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第一章 函数 极限 连续一求函数的定义域具体函数求定义域的例子就不举了.例1.设求（1）的定义域；（2）的定义域；（3）的定义域。解：（1）（2）（3）练习设的定义域为，求的定义域. 要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.例2判断下列两组函数是否是同一函数： 二求函数的表达式例3设求.解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法. 因为,所以，例4设求解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。 因为所以，例5设 求.解：首先把作整体看待 三关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）例6设在上有定义，证明：为偶；而为奇.要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数； （2）奇偶函数的图形特征.结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.例7设时，且在内为奇函数，求.解：由于在内为奇函数，所以，又当时，所以，关于周期函数，请大家记住一个结论。下面以例题的形式给出：例8设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.证明：（一）首先证明是函数的周期.事实上，设.(1)因为 所以，是函数的周期.（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）假设存在使得对于定义域中的任意有 （2）则对于任意的实数有这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.例9的最小正周期为由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：设分别是以为周期的函数，且为有理数，则是以的最小公倍数为周期的函数.例9证明非周期函数.证明：（反证）设是以为周期的函数. 则 即 上式中，分别令，得 ，得到矛盾.四反函数反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.五复合函数两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第46页表中简单初等函数及其特性搞熟.例10下列函数是否可以复合？（1）（可以）（2）（不可以）例11将函数分解.六函数的极限（包括数列的极限） 数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.记住几个常用的公式：例11求.解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项. 原式=例12求例13求例14例15求解：此题宜用夹逼准则. 因为 ，且故.注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用来夹逼就达不到目的了.例16求解：因为 ，且故.注意：一般地，下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.例17证明数列有极限.证明：记（一）由均值不等式对于任意的有即，故单增.（二）不妨设此时，有故，故有上界，因此数列有极限.注意：今后记例18证明：数列收敛，其中证明：（一）.，即有下界. （二）.由 即单减. 所以，由原理知，收敛. （三）.设，则因为 所以，两边取极限，有： . 又由收敛数列的保号性知：. 下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理例19设求.解：因为所以，不存在.如把此题稍加变形，则结论变为.注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.例20求（不存在，左极限-2，右极限2）.例21求（不存在，左极限0，右极限）.请大家记住一个结论，以例题形式给出：例22设为常数，也可以为0），且则证明：例23设求的值.解：由于所以， （1） 故 所以，例24求.例25求.书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的形式出现.例26设，满足（1）求的值.下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.例27求；（比喻：以毒攻毒法）例28求；例29求；例30求函数极限也有个夹逼准则.例31求例32证明：因为为偶函数，故只须证明：. 事实上，不妨设，则. 两边同除以得：.又因为.所以，由由夹逼准则知，所以 .下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.例27证明：还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.第一种：特点：（1）属于型；（2）例：下列结论中哪些成立？（1）（2）（3）（4）例28；例29；例30；例31；例32；例33.第二种：或.特点：（1）属于型；（2）例33；例34；例35设求常数（）例36；例37；例38.大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是型，即求两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种：型或型，其他类型都可一眼看出答案。