探究勾股定理.doc

勾股定理教案 文峰学校 何邦国教材:浙教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级(上)课题: 2.7 勾股定理一、地位作用勾股定理是初等几何中的一个基本定理,它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位；勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，从而将原来对几何学的感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立；勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何及三角学的建立，是几何证明、计算和测量求值主要手段之一，使数学的几何与代数两大门类结合起来。勾股定理的学习建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展，通过本节课的学习为下节课学习勾股定理在实际生活中的应用奠定了基础，也是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化。利用勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题;可以进行几何计算如求边长、周长、面积等，可以利用勾股定理作图如在数轴上作出表示无理数的点；它在日常生活中有着广泛的应用，诸如用于无法直接实现的测量；它在物理学中的力学、光学的学习中都有所应用，科学家们甚至试图利用勾股定理探索宇宙奥秘。本节内容是学生在学习了整式的乘法、实数运算和直角三角形的性质的基础上继续学习的，通过观察赵爽弦图，渗透数学文化教育，通过观察地砖的图形特征和图形面积计算，发现直角三角形的三边关系，通过一般直角三角形证明勾股定理，让学生经历观察、抽象、提炼、推理的学习过程，有能力的发展点、个性和创新精神培养点；其蕴含的文化背景知识、转化思想、归纳思想、数形结合思想、演绎思想等对发展学生的文化内涵和智力都有积极影响。在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神，使不同的学生在数学上得到不同的发展。二、教学设计分析教 学 目 标知识技能1、了解勾股定理的文化背景。2、体验勾股定理的探索过程。3、运用勾股定理进行简单计算。数学思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。解决问题1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。2、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。3、初步渗透运用勾股定理解决直角三角形相关的问题的数学方法。情感态度1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。教学重点探索和证明勾股定理。教学难点用拼图的方法证明勾股定理。教学方法引导发现、合作探究式教学手段多媒体学法指导 将勾股定理的探索过程设计为梯度式，先从等腰直角三角形入手，发现规律，再探究一般直角三角形是否满足规律，让学生直接发现两条直角边的平方和等于斜边的平方有难度，教学中安排先发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积之间的关系。教学流程安排教学活动流程活动内容和目的活动1创设情境通过对赵爽弦图的了解，调动起学生对勾股定理的探索兴趣，培养民族自豪感。活动2探索勾股定理观察、分析网格图，得出直角三角形的性质勾股定理，初步掌握转化和从特殊到一般的数学思想，发展学生分析问题的能力。活动3证明勾股定理通过剪拼图形证明勾股定理，学生亲自动手割补拼接，体会数形结合的数学思想，尝试一题多解，激发探索精神。活动4简单应用勾股定理 通过一组练习让学生熟悉勾股定理，了解直角三角形三边之间的数量关系，初步掌握在直角三角形中知道两边求第三边的方法，利用勾股定理进行公式变形，建立运用勾股定理解决直角三角形相关问题的意识，及为下节课研究勾股定理的应用做好铺垫。活动5知识盘点学生归纳总结本节课的收获，教师补充，提升高度，使学生扎实掌握本节课知识。活动6布置作业布置给学生包含“巩固训练”和“知识拓展”两项作业任务，体现出分层教学思想。让不同的人在数学上得到不同的发展。教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：观察2002年北京国际数学家大会会徽：1、简介国际数学家大会。2、你能说出这个会徽图案是由哪些图形拼成的？3、你知道为什么选择它作为会徽的中心图案？(会徽取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图)4、揭示目标课题。1、教师出示照片及图片。2、学生观察图片发表见解。3、教师作补充说明。从现实生活中提出北京国际数学家大会会徽，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料。介绍勾股定理的文化背景，培养学生爱国热情。活动2：1、问题情境相传古希腊著名的数学家毕达哥拉斯,一次他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性（1）、请你观察地砖图案,说出它是由什么图形组成的?（2）、选中任意一个等腰直角三角形,以它的三边长为边长向外作正方形,你能发现这三个正方形面积之间的关系吗?2、观察探究一在网格图中作一个等腰直角三角形,以它的三边长为边长向外作正方形,观察图形、回答问题:（1）、正方形A、B、C的面积分别是多少？（2）、交流怎样求出正方形C的面积？AB（3）、三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系？C（4）、 你能用直角三角形的三边长a、b、c表示上述面积关系吗？3、观察探究二将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上述结论是否依然成立？观察图形、回答问题：（1）、正方形A、B、C的面积分别是多少？（2）、三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系？（3）、你能用直角三角形的三边长a、b、c表示上述面积关系吗？（4）、你能用数学语言归纳直角三角形三边之间的数量关系吗？cABC1、教师出示投影片并提出问题。2、学生观察图形，以问题为主线在独立探究的基础上分组交流。3、教师参与小组活动，指导、倾听学生交流。关注不同认知水平的学生。4、教师引导学生归纳概括。5.教师在课前发给学生网格纸。ACBacb 图1(2)CABc问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望。渗透从特殊到一般的数学思想，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验。让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理他人的见解，能从交流中获益。活动3： 是不是所有的直角三角形都有这一特点?这就需要对一个一般的直角三角形进行证明：1、证法一：面积计算再观察会徽图案，规定直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，你能用几种方法求出此图形的面积？与同学交流求法。2、介绍勾、股、弦3、勾股定理5、证法二：剪拼图形请同学们拿出我们课前准备的四个全等的直角三角形，以小组为单位，用拼图的方法验证这个命题。1、教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。cabcabcabcabcba2、教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助指导学生完成拼图活动。3、学生展示分割、拼接过程，口述证法。ababab abccccac年b通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维。通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望。给学生充分的时间与空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。 用两种方法进行证明，培养善于多角度发现问题、思考问题,感受解决问题的多样性。活动4：勾股定理应用1、练习1、如图，在在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。（1）若a=12,b=5,则c等于多少？（2）若a=6,c=10,则b等于多少？（3）若b=7，c=8则a等于多少2、将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？3、一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.1、找学生板演。AB16090400040C2、教师巡视指导答疑。 利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫。活动5：知识盘点1、赵爽弦图2、勾股定理：a2+b2=c23、勾股定理的证明。4、了解勾股定理的历史背景和文化内涵。5、结论变形： 6、在直角三角形中斜边最长。7、可用勾股定理建立方程。8、勾股定理是直角三角形的一条重要性质，可利用它解决直角三角形的相关问题。9、勾股定理在数学计算、物理学科、生活实际、美学等方面的重要应用。1、学生归纳总结本节课的收获。2、教师补充，提升高度。学生归纳总结，可以梳理本节课知识体系，提高概括能力、语言表达能力，教师补充，可以将小结提升一个高度，有助于学生掌握知识。为学生创造交流的空间，调动学生积极性，既引导学生从面积的角度理解勾股定理，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。活动6：布置作业（A）、巩固训练教材习题（B）、知识拓展、你还能用其它方法证明勾股定理吗？、查阅、收集有关勾股定理的历史资料及证明方法，下节课展示交流1、教师布置作业2、学生课后独立完成。作业中包含两项任务，体现出分层教学思想。给学生留有继续学习的空间和兴趣，让不同的人在数学上得到不同的发展。板书设计：勾股定理1、勾股定理： a2+b2=c22、结论变形: 求出下列直角三角形未知边的长度学生板演：三、教学策略分析前苏联数学家斯托利亚尔在数学教育学一书中说：数学活动的思维过程按照三个阶段的模式进行:第一阶段，经验材料数学组织化;第二阶段，数学材料的逻辑组织化;第三阶段，数学理论的应用.所以本节课采用“问题情境自主探究拓展应用总结升华”的模式展开.整个过程前后联系,层层递进.整个教学设计突出以下几个特点:1. 以学生为主体，注重知识的生成过程无论是勾股定理的发现，还是定理的证明,都真正做到以学生为主体，以教师为主导.教师只是适当点拨，让学生全员参与各个环节,亲身经历问题的发现与解决的全过程.特别是定理的证明几乎完全采用自主探究,合作交流的方式完成.通过小组合作,为学生营造一个自主探索、主动发展的思维空间.让学生亲身体验知识的发生、发展的过程,从而使教与学和谐、有机地融为一体.2.以方法为主线,注重数学思想的渗透 在整个教学过程中面积法始终贯穿其中,因为这种方法在证明中并不很常见.而在求面积的过程中又要运用到割补法,这些学生运用起来都有一定的困难.因此,教师必须作好引导和铺垫.本节课从简单、特殊的图形入手,让学生迅速猜想出结论,再过渡到一般情况,让学生在再发现的过程中,体会从特殊到一般的数学思想.在发现结论的过程中是从“形”到 “数”,而在定理的证明过程中则是从“数” 到“形”,整个过程可以让学生充分体会数形结合的思想以及数学的和谐之美. 3. 以活动为阵地,注重学生能力的培养数学教学应该注重培养学生自主学习的意识和习惯，尊重学生的个体差异，灵活运用多种教学策略，引导学生在实践中提高能力.