高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 9.4 变量间的相关关系与统计案例课件 理.ppt

第四节变量间的相关关系与统计案例 知识梳理 1 相关关系与回归方程 1 相关关系的分类 正相关 从散点图上看 点散布在从 到 的区域内 负相关 从散点图上看 点散布在从 到 的区域内 左下角 右上角 左上角 右下角 2 线性相关关系 从散点图上看 如果这些点从整体上看大致分布在 附近 则称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做 3 回归方程 最小二乘法 使得样本数据的点到回归直线的 最小的方法叫做最小二乘法 一条直线 回归直线 距离 的平方和 回归方程 两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 其回归方程为则其中 是回归方程的 是在y轴上的 斜率 截距 4 样本相关系数用它来衡量两个变量间的线性相关关系 当r 0时 表明两个变量 正相关 当r0 75时 认为两个变量有很强的线性相关关系 负相关 越强 2 独立性检验 1 2 2列联表 假设有两个分类变量x和y 它们的值域分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称2 2列联表 为 a b b d 2 k2统计量k2 其中n a b c d为样本容量 特别提醒 回归分析的关注点 1 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上 实质上回归直线必过 点 可能所有的样本数据点都不在直线上 2 利用回归方程分析问题时 所得的数据易误认为准确值 而实质上是预测值 期望值 小题快练 链接教材练一练1 必修3p90例改编 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析 所得数据如下表 则y对x的线性回归直线方程为 a 2 3x 0 7b 2 3x 0 7c 0 7x 2 3d 0 7x 2 3 相关公式 解析 选c 因为 6 2 8 3 10 5 12 6 158 所以 4 0 7 9 2 3 故线性回归直线方程为 0 7x 2 3 2 选修2 3p97习题3 2t1改编 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系 现随机抽取50名学生 得到如下2 2列联表 已知p k2 3 841 0 05 p k2 5 024 0 025 根据表中数据 得到k2的观测值k 4 844 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 解析 k2的观测值k 4 844 这表明小概率事件发生 根据假设检验的基本原理 应该断定 是否选修文科与性别之间有关系 成立 并且这种判断出错的可能性约为5 答案 5 感悟考题试一试3 2016 太原模拟 某商品销售量y 件 与销售价格x 元 件 负相关 则其回归直线方程可能是 a 10 x 200b 10 x 200c 10 x 200d 10 x 200 解析 选a 因为商品销售量y 件 与销售价格x 元 件 负相关 所以0 所以应选a 4 2015 福建高考 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系 随机调查了该社区5户家庭 得到如下统计数据表 根据上表可得回归直线方程 其中 0 76 据此估计 该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为 a 11 4万元b 11 8万元c 12 0万元d 12 2万元 解析 选b 由题意得所以 8 0 76 10 0 4 所以 0 76x 0 4 把x 15代入得到 11 8 5 2016 武汉模拟 为考察某种药物预防疾病的效果 对100只某种动物进行试验 得到如下的列联表 经计算 统计量k2的观测值k 4 762 则在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效 已知独立性检验中统计量k2的临界值参考表为 a 0 005b 0 05c 0 010d 0 025 解析 选b 由题意算得 k2 4 762 3 841 参照附表 可得在犯错误的概率不超过0 05的前提下 认为药物有效 考向一相关关系的判断 典例1 1 2016 泉州模拟 下列四个图象中 两个变量具有正相关关系的是 2 2016 汕头模拟 四名同学根据各自的样本数据研究变量x y之间的相关关系 并求得回归直线方程 分别得到以下四个结论 y与x负相关且 2 347x 6 423 y与x负相关且 3 476x 5 648 y与x正相关且 5 437x 8 493 y与x正相关且 4 326x 4 578 其中一定不正确的结论的序号是 