故只需求平面上方面积即可。由，得， 。例15：（1）设在上连续 ，则 。解：，；例16设函数在处可微，且，求。解：。其中：，：。二、 三重积分及其应用1、三重积分的定义： 设函数在空间的有界闭区域上有界，将任意地分成个小区域，（表示第个小区域，也表示它的体积）任取，记，若存在，则称函数在上可积，此极限称为函数在上的三重积分，记作。若函数在空间的有界闭区域上连续，则存在。2、三重积分的性质与“对称性”：（与二重积分基本一致，故略）3、三重积分的计算：（1）利用直角坐标系：设，其中，则； 设（截面法）则。（2）利用柱面坐标系：，设，则。（3）利用球面坐标系：，设，则4、三重积分的应用（与二重积分基本一致，故略）例1计算三重积分，其中区域由平面（）及三个坐标面所围。解1。解2 ，同理，故。例2 计算三重积分，其中区域由椭球面所围。解 ,同理，故例3 计算三重积分，其中区域由球面及旋转抛物面所围。解1由得，故：，利用对称性及柱面坐标系得。解2截面法： 。例4 计算三重积分，其中区域由锥面及平面所围。解 利用球面坐标系得。例5（1）设函数连续，且存在，求，其中。解 ，若，则上式；若，则上式。（2）设函数连续，且，其中，求。解： ，由得例6 计算三重积分，其中区域由平面曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面，所围成。解 旋转曲面为，即，用截面法： 注：若用直角坐标系，则。例7设常数、，若立体由平面，圆柱面以及锥面围成，其各点处的体密度等于该点到平面的距离的平方，求该立体的质量。解 （： ，）例8求与所围立体的体积。解一4；解二设，。例9密度为1的立体由曲面及平面、围成，求它对轴的转动惯量。解 。例10有一半径为，高为的均匀正圆柱体，在其中心轴上高出上底为处有一质量为的质点，试求此柱体对该质点的引力。解由对称性知，；， 。第八讲：曲线积分与曲面积分一、 曲线积分1、 基本概念与性质：（1） 第一类曲线积分定义：设为平面上一条光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数在上有界，在上任意取点、将分成段小弧，记，（也为该段的弧长），任取，若存在，则称此极限为函数在上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作。（2） 第二类曲线积分定义：设为平面上从点到点的一条有向光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数、在上有界，在上沿的方向任意取点、将分成段小弧，记， ，（也为该段的弧长），任取，若存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分或第二类曲线积分，记作；同理，若存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分或第二类曲线积分，记作。注：若在上连续，则存在；若、在上连续，则、存在。（3）性质：线性性：设、是常数，则；对区间的可加性：设曲线弧由和组成，则；保序性：若在上，则，特别有：。注：1、第二类曲线积分也具有类似上述性质；2、；及 3、有关空间曲线积分的基本概念与性质从略。（4）应用：线密度为的曲线弧状构件的质量：；质心：，；（形心：，）转动惯量：，。引力：（略）底位于面上曲线弧，高为的柱面的侧面积：。质点受力场的作用，从点沿曲线移动到点时所作的功：。注：空间曲线积分同上，从略。（5）计算公式：，；：，；：，；：，：，其中对应起始点，对应终点，注：若为平行于轴的直线，则，若为平行于轴的直线，则。（6）两类曲线积分的关系：，其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角。类似，在空间：，其中、为空间有向曲线弧在点处的切向量的方向角。2、 格林公式与平面曲线积分与路径无关的等价条件：（1） 格林公式：设闭区域有分段光滑的曲线围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有；特别：取，则有。（2）设区域为单连通域，函数、在上具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价：曲线积分与路径无关，仅与起始点及终点有关；，对内的任一封闭曲线；在内恒成立；存在函数，使。（即是某个函数的全微分）附：全微分方程：（1）对于微分方程，即，若存在，使，则称为全微分方程，其通解为。由，知；反之，若，则为全微分方程。可由下列方法得到：或也可由下列方法得到：由得，又，即，。（2）若存在，使成为全微分方程，则称函数为方程的积分因子。 