一元二次函数的学习纲要高一数学必修1补充读本资料学生版.doc

一元二次函数补充学习资料学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本资料将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。一.解析式1一般式： ；2顶点式： ，其中顶点坐标是(h，k)3零点式： ，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标其中. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。【例1】一个二次函数的图象如图，求函数的解析式.解：1.若，且，则的值是_2.若二次函数的图像的顶点坐标为与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A B C D 3. 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1）,则二次函数的解析式为_二.图像特征 二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。 ,其中， （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h,k），对称轴是直线x=h。（2）当a0时，抛物线开口向上，函数在x=h处取最小值 k=；在区间上是减函数，在区间上是增函数；（3）当a0时，开口向上，a越大，开口越大，函数在对称轴两侧先减后增;当a0时，开口向下，a的绝对值越大开口越大函数在对称轴两侧先增后减。当b=0时，函数为偶函数，当且时，函数既不是奇函数也不是偶函数。C是否为零决定着函数的图象是否过原点。另外，a和b决定着函数的对称轴。a,b,和c三者共同决定着函数的顶点位置。【例2】求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出函数的单调区间？ 【例3】若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)， 那么（ ）A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4) C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1) （1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴练习2（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.1.函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；函数的单调减区间为_2.若的图像x=1对称，则c=_3.设，二次函数的图象下列之一：OOOO-11 11111(A) (B) (C) (D)则a的值为（ ）（A）1 （B）1 （C）（D）4.函数对任意的x均有，那么、的大小关系是（ ）A B C D三.单调性二次函数在区间 和区间 上分别单调.【例4】已知函数，(1)求，的单调区间； 【例5】己知a,b,cR,且a0,6a+b0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f()的大小.练习3【例6】已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_1函数y=x2+x+2单调减区间是( ) A、 B、（-1，+） C、 D、（-，+）2函数f(x)=2x2mx+3,当x时,增函数,当x时,是减函数, 则f（1）等于（ ） A3 B13 C7 D由m而定的其它常数 3已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（ ） A B C D四.最值（值域）因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得。求二次函数在某区间上的最值(或值域)，在画出了二次函数图象之后，就要考察顶点的横坐标与指定的区间的位置关系假若顶点的横坐标或者指定区间含有参数，那就要就顶点的横坐标是在区间内，还是在区间的右侧，或在区间的左侧进行分类讨论【例7】已知二次函数 (,是常数且) 满足条件，且方程有等根 求的解析式； 是否存在实数,()，使的定义域和值域分别为和 ，如果存在，求出,的值，如果不存在，说明理由解：【例8】求f(x)=x-2ax+2在2，4上的最小值和最大值. 解： 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间2，4的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.练习41已知f(x)=x-4x-4,xt,t+1(tR)，求f(x)的最小值（t）的解析式.五.奇偶性二次函数当 时，函数为偶函数，当 时，函数既不是奇函数也不是偶函数。练习5【例9】若函数是偶函数，则点的坐标是_1若函数是偶函数，则在区间上是（ ） A增函数 B减函数 C常数 D可能是增函数，也可能是常数 六.翻折变换、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到【例10】已知函数给下列命题：必是偶函数； 当时，的图像必关于直线x=1对称； 若，则在区间a，上是增函数；有最大值练习6其中正确的序号是_1函数的单调增区间为_2（上海春卷）设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明。七.函数与方程1韦达定理：方程（）的二实根为、，则说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）2实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根x1,x2两根均正；两根均负；一正一负x1x20（这时ac0的条件）.这样，可以等价转化一个角度去解题。3一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点4二次方程根的分布问题：可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路根的情况a0时图a0时图条件两个根均小于m两个根都大于n一个大于m，另一个小于m的根在区间(m,n)内有且仅有一个根在区间(m,n)之外有两个根在区间(m,n)内有两个实数根总之找一个一元二次方程根的分布注意条件：1，判别式；2，对称轴位置；3，端点的函数值。【例11】估算方程的正根所在的区间是 （ ）A B C D1【例12】m为何值时，关于x的方程x2-mx+3+m=0有两个大于1的根。 （涉及一元二次不等式的解法请阅读下面材料:一元二次不等式解法）【例13】已知二次函数和一次函数，其中，且，（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；（2）求线段在轴上投影长度的取值范围练习81若方程-(k+2)x+4=0有两负根，则k的取值范围为_.2已知函数f(x)在区间a,b上单调且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b内（ ）A 至少有一实根 B 至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根3二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 4函数y=2x+1的图象与函数y=x2+2x-3的图象交点的个数为（ ）A,1 B,2 C,3 D,0 5已知，并且、是方程的两个根，则实数、的大小关系可能是（ ）AB CD6(广东卷)已知是实数，函数如果函数在区间上有零点求的取值范围八.应用题【例14】已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围解：一元二次不等式解法怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我们可以借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，xyOx1x2xyOx1= x2yxO图2.32=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（