而型可以转化为型.因此，大家要高度重视这种型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法 .为此，先回顾以下结论.定理：设是同一极限过程中（设为）的四个无穷小，且有存在（或为），则也存在（或为），并且=. 今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小)（1）sinxx;(sinmxmx);（2）tanxx;(tanmxmx);（3）arcsinxx; （4）arctanxx;（5）; （6）;（7）1-cosx; （8）.例39求；例40求例41求解法一：解法二：解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：.练习：1.求2. 求；3.求.4.求七函数的连续性首先要记住两个重要结论：1一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；2一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：在点处连续在点处既左连续又，右连续.例42设函数在内连续，求常数解：分析：当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数。故要使得在内连续，只须保证在及处也连续.因为故只有当，即时，在处也连续.又因为故只有当，即时，在处也连续.关于复合函数的连续性，有下述命题：定理：为复合函数，其中存在，且也存在，则上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.例如：推论：为复合函数，其中且在处连续，则，即例43求.解：令。因存在。且函数在处连续，故当点非连续点时，往往是间断点。关于间断点的分类是必考的考点.先一块回顾一下间断点及其分类标准。例44求函数的间断点，并指出其类型。解：函数的定义域是.而在上是初等函数，所以连续.故函数的间断点是（第二类的无穷型间断点）；（第一类的可去型间断点）；（第二类的无穷型间断点）.例45函数的连续性.在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.例46证明方程至少有一个小于1的正根。证明：设，在上连续，又 由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个小于1的正根.思考题：1.证明方程在1与2之间至少有一个实根.2证明方程恰好有三个实根。（提示：令.先证明在各区间内各有一个实根，说明方程至少有三个实根。；再证明方程最多有三个实根，理由是为三次代数方程，至多只能有三个实根.第二章 一元函数微分学一与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1=；2； 要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地， 要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1已知=A，试求下列极限的值 （1） （2）。例2研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得. 由于，所以在处不可导。（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续. 所以，即（二） 由得.例3 已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二导数的几何意义 关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。一种题型是选择题或判断题。比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4求曲线与直线垂直的切线.解：设切点. 切线斜率 由题意，即 故切线方程为 下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三导数的四则运算 四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。下面举几个小例子.例6求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8求的导数.解： .四反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且 . 例9求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有 .五复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如 果记，则 ， 故此题恰好满足等式： （*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且 或 （或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如： 对函数，如记，则各变量间的关系是： 有上式可通过连续使用两次链式法则得到。大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例10求的导数解：记，则.由链式法则，有 .注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？ （2）正确写法是： . （3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代; (4) 显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，不会改变最后的结果。例11求的导数.解：记，则. 例12求的导数.解：先将分解为基本初等函数，即 .注意：既然最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程.例13（重做例3）解：注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，只至去掉最后一层。打个形象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法. （2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允许用第二种写法.（4）有一种比较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误。例14求的导数.解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型. =.例15求的导数.解： 练习：1.求的导数.:2求.3 求的导数.例16设在处可导，试确定常数的值.解：因为在处可导，从而在处也连续.但 故.再由于在处可导，则又所以，.例17设求解：例18设求（考研题）.解：由于 所以，故 注意；关于反函数的几个求导公式，个别同学容易搞错.在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导，容易犯记号错误.例19设，其中可导），求解： 请注意：记号的区别.例20设其中可导，求解： 有些同学最容易漏掉小尾巴.例21设求解：所以，六简单函数的高阶导数 由高阶导数的定义可知，计算具体函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式逐阶求下去，最后归纳出n阶导数的一般形式.没有捷径可走.例22，求.例23，求.例24，求。特别地，.例25，求.类似，求.例26，求.例27，求.例28.（1），求. 注意：做题的过程中不要整理，合并，以便于归纳出一般规律.练习：（1）.，求 （2），求注意：此法称拆项法，请同学们试做，求下面再讲一个稍微再提高点的题.例29.设其中在的某个邻域内具有一阶连续导数，且求解：（一）估计大部分同学都能作出第一步 （1）（二）估计接下来有些同学会继续求导，得到然后代入求得但此法是错误的，因为题目未能保证在的某个邻域内也存在。正确解法是： 当遇到两函数的积函数求高阶导时，有一个著名的莱布尼兹公式： 例30，求.例31，求.解：。-（1）由莱布尼兹公式，得（ （1）式两边同时求n-1阶导数） -（2） 将代入（2）式，得 -（3） 又.故由（3）式递推可得：例32已知具有任意阶导数，且，求证明：因为，所以 ， ，归纳可得：.我们说，最难求的还是抽象的复合函数的高阶导数.例33，求.解：注意：请同学们注意记号与的区别.七隐函数求导隐函数其实利用的是复合函数的求导法则。求导技巧就是一句话：方程两边同时求导.例34.设确定了一个隐函数，求.解：（一）方程两边对自变量求导，有 -（1） 所以，-（2） 由（1）式，有-（3） （3）式两边对再求导，得：-（4） 将（2）式代入（4）式，有： 注意：（1）欲求，必要用到的结果； （2）也可通过对（1）式两边再求导的方法得到； （3）请大家考虑以下：从上题如何求？练习：.设确定了一个隐函数，求.例35设曲线由方程 （1）所确定，求该曲线在的切线方程.解：当时，代入（1），得： （1）式两边对求导，得： （2）这里告诉大家一个小技巧，一般同学做到这里，往往又（2）式整理出的表达式，再求其实不如直接把，代入（2），得：再多讲也没有什么意思，主要是要掌握方法.下面介绍对数求导法.请大家先回忆一下此法主要是解决什么求导问题，一类是幂函数；二类。多因子连乘积的乘方，开方运算.例36.求的导数.解： 对上式两边关于求导，得： 例37.求的导数。（解：. 对上式两边关于求导，得：.八.参数方程求导 参数方程求导利用的也是复合函数的求导法则： 一般地，设，如果在可导，且，则. 例38.求摆线在处的切线方程.解：，所以， 又，时，所以，切点为，因此，切线方程为：.例39.设求解：参数方程求导，考试时一定是求到二阶导。因为一阶导太简单. 一般同学求一阶导都不会犯错误，但在求二阶导时，可能会犯错误.例40.设由方程所确定，求该曲线在处的切线方程.解：当时，即，所以，或（舍）。此时，又 故 所以，切线为：九一元函数的微分 先简单回顾一下微分的概念：若函数在处的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在处可微分，并称为在处的微分，记作，或者. 要清楚可微与可导及连续这三个重要概念间间的关系，即函数在可微函数在可导，且； 如果在区间I上每一点处都可微，则称为区间I上的可微函数，在区间I上的微分记作：-（2）例41，计算在时的。解：，。所以，注意：此例中，若用，则由此产生的误差是：例42，求解：.注意：（1）由例2可见，自变量的微分等于自变量的增量，即。（之所以如此，是因为本身就是线性函数.） （2）故. （3）由上式，两边同除以由可得到：，因此导数就是微分之商，这其实也正是计算函数导数的一种常用方法。一会儿举一个这方面的例子. （4）今后，在计算函数的微分时，为美观起见，建议大家用来表示.微分的四则运算法则与求导的四则运算法则类似，这里就不回顾了.例43求的微分解一：解二：.但关于复合函数的求微分，却有不同于复合求导的表现，有一个重要结论，即一元复合函数一阶微分形式的不变性.定理：设都可微，则（其中）注意：定理说明，无论是普通函数，还是复合函数，都有.例44.