由，即看出：这是关于的一阶线性偏微分方程，可以证明它的解是存在的，因此对任何，其积分因子总是存在的。若仅是的函数，则存在积分因子；若仅是的函数，则存在积分因子。注：有些方程可“凑”成全微分方程，但需了解一些式子，比如：；。比如：求下列微分方程的通解：（1）解：，因此，即，故通解为；（2）解：，即，或，故通解为。（3）解： ，故通解为。（4）求满足的具有二阶连续导数的函数,使成为全微分方程,并求全微分方程的积分曲线中经过的一条积分曲线解由得: ,即可得,所以 所以可得通解: ,由得,故得解: 三、 举例特例(对称性的利用)：1、；2、 例1计算曲线积分，其中为以、及为顶点的三角形区域的正向边界曲线。解：；：；：， 。例2 计算曲线积分，其中：。解设，：，即，。例3 计算曲线积分，其中为上半圆周从到。解由知该曲线积分与路径无关，故取：，例4 计算曲线积分，其中为从到。解取：，为由所围的平面区域。例5 计算曲线积分，其中为依正向的简单闭曲线。解当时，；（1）若为不经过原点，且所围区域内不含原点，则；（2）若为不经过原点，但所围区域内含有原点，取（顺时针），使，所围区域记为，则，即，由：，得；（3）若经过原点且所围区域记为，记（顺时针），所围区域记为，位于内的部分记为，且，位于外的部分记为，则，故。例6确定函数、，使当，其中，时，曲线积分与路径无关；并求出，使。解 由曲线积分与路径无关知，即，整理得由线性无关，得 （1）， （2）；由（1）及得；由（2）：得，由得，故；又，由 ，得。例7设具有二阶连续导数，且，试求函数的表达式，使微分方程为全微分方程，并求此方程的通解。解由 得，即解得；由全微分方程，得，比较得即，故。例8一力场其大小与作用点到轴的距离成反比，方向垂直且指向轴，试求一质点沿某曲线由点移动到点时力场所作的功。解，故， 。例9计算由笛卡尔叶形线所围在第一象限内的面积。解令，笛卡尔叶形线可表示成：，当：时，在第一象限内沿正向环绕笛卡尔叶形线一周。 。例10（1）计算，其中，点、分别位于球面和上。解 （2）计算，其中，点、。解 例11计算曲线积分，其中，从轴正向朝下看逆时针方向。解，其中， ，同理，故。例12求椭圆柱面位于平面上方和平面下方的部分的侧面积。解，其中，即，故。二、 曲面积分1、基本概念与性质：（1）第一类曲面积分定义：设为光滑(或分片光滑)曲面，函数在上有界，将任意地分成片小曲面（也表示该小曲面的面积），任取，若存在，则称此极限为在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作。（2）第二类曲面积分定义：设为光滑(或分片光滑)的有向曲面，函数、在上有界，将任意地分成片小曲面（也表示该小曲面的面积），在三个坐标面的投影分别是、，任取，若（或、）存在，则称此极限为（、）在有向曲面上对坐标、（、，、）的曲面积分或第二类曲面积分，记作。（、）注：若函数在上连续，则存在；同理，若函数、在有向曲面上连续，则、存在。（3）性质： 线性性：；对区域可加性：；（第二类曲面积分也具有线性性、对区域可加性）注：第一类曲面积分与曲面的方向（侧）无关：但第二类曲面积分与曲面的方向（侧）“有关”：；2、 应用：密度为的曲面状构件的质量：，质心：，；（常数时，质心形心）；转动惯量：，；引力：（略）流体密度为，流速为，单位时间内流过曲面指定侧的流量为：；3、 计算公式：（1） 设曲面：在面上的投影区域为，其中在上具有一阶连续偏导数，则；设曲面：在面上的投影区域为，其中在上具有一阶连续偏导数，则；设曲面：在面上的投影区域为，其中在上具有一阶连续偏导数，则；（2）（前侧取“”，后侧取“一”）（右侧取“”，左侧取“一”） （上侧取“”，下侧取“一”）4、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面上点处的单位法向量。5、 基本公式（1）高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的曲面围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则其中取外侧。（2）斯托克斯公式：设是以有向闭曲线为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数、在包含在内的一个空间闭区域上具有一阶连续偏导数，则。6、 曲面积分与曲面形状无关，而只取决于曲面的边界曲线的等价条件：设为单连通区域，函数、在上具有一阶连续偏导数，则下列条件等价：（1）在内与所取曲面形状无关，而只取决于曲面的边界曲线；（2）对内的任一封闭曲面成立；（3）在内恒成立。7、设函数、具有一阶连续（偏）导数， ，