a b c d 解题导引 1 观察两个变量的散点图 若样本点呈直线形带状分布 则两个变量具有相关关系 带状越细说明相关关系越强 可得到两个变量具有相关关系的图 2 根据回归直线方程的系数的符号进行判断 规范解答 1 选d a中两个变量之间是函数关系 不是相关关系 在两个变量的散点图中 若样本点呈直线形带状分布 则两个变量具有相关关系 对照图形 b d样本点呈直线形带状分布 b是负相关 d是正相关 c样本点不呈直线形带状分布 所以两个变量具有正相关关系的图是d 2 选d 正相关指的是y随x的增大而增大 负相关指的是y随x的增大而减小 故不正确的为 规律方法 1 散点图法判断相关关系根据点的分布情况及正相关 负相关的概念判断 2 线性相关关系与函数关系的区别 1 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 例如 正方体体积v与棱长x之间的关系v x3就是函数关系 2 相关关系是一种非确定性关系 即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系 例如 商品的销售额与广告费是相关关系 两个变量具有相关关系是回归分析的前提 变式训练 2016 长沙模拟 某公司在2015年上半年的收入x 单位 万元 与月支出y 单位 万元 的统计资料如表所示 根据统计资料 则 a 月收入的中位数是15 x与y有正线性相关关系b 月收入的中位数是17 x与y有负线性相关关系c 月收入的中位数是16 x与y有正线性相关关系d 月收入的中位数是16 x与y有负线性相关关系 解析 选c 月收入的中位数是 16 收入增加 支出增加 故x与y有正线性相关关系 加固训练 1 2016 顺德模拟 观察下列散点图 则 正相关 负相关 不相关 它们的排列顺序与图形相对应的是 a a b c b a b c c a b c d a b c 解析 选d 变量的相关性的图形表示法 在相关变量中 图a从左下角到右上角是正相关 图c从左上角到右下角是负相关 图b的点分布不规则是不相关 2 给出下列关系 正方形的边长与面积之间的关系 某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系 人的身高与视力之间的关系 雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系 学生与其学号之间的关系 其中具有相关关系的是 解析 正方形的边长与面积之间的关系是函数关系 化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严格的函数关系 但是具有相关性 因而是相关关系 人的身高与视力之间的关系既不是函数关系 也不是相关关系 能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系 学生与其学号之间的关系是一种确定的对应关系 综合以上可知 具有相关关系 而 是确定性的函数关系 答案 3 2016 渭南模拟 某公司的科研人员在7块并排 形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验 得到如下表所示的一组数据 单位 kg 1 画出散点图 2 判断是否具有相关关系 解析 1 散点图如图所示 2 由散点图知 各组数据对应点大致都在一条直线附近 所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系 考向二独立性检验 典例2 2016 洛阳模拟 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查 并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数 说明 图中饮食指数低于70的人 饮食以蔬菜为主 饮食指数高于70的人 饮食以肉类为主 1 根据以上数据完成下列2 2列联表 2 能否在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 并写出简要分析 附 k2 解题导引 1 把握2 2列联表的意义 准确填入数据 2 将数据代入随机变量k2的计算公式进行计算 与临界值比较并得出结论 规范解答 1 2 2列联表如下 2 因为k2的观测值k 10 6 635 所以能在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 母题变式 1 若本例中条件不变 能否说有99 的亲属的饮食习惯与年龄有关 解析 这种说法不正确 能在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 是这个论断成立的可能性大小的结论 与是否有 99 的亲属的饮食习惯与年龄有关 无关 2 若本例中条件不变 