高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.2 排列与组合课件 理.ppt

第二节排列与组合 知识梳理 1 排列 不同 一定 顺序 不同 所有不同排列 n n 1 n 2 n m 1 n 1 2 组合 不同 并成一组 不同 所有组合的 特别提醒 1 区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键与方法 1 关键 看所选的元素与顺序是否有关 2 方法 交换某两个元素的位置 判断对结果是否产生影响 产生影响的是排列问题 否则是组合问题 2 与组合数相关的几个公式 1 全组合公式 2 3 小题快练 链接教材练一练1 选修2 3p25练习t4改编 从3 5 7 11这四个质数中 每次取出两个不同的数分别为a b 共可得到lga lgb的不同值的个数是 a 6b 8c 12d 16 解析 选c 由于lga lgb lg 从3 5 7 11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有 12种 所以得到不同的值有12个 2 选修2 3p28习题1 2a组t15改编 2015年北京国际田联世界田径锦标赛 要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者 其中至少有1名女生的选法共有 a 30种b 36种c 42种d 60种 解析 选b 分两类 第1类 有1名女生的有 2 15 30种 第2类有2名女生的有 6种 由分类加法计数原理得共有30 6 36 种 感悟考题试一试3 2016 郑州模拟 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种 解析 选c 由题意 从6名男医生中选2人 5名女医生中选1名组成一个医疗小组 不同的选法共有 75种 4 2015 广东高考 某高三毕业班有40人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 那么全班共写了条毕业留言 用数字作答 解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数 所以全班共写了 40 39 1560条毕业留言 答案 1560 5 2014 北京高考 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 解析 将产品a与产品b捆绑在一起 然后与其他三件产品进行全排列 共有种方法 将产品a 产品b 产品c捆绑在一起 且产品a在中间 然后与其他两件产品 进行全排列 共有种方法 于是符合题意的排法共有 36 种 答案 36 考向一排列的应用 典例1 1 有4名男生 5名女生 全体排成一行 则甲不在中间也不在两端的排法有种 2 在数字1 2 3与符号 这五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列方法共有种 解题导引 1 分两步进行 排甲 排其余8人 2 由于题设中任意两个数字都不相邻 因此可用插空法解决问题 规范解答 1 分两步进行 第一步 先排甲有种 第二步 排其余8人有种 由分步乘法计数原理 共有 241920 种 排法 答案 241920 一题多解 解答本题 还有以下三种解法 方法一 中间和两端有种排法 包括甲在内的其余6人有种排法 故共有 241920 种 排法 方法二 9人全排列有种 甲排在每一个位置的机会都是均等的 依题意得 甲不在中间及两端的排法总数是 241920 种 方法三 间接法 3 241920 种 2 本题主要考查某些元素不相邻的问题 先排符号 有种排列方法 此时两个符号中间与两端共有3个空位 把数字1 2 3 插空 有种排列方法 因此满足题目要求的排列方法共有 12 种 答案 12 母题变式 1 若本例题 2 中条件 任意两个数字都不相邻 改为 1 2 3这三个数字必须相邻 则这样的全排列方法有多少种 解析 用捆绑法 有 36 种 2 若本例 2 中条件变为 符号 与 都不相邻 则这样的全排列有多少种 解析 72 种 规律方法 1 求解有限制条件排列问题的主要方法 2 解决有限制条件排列问题的策略 1 根据特殊元素 位置 优先安排进行分步 即先安排特殊元素或特殊位置 2 根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类 易错提醒 1 分类要全 以免遗漏 2 插空时要数清插空的个数 捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数 3 用间接法求解时 事件的反面数情况要准确 变式训练 2016 兰州模拟 数字 2015 中 各位数字相加和为8 称该数为 如意四位数 则用数字0 1 2 3 4 5组成的无重复数字且大于2015的 如意四位数 有个 a 21b 22c 23d 