《圆》全章复习与巩固—知识讲解(提高).doc

圆全章复习与巩固知识讲解（提高） 【学习目标】1理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线.2圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等.要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系1判定一个点P是否在O上设O的半径为，OP=，则有点P在O 外；点P在O 上；点P在O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2判定几个点在同一个圆上的方法当时，在O 上.3直线和圆的位置关系设O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和O有唯一公共点直线和O相切.(3)直线和O有两个公共点直线和O相交.4切线的判定、性质(1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 .(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.2圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1. 如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB=45,点在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与O有公共点, 设OP=x，则的取值范围是（ ）.A11 B C0 D 【答案】C； 【解析】如图，平移过P点的直线到P，使其与O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得OQP=90，OAPQ，OPQ=AOB=45，OQP为等腰直角三角形