求的微分解一：.解二：，例45.求由方程所确定的隐函数的导数.解一：对方程两边取微分： .解二：对方程两边求导： 2。例46.求所确定的.解：十相关变化率（不讲）设，即与都是第三变量的函数，因此它们的变化率与间也存在一定的联系，这两种互相联系的变化率称为相关变化率.常需要从已知的一个变化率去求另一个相关变化率.例37.溶液自水深18厘米，顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10厘米的圆柱形筒中.开始时漏斗中盛满溶液。已知当溶液在漏斗中深为12厘米时，其表面下降的速率为每分钟1厘米，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解：设时刻漏斗中水深，液面半径，筒中水深.（作图） 则设盛满溶液时漏斗体积为则上式两边同时关于求导，得： ， 所以，代入 所以，.第三章 中值定理及导数的应用一验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立 要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。关于这个知识点，往往会出验证题例1验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点.解：（一）1.由，知在处连续，从而在上连续；2.按左、右导数的定义不难求出从而在内可导，且因此，在上满足拉氏定理的条件.（二）由拉氏定理的结论：，使 .不难算得：或.注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出.二利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式）利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，得到一个含中值的等式，最后适当放大或缩小不等式即可.例2.证明：对.证明：设，则.在上由拉氏定理知，即：. ()例3.证明：对.例4证明：对.大家自己证明，这两个结论要记住.三利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）例5设在上连续，在内可导，且证明：使证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。命题只须证，使 ，或者.故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，使例6设，证明方程有三个实根，并且它们分别位于区间（见书第105页）例7证明方程只有一个正根.(反证).拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.推论1：若对任意，则例8.证明：.证明：设， 则， ， 所以，由推论1， 推论2:若对于，则.四洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是型，要么是。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则洛必达法则，可用一招统一解决大部分的或的极限问题。现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：第一种：型的洛必达法则设函数满足：（1）；（2）在的某个去心邻域内，都存在；（3）存在（或为）.则，存在（或为）.第二种型的洛必达法则设函数满足：（1）；（2）在的某个去心邻域内，都存在，；（3）存在（或为）.例1 求例2 求越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算，但有时它可能并不是最简单的做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，再使用洛必达法则，则效果可能会更好！例3.的另一种作法：；例4求；例5求；例6；例7求；例8求；例9求.对于不直接表现为型或型的不定型，要首先合理转化，使其成为型或型，然后在利用洛必达法则来算.例10（型）求.例11（型）求.例12（型）求.例13(型)求.注意：（1）若不存在（并且也不是），则不能说也不存在.比如：存在；但不存在.（2）法则不是万能的，也有失效的时候.比如： 形成循环，永远也得不到结果.用洛必达法则时最好作一步，就及时检查一步，看是否划得来.另外，如果在用洛必达法则时，还可以同时再结合其他的求极限方法，效果可能会更好.总之，我们的方针是：“百花齐放、百家争鸣”.例14讨论函数在处的连续性.解：； 令，则.所以，. 因为，所以，在处连续.例15求：.例16.例17求 五单调性单调的充要条件：若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），.注意：（1）这里的可以是无限区间，如； （2）其实，当把改为有限的闭区间时，结论也成立.即： 若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），； 当将改为有限的半开半闭区间时，也有类似的结论.（3）有时我们关心的是在内是否严格单增（或单减），则有：严格单调的充分条若在内可导，且对，则在内严格单增（或单减）.上述定理2的逆不成立，即：若在内严格单增（或单减），且在内可导，但未必有对.比如：但严格单增.严格单调的充分必要条件：若在内可导，则在内严格单增（或单减）的充分必要条件是： （1） （或）； （2）在内任何子区间上，不恒等于0.上述定理告诉我们：只要，且使的点都是一些孤立的点，则在内严格单增。如：.,使的点虽然有无数多个，但他们都是孤立点，故仍然单调增加.