24 解析 选c 满足四位数字之和等于8的四个数字为0 1 2 5或0 1 3 4 0 1 2 5组成的无重复数字且大于2015的 如意四位数 共有1 2 2 11 个 0 1 3 4组成的无重复数字且大于2015的 如意四位数 共有2 12 个 故共有23个 加固训练 1 2014 四川高考 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 a 192种b 216种c 240种d 288种 解析 选b 若最左端排甲 排法有 120种 若最左端排乙 排法有 96种 故不同的排法共有120 96 216种 2 2016 兰州模拟 a b c d e五人并排站成一排 如果b必须站在a的右边 a b可以不相邻 那么不同的排法共有 a 24种b 60种c 90种d 120种 解析 选b 由题意知有 60 种 3 用数字0 1 2 3 4组成没有重复数字的五位数 则其中数字1 2相邻的偶数有个 用数字作答 解析 可以分情况讨论 若末位数字为0 则1 2为一组 且可以交换位置 3 4各为1个数字 共可以组成2 12个五位数 若末位数字为2 则1与它相邻 其余3个数字排列 且0不是首位数字 则有2 4个五位数 若末位数字为4 则1 2为一组 且可以交换 位置 3 0各为1个数字 且0不是首位数字 则有2 2 8个五位数 所以全部合理的五位数共有24个 答案 24 考向二组合的应用 典例2 1 2016 太原模拟 将5名学生分到a b c三个宿舍 每个宿舍至少1人 至多2人 其中学生甲不到a宿舍的不同分法有 a 18种b 36种c 48种d 60种 2 2016 重庆模拟 2015年某地春季高考有10所高校招生 如果某3位同学恰好被其中2所高校录取 那么录取方式有种 解题导引 1 三个宿舍的人数只能是2 2 1 分情况讨论即可 2 分两步进行 从10所高校选2所 从3位同学中选2位选择2所学校 规范解答 1 选d 由题意知a b c三个宿舍中有两个宿舍分到2人 另一个宿舍分到1人 若甲被分到b宿舍 a中2人 b中1人 c中2人 有 6种分法 a中1人 b中2人 c中2人 有 12种分法 a中2人 b中2人 c中1人 有 12种分法 即甲被分到b宿舍的分法有30种 同样甲被分到c宿舍的分法也有30种 所以甲不到a宿舍一共有60种分法 2 分两步进行 第1步从10所高校选2所有种 第2步 从3位同学中选2位选择2所高校 有种 由分步乘法计数原理得 录取方式共有 270 种 答案 270 易错警示 解答本例题 1 有两点容易出错 1 分类讨论时 极易少讨论一种或两种情况 2 在每一种情况中 也可能少讨论一种或两种情况 规律方法 1 组合问题的常见题型及解题思路 1 常见题型 一般有选派问题 抽样问题 图形问题 集合问题 分组问题等 2 解题思路 分清问题是否为组合问题 对较复杂的组合问题 要搞清是 分类 还是 分步 一般是先整体分类 然后局部分步 将复杂问题通过两个原理化归为简单问题 2 两类含有附加条件的组合问题的解法 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 若 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 若 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的组合题型 解这类题目必须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法或间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 用间接法求解 变式训练 2016 长春模拟 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了2个水果 且从这周的第二天开始 每天所吃水果的个数与前一天相比 仅存在三种可能 或 多一个 或 持平 或 少一个 那么 小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 a 50种b 51种c 140种d 141种 解析 选b 因为第1天和第7天吃的水果数相同 所以从这周的第二天开始后五天中 多一个 或 少一个 的天数必须相同 所以后面五天中吃的水果个数 多一个 或 少一个 的天数可能是0 1 2天 共三种情况 所以共有 51 种 加固训练 1 2016 武汉模拟 6名同学安排到3个社区a b c参加志愿者服务 每个社区安排2名同学 其中甲同学必须到a社区 乙和丙同学均不能到c社区 则不同的安排方法种数为 a 12b 9c 6d 5 解析 选b 当乙 丙中有一人在a社区时有 6 种 安排方法 当乙 丙两人都在b社区时有 3 种 安排方法 所以共有9种不同的安排方法 2 2014 广东高考 设集合a x1 x2 x3 x4 x5 