河北省唐山市唐山一中学高二数学开学调研试卷 理.doc

河北省唐山市唐山一中2014-2015学年度高二数学开学调研试卷 理一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列选项叙述错误的是（ ）a命题“若，则”的逆否命题是“若，则”b若命题，则命题是 c若为真命题，则，均为真命题d“”是“”的充分不必要条件2.已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则（ ）a b c d或3已知满足则的取值范围是（ ）a b c d4给出下面四个命题：“”的充要条件是“平行于所在的平面”；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；“直线为异面直线”的充分而不必要条件是“直线不相交”；“平面/平面”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”其中正确命题的序号是（ ）a. b c d5设是三角形的一个内角，且，则曲线表示（ ）a焦点在轴上的椭圆b焦点在轴上的椭圆c焦点在轴上的双曲线d焦点在轴上的双曲线6. 正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（ ）a b c d7已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程是（ ）a b c d8过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（ ） a b c d9设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）a b c0， d0，10.是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ） a b c d11如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（ ）a圆 b抛物线 c双曲线d直线二填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.正四棱锥的所有棱长相等，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于 14.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于,，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 15在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是 16已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 三解答题（本大题共6小题，共70分必须写出相应的文字说明、过程或步骤）17.（本题满分10分）已知:命题；命题.求使命题为假时实数的取值范围. 18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面 侧面且.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.19（本题满分12分）已知为实数，函数() 若，求函数在上的最大值和最小值；()若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围pqnmxoy20.（本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点设两点的坐标分别是，()证明：;()求抛物线方程.21（本题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为()求椭圆的方程；()直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由22（本题满分12分）已知函数在是增函数，在为减函数（）求的表达式；（）求证：当时，方程有唯一解；（）当时，若在内恒成立，求的取值范围2014-2015学年第二学期高二开学调研数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5.cdbdc 6-10.acbdd 11-12.bc11.提示：过点作平面的垂线，垂足为，在平面上过作的垂线，垂足为，连接，由三垂线定理知：，线段的长即为点到直线的距离 ，,过点在平面上作，垂足为，连接， 则平面 ， ,又点是平面上的动点，由抛物线的定义知轨迹为抛物线，选b2、 填空题13. 14. 15. 16.3、 解答题17.解：当为真命题时：；2分当为真命题时：设 此时 ；3分 当0时,由， 解得4分，综上可得.5分当真假时,，当假真时,9分当的取值范围为时,命题中有且只有一个为真命题.10分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则 1分由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.3分.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.5分.又，从而侧面 ，又侧面，故. 6分() 解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则7分在等腰直角中，且点是中点， ，且， 8分过点作于点，连，由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角9分且直角中：，又， ，11分.又二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 -12分 解法二（向量法）略.19.解：()，即 2分由，得或；由，得因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为4分在取得极大值为；在取得极小值为又，且.6分在，1上的的最大值为，最小值为8分() ，函数的图象上有与轴平行的切线，有实数解10分，即 因此，所求实数的取值范围是 12分20.解（）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，2分设，代入抛物线方程得：，4分6分（）由题意知，设点m关于直线的对称点为，则有：，8分由共线且平行于轴得，9分又三点共线，即抛物线方程为12分21.解：（）由题意得，解得，椭圆的方程是4分（）以线段为直径的圆过轴上的定点.设，由得，6分,直线的方程为，故点直线的方程为，故点 8分若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立9分，恒成立又因为，所以得故过定点.12分22.解：（），在上恒成立， ，2分又，在上恒成立，4分 5分（）由（）可知，方程为，即设，由，6分令，解得 令， ，解得 8分递增区间为，递减区间为即在处有一个最小值，即当且时，只有一个解所以当时，方程有唯一解9分（），当,为减函数，最小值为10分令，则，在恒成立函数在为增函数，其最大值为11分依题意，解得为所求范围12分2014-2015学年第二学期高二开学调研数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5.cdbdc 6-10.acbdd 11-12.bc11.提示：过点作平面的垂线，垂足为，在平面上过作的垂线，垂足为，连接，由三垂线定理知：，线段的长即为点到直线的距离 ，,过点在平面上作，垂足为，连接， 则平面 ， ,又点是平面上的动点，由抛物线的定义知轨迹为抛物线，选b3、 填空题13. 14. 15. 16.4、 解答题17.解：当为真命题时：；2分当为真命题时：设 此时 ；3分 当0时,由， 解得4分，综上可得.5分当真假时,，当假真时,9分当的取值范围为时,命题中有且只有一个为真命题.10分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则 1分由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.3分.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.5分.又，从而侧面 ，又侧面，故. 6分() 解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则7分在等腰直角中，且点是中点， ，且， 8分过点作于点，连，由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角9分且直角中：，又， ，11分.又二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 -12分 解法二（向量法）略.19.解：()，即 2分由，得或；由，得因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为4分在取得极大值为；在取得极小值为又，且.6分在，1上的的最大值为，最小值为8分() ，函数的图象上有与轴平行的切线，有实数解10分，即 因此，所求实数的取值范围是 12分20.解（）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，2分设，代入抛物线方程得：，4分6分（）由题意知，设点m关于直线的对称点为，则有：，8分由共线且平行于轴得，9分又三点共线，即抛物线方程为12分21.解：（）由题意得，解得，椭圆的方程是4分（）以线段为直径的圆过轴上的定点.设，由得，6分,直线的方程为，故点直线的方程为，故点 8分若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立9分，恒成立又因为，所以得故