例1讨论的单调性从例1可见，研究函数的单调性，更多的情形下是要求所谓的单调区间：即包含在定义域内的而且使函数在其上单调的区间；(2)从例1可见：导数为0的点（称为函数的驻点或稳定点）是函数可能的单增与单减的分界点；（3）其实，导数不存在的点也可能是单调分界点.求单调区间的步骤第一步，求函数的定义域D； 第二步，求；第三步，令，求的所有驻点及所有不可导点（其中不在定义域内的要舍去）； 第四步，列表判断.例2.讨论的单调性.解：（一） （二）（三）令。无不可导点. （四）列表判断： （ 例3.讨论的单调性.解：（一）； （二）； （三），在处不可导； （四）列表判断： （ 利用函数的单调性也可以证明函数不等式，这也是常见考点.例4.证明：(前面利用中值定理已证过)解：令 则， 所以，单增。故 ，即：.例5.证明：当时，证明：令 则.所以，单增。故，即：.例6.证明：当时，证明：原命题等价于. 令， 则. 所以，单增.故，即：当时，.例7.证明：当时， 证明：令则 的符号一眼看不出来，下面再求.因为，所以单增，则所以，单增，则即练习：（1）证明：当时，解：注意到，当时，只须等价证明令，则 的符号一眼看不出来，下面再求.因为，所以单减，则所以，单减，则即（2）证明：当时，证明：只须等价证明：令因为，所以，即另证：只须等价证明：令，所以，单减。故即六极值 函数的极、最值与函数的单调性关系极为紧密，先回顾一下几个重要结论。极值的必要条件（费马定理）：设在点的某邻域内有定义，且在处可导。若为极值，则必有：.注意：使的点可能为的极大值点（或极小值点），也可能不是。比如：另外，不可导点也可能是极值点，如：极值的第一充分条件：设在点处连续，在可导。（1）若 当时，；而当时， 则为极大值；（2）若 当时，；而当时， 则为极小值；（3）若 当时，及当时的符号相同， 则非极值.请大家注意：极值的第一充分条件并不要求存在！极值的第二充分条件：设在一阶可导，在点处二阶可导，且.则（1）若，则为极大值；（2）若，则为极小值.我们知道，求函数的单调区间一般按四个步骤走，求函数的极值与之类似。请大家看下例，认真体会.例8.求的极值.解一：（一）. （二）.（三）令。无不可导点. （四）列表判断： （ 1 3 0 0 极大 2 极小-2 解二：（一）. （二）.（三）令.无不可导点. （四）.因为，所以为极大值； 又因为，所以为极小值.七最值 第一种情况：设在闭区间上连续，则在上必可取到最大值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1）或即为最值； （2）最值在内取到，则此时的最值也就是极值.因此，求可导函数在上的最值的方法如下： （1）求出所有可能的极值点（无须判断）：； （2）将值全部求出，并进行比较，其中最大的即为最大值；最小的即为最小值.例9.求的最值.解：（一）； （二）令，得驻点 （舍）；（三）因为，所以，经比较：m=-14,M=11.第二种情况：设在闭区间上单增（减），则就是最小（大）或最大（小）值.第三种情况：如果连续函数在上（不一定为闭区间）有且仅有一个极值点，则在该点处必定取得相应的最值。（对于实际问题，常用此法解决，比如优化问题）。例10一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？解：设每套公寓租金定为所获收入为.则.整理，得 令，得 而即是使达到最大值的点.最大收入为（元）.例某工厂生产件产品需成本（元）。问：（1）若使平均成本最小，需生产多少件产品？（2）若每件产品以500（元）卖出，为使利润最大，需生产多少件产品？解：（1）又，令得唯一驻点。因为所以，为极小值，从而也是最小值。 利用函数的单调性和最值还可以讨论方程的根的个数.例11讨论方程有几个实根？解：令 则. 令.当时，所以单增；当时，所以单减.因此为在的最大值.又显然在连续，且.所以至多只有两个实根.1 当，即时，直线与x轴只有一根；2当时，即时，有两实根；3.当时，即时，无实根.例12.设在上连续，且当时，单增，且有为常数）试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根.证明：对函数在用拉氏定理： 又因为，所以，由根值定理： 至少存在一点，使；又因为单增，故只有一个实根.练习：（1）设为大于1的正数，且。证明：当时，证明：令，令 得唯一驻点又故为极小值，从而也为最小值.故对于任何，有（2）求抛物线在第一象限内的一条切线，使该切线与两坐标轴所围成的平面图形面积最小.解：设切点为。又所以，切线方程为：，即令，得 令，得 所以 又令得唯一驻点又当时，当时，故为最小值.七曲线的凹凸性及拐点 研究函数的最高目的是为函数“照相”，即给函数作图，这时仅仅知道其单调性和极（最）值是不够的.还需要研究其对应曲线的凹凸性和渐进线.先回顾一下曲线凹凸的概念及其判定方法.定义：设函数在区间内有定义，如果对，都有： 则称函数在区间内为下凸的.函数凹、凸性的判定定理：设函数在区间内存在二阶导数且 （或则函数在区间内为下凸（或上凸）的.例13确定的上（下）凸性.例14确定的上（下）凸性.拐点的定义：称曲线上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.拐点的必要条件：如果在附近具有连续的二阶导数且为曲线的拐点，则.注意：从例13可见，二阶导数为0的点可能是拐点；一会儿通过例子表明：二阶不可导点也可能是拐点.求函数上（下）凸区间及拐点的方法、步骤 （1）求函数的定义域D; （2）求；（3）令，求出的所有的根及所有二阶不可导点；（不在D内的要舍去）； （4）用这些点划分定义域D，列表判断.例15求曲线上（下）凸区间及拐点.解：（一）；（二），；（三）令。无二阶不可导点. （四）列表判断： （ 0 0 0 拐点（0，1） 拐点（ 例16.