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合a中满足条件 1 x1 x2 x3 x4 x5 3 的元素个数为 a 60b 90c 120d 130 解析 选d 集合a中元素为有序数组 x1 x2 x3 x4 x5 题中要求有序数组的5个数中仅1个数为 1 仅2个数为 1或仅3个数为 1 所以共有 130个不同数组 3 2016 石家庄模拟 如图 mon的边om上有四点a1 a2 a3 a4 on上有三点b1 b2 b3 则以o a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3为顶点的三角形个数为 a 30b 42c 54d 56 解析 选b 用间接法 先从这8个点中任取3个点 最多构成三角形个 再减去三点共线的情形即可 42 4 2015 商丘模拟 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有种 解析 从5本书中选出4本 可分为两种情况 第一种情况为1本画册和3本集邮册 第二种情况为2本画册和2本集邮册 将它们分给4位朋友分别有 4种 6种方法 故不同的赠送方法共有10种 答案 10 考向三排列 组合的综合应用 考情快递 考题例析 命题方向1 简单的排列与组合的综合问题 典例3 2016 衡水模拟 从1 2 3 4 5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数 当三个数字中有2和3时 2需排在3的前面 不一定相邻 这样的三位数有 a 51个b 54个c 12个d 45个 解题导引 分三种情况进行讨论 没有2 3 只有2或3中的一个 2 3均有 规范解答 选a 分三类 第1类 没有2 3 由其他三个数字组成三位数 有 个 第2类 只有2或3中的一个 需从1 4 5中选两个数字 可组成 个 第3类 2 3均有 再从1 4 5中选一个 因为2需排在3的前面 所以可组成 个 由分类加法计数原理得共有 51 个 命题方向2 分组 分配问题 典例4 2016 忻州模拟 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流 则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 a 150b 180c 200d 280 解题导引 分两步进行 将5名学生分成3组 再分配到3个班去 规范解答 选a 第1步 将5名学生分成3组 有两种情况 第一类 按3 1 1分组 有种分法 第2类 按2 2 1分组 有种分法 由分类加法计数原理得 共有 25种不同的分组方式 第2步 分配到3个班去 有种分法 由分步乘法计数原理得 共有 25 6 150 种 不同的分配方法 技法感悟 1 解决简单的排列与组合的综合问题的思路 1 根据附加条件将要完成事件先分类 2 对每一类型取出符合要求的元素组合 再对取出的元素排列 3 由分类加法计数原理计算总数 2 分组 分配问题的求解策略 1 对不同元素的分配问题 对于整体均分 解题时要注意分组后 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后一定要除以 n为均分的组数 避免重复计数 对于部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数 即若有m组元素个数相等 则分组时应除以m 分组过程中有几个这样的均匀分组 就要除以几个这样的全排列数 对于不等分组 只需先分组 后排列 注意分组时任何组中元素的个数都不相等 所以不需要除以全排列数 2 对于相同元素的 分配 问题 常用方法是采用 隔板法 题组通关 1 2016 珠海模拟 将红 黑 蓝 黄4个不同的小球放入3个不同的盒子 每个盒子至少放一个球 且红球和蓝球不能放在同一个盒子 则不同的放法的种数为 a 18b 24c 30d 36 解析 选c 将4个小球放入3个不同的盒子 先在4个小球中任取2个作为1组 再将其与其他2个小球对应3个盒子 共有 36种情况 若红球和蓝球放到同一个盒子 则黑 黄球放进其余的盒子里 有 6种情况 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36 6 30种 2 2016 泉州模拟 将甲 乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通 每个路口至少一人 且甲 乙在同一路口的分配方案共有 a 18种b 24种c 36种d 72种 解析 选c 不同的分配方案可分为以下两种情况 甲 乙两人在一个路口 其余三人分配在另外的两个路口 其不同的分配方案有 18 种 甲 乙所在路口分配三人 另外两个路口各分配一个人 其不同的分配方案有 18 种 由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18 18 36 种 3 2016