构造全等三角形证明竞赛题.doc

构造全等三角形证明竞赛题江西安义人全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、 与线段相等有关的竞赛题例（成都市初二数学竞赛题）如图，ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PDPE。求证：ACAB。简证：连AP。因为PDAPEA90，PDPE，PAPA，所以PDAPEA（HL）。所以ADAE。因为90CAB，所以ACEABD（AAS）。所以ACAB。图图例（天津市初二数学竞赛题）如图，ACBC，ACB90，A的平分线AD交BC于点D，过点B作BEAD于点E。求证：BEAD。简证：延长BE、AC交于点F。因为，AEAE，AEBAEF90，所以AEBAEF（ASA）。所以BEFEBF。因为90F，BCAC,所以BCFACD（ASA）。所以BFAD，BEAD。二、 与角相等有关的竞赛题例（赣州市初三数学竞赛题）如图，ABC中，ACB90，ACBC，BD是中线，CEBD于点E，交AB于点F。求证：ADFCDE。简证：过点A作AGAC交CF的延长线于点G。因为90，ACBC，所以CAGBCD（ASA）。所以AGCDAD，GCDE。因为45，AFAF,所以ADFAGF（SAS）。所以ADFGCDE。 图图例（上海市初中数学竞赛题）如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，AE（ADAB）。求证：ADCABC180。简证：过点C作CFAD交AD的延长线于点F。因为，ACAC，所以ACFACE（AAS）。所以CFCE，AFAE。因为ADABAE，ABAEEB，所以EBAEAD。因为FDAFAD，所以EBFD。所以CEBCFD（SAS）。所以ABC5。所以ADCABCADC180。构造全等三角形巧证几何题朱元生全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。一. 证线段垂直例1. 已知，如图1，在中，AB2BC，求证：图1分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。则为等腰三角形。再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。再由，BDBD，得到。由全等三角形的对应角相等，得到，即。二. 证线段的倍分例2. 已知，如图2，等腰中，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD2CE（湖北中考题）图2分析与证明：要证BD2CE，可延长BA、CE交于点F。由BE平分，得到为等腰三角形。根据等腰三角形的性质可得CEEF，即。再由，ABAC，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BDCF2CE。三. 证角相等例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，求证：图3分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至G，使DGAD，连BG，由DGAD，BDCD得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到ACBG，。而ACBE，则BEBG，所以，而，从而得到。四. 证角不等例4. 已知：如图4，在中，AD是BC边的中线。求证：图4分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至E，使DEAD，连BE。由DECD，BDCD，得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BEAC，在中，由，得到，而，所以五. 证线段相等例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。求证：BFCG。图5分析与证明：要证BFCG，显然要构造三角形找全等。由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EBEC。又AE为的平分线，且，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BFCG。六. 证线段不等例6. 已知：如图6，在中，ABAC，P是三角形内一点，且，求证：图6分析与证明：PB、PC虽在同一三角形中，但与已知条件无直接联系，可利用图形变换构全等三角形。将绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得，则，从而转化为比较PC与QC的大小，为此只须证即可。由，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得到，AQAP，PBQC，所以，从而，即。由大角对大边得到，即七. 证线段和差相等例7. 已知：如图7，在中，CD是的平分线，求证：BCADAC图7分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。在BC上取一点E，使CECA，连DE，由CACE，CDCD，可得。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到ADED，且，而，得到，从而，所以八. 证线段和差不等例8. 已知：如图8，D为的BC边的中点，的平分线分别与AB、AC交于点E、F，求证：图8分析与证明：直接论证，条件不足，可设法将有关线段集中于同一三角形中，为此延长FD至M使DMFD，利用角平分线性质构全等三角形，帮助解决。延长FD至M，使DMFD，连结BM、EM。由DMDF，BDCD，得到。由全等三角形的对应边相等得到BMCF。由，而，所以；又由，从而。再由，DEDE，得到。同样由