求上（下）凸区间及拐点.:解：一）； （二），；（三）令，无解；在处二阶不可导点。 （四）列表判断： （ 2 不存在 拐点（2，0） :利用函数的凸性也可以证明不等式例5。证明：当时，.证明：若不等式两边同时除以2，即得： .可见，如果设，然后只须证明内是下凸的即可.八曲线的渐进线（只考察水平渐进线和垂直渐进线，不考察斜渐进线）。先回顾一下渐进线的定义.若曲线C上的动点P沿曲线C无限地远离原点时，点p与某一条定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的一条渐进线.渐进线的分类 （1）水平渐进线 若存在，则称直线为曲线的一条水平渐进线； （2）垂直渐进线 若则称直线为曲线的一条垂直渐进线； （3）斜渐进线 若存在，且存在，则称直线为曲线的一条斜渐进线.注意：有时曲线会有两条斜渐进线，此时应分别考虑及的情况。例17求曲线渐进线.解：（一）因为，所以无水平渐进线； （二）在处间断.因为 ；且.所以直线及直线均为垂直渐进线.（三）因为，且.所以，直线为斜渐进线.第四章 一元函数积分学不定积分部分一原函数的概念例1.下列等式成立色是（ ） 例2下列写法是否有误，为什么？ （c为任意正常数） 例3.下列积分结果正确吗？ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法.例4求例5求例6求例7已知某个函数的导数是，又知当时，这函数值为2，求此函数.解：因为， 所以，可设 又因为.所以，例8设，求.解： ， 二不定积分的第一换元法 利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式.若已知，可微，则有换元公式： 例9.求.例10.求.例11求.例12求.例13求.例14求.例15.例16求.例17.例18. .注意：进一步化简可得到.例19。（26）例20。例21另解：。例22 .例23。例24.=例25例26. =例27 = = =例28例29三不定积分的第二换元法 前面我们讲了第一换元法（又称凑微分法），但并非对所有的不定积分都能使用此方法，即凑微分法失效.有时对有些不定积分采用相反的变量替换，将会达到简化计算的目的.这就是第二换元法.设是单调（保证它有反函数）可导的，并且，又设，则 例30.求解：令，则 原式= = =.注意：因为为周期函数，故如限制也行.以后作题,我们不再指明t的限制范围.例31.求解：令，则原式=注意：这里的最后一步在换回用原变量表示时，要借助于直角三角形。称此法为整体代换法.例32.求解：令，则 原式=.例33求解：四.分部积分法分部积分公式使用此法的关键是正确选择和例34.求解：取，则. 所以，。注意：（1）如果取，则。 所以，显然，会愈加麻烦。可见，用分部积分法，最关键的是要选择好合适的函数作为. （2）根据我多年做题经验的总结，选的优先顺序是：反对多三指，按此顺序选择，一般都可行.例35.求例36.求例37. 解：=例38.求解：， 所以，原式=例39.求解：其中，所以，.注意：上述例5、例6的解法称为“相克法”法.例40.设，试给出递推公式。解: =，所以，.例41.求解： =所以，注意：一般地，与递推公式有关的证明题都是用分部积分法得到的.定积分部分一定积分的七大性质例42估值解： 令. ，令. 所以，设分别是函数在区间上的最大值与最小值. 因此，所以，.例43比较与的大、小.解：令. 则，所以，在单调增加。因此， .例44求解：.例45.证明：证明：因为所以，所以：.练习：（1）设是连续函数，且求。（研89）解：此题的条件是关于的一个关系式，无法直接计算。但是一个确定的常数。若设则有再考虑就可解出令则故(2)设求。解：设则则解上述方程组，得：二积分上限函数及其导数先回顾一个重要结论：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在区间上具有导数，且.例46.设求.解：，所以，例47.设求.解：所以，所以.例48.求解：.注意：一般地，.例49.求.例50.练习：证明提示：， . 三.牛莱公式如果是在区间上的一个原函数，则.例51求.例52求例53.求.例54.假设在上是正值连续函数，试求 的极小值.解：， 所以， - 令在处不可导.经判定：在处取得极小值.例55.假设对于所有的实数，连续函数满足方程 ，求及常数C.解：方程两边对求导： 在原方程中，令则，所以.例56.设在上连续，在内可导，且， .试证：.证明：-（1）上式中的分子-（2）又因为，所以在上单调减少，故，所以，.练习：证明：当时，的最大值不超过证明：由得当时，而当时，故是唯一的极大值点，从而也是最大值点，即最大值为注意到当时， 四.定积分的换元积分法直接利用微积分基本公式计算定积分的前提是可以先求出被积函数的原函数，然后再代入上、下限求值，但在许多情况下，这样计算比较复杂；甚至有时原函数根本不能用积分法的一般法则求出来，也就无法直接引用微积分基本公式.为了进一步解决定积分的计算问题，考虑到不定积分的基本方法是换元积分法和分部积分法，这就启发我们能否直接将这两种方法用到定积分的计算上来？回答是肯定的.换元积分公式：设函数在上连续，且满足条件： （1）在上是单值的且有连续导数； （2）当t在上变化时，在上变化； （3）.则有：（相当于不定积分中的第二换元法）注意：（1）换元公式中要求下限小于上限，其实，这是不必要的； （2）公式也可以反过来用： ；（相当与不定积分法中的第一换元法）；例57.求 或换一种写法： （3）被积函数开方时要注意积分区间；例58.解一：其实，上述解法是错误的.正确解法是 （4）在运用换元公式时，要满足换元的条件，否则可能会出错.反例： （1）解一：.解二：。（解二是错的，因为不是单值函数.） （2）解一：解二：（倒代换）（解二是错的，因为在x=0处不连续. （3）如果用代换，再用换元公式，显然