求认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性为多少 解析 因为k2的观测值k 10 6 635 所以认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性为1 规律方法 解决独立性检验问题的一般步骤 1 根据样本数据制成2 2列联表 2 根据公式k2 计算k2的值 3 查表比较k2与临界值的大小关系 作统计判断 易错提醒 应用独立性检验方法解决问题 易出现不能准确计算k2值的错误 变式训练 2016 常德模拟 在研究打鼾与患心脏病之间的关系中 通过收集数据 整理分析数据得到 打鼾与患心脏病有关 的结论 并且在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为这个结论是成立的 下列说法中正确的是 a 100个心脏病患者中至少有99人打鼾b 1个人患心脏病 则这个人有99 的概率打鼾c 100个心脏病患者中一定有打鼾的人d 100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有 解析 选d 这是独立性检验 犯错误的概率在不超过0 01的前提下认为 打鼾与患心脏病有关 这只是一个概率 即打鼾与患心脏病有关的可能性为99 根据概率的意义答案应选d 加固训练 2016 梧州模拟 下面是一个2 2列联表 则表中a b处的值分别为 a 94 96b 52 54c 52 50d 54 52 解析 选b 根据表格中的数据可知 2 a b b 46 100 解得b 54 a 52 考向三回归分析 考情快递 考题例析 命题方向1 线性回归方程的应用 典例3 2016 武汉模拟 某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比 得到如下表格 其中i 1 2 3 4 5 6 7 1 以每天进店人数为横轴 每天商品销售件数为纵轴 画出散点图 2 求回归直线方程 结果保留到小数点后两位 3 预测进店人数为80人时 商品销售的件数 结果保留整数 解题导引 利用公式求出 的值 再将进店人数80代入回归方程估计商品销售的件数 规范解答 1 散点图如图所示 3 进店人数为80人时 商品销售的件数y 0 78 80 4 07 58件 命题方向2 非线性回归模型的应用 典例4 2016 安庆模拟 在彩色显像中 由经验知 形成染料的光学密度y与析出银的光学密度x由公式y b 0 表示 现测得实验数据如下 试求y对x的回归方程 解题导引 将公式y 两边取自然对数 得lny lna 则取u v lny a lna 可得v a bu 再用最小二乘法求a b 规范解答 将题目所给的公式y 两边取自然对数 得lny lna 与线性回归直线方程相对照 只要取u v lny a lna 就有v a bu 可得则这就是y对x的回归曲线方程 技法感悟 1 线性回归问题的求解思路 1 作出散点图 判断是否线性相关 2 如果是 则用公式求 写出回归方程 3 根据方程进行估计 2 非线性回归方程的求法 1 根据原始数据 x y 作出散点图 2 根据散点图选择恰当的拟合函数 3 作恰当的变换 将其转化成线性函数 求线性回归方程 4 在 3 的基础上通过相应变换 即可得非线性回归方程 3 常见曲线方程的变换公式 题组通关 1 2016 长沙模拟 设某大学的女生体重y 单位 kg 与身高x 单位 cm 具有线性相关关系 根据一组样本数据 xi yi i 1 2 n 用最小二乘法建立的回归方程为 0 85x 85 71 则下列结论中不正确的是 a y与x具有正线性相关关系b 回归直线过样本点的中心 c 若该大学某女生身高增加1cm 则其体重约增加0 85kgd 若该大学某女生身高为170cm 则可断定其体重必为58 79kg 解析 选d x的系数大于零正相关 故a正确 由回归直线方程的计算公式可知直线必过样本点的中心 故b正确 由一次函数的单调性知 x每增加1cm 体重约增加0 85kg 是估计变量 故c正确 体重应约为58 79kg 是估计变量 故d错误 2 2016 揭阳模拟 下表是某厂1 4月份用水量 单位 百吨 的一组数据 由其散点图知 用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系 其线性回归方程是 0 7x 则 解析 所以 3 5 0 7 2 5 5 25 答案 5 25 3 2016 太原模拟 从某居民区随机抽取10个家庭 获得第i个家庭的月收入xi 单位 千元 与月储蓄yi 单位 千元 的数据资料 算得 1 求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程 2 判断变量x与y之间是正相关还是负相关 3 若该居民区某家庭月收入为7千元 预测该家庭的月储蓄 解析 1 由题意知n 10 又 720 10 82 80 184 10 8 2 24 由此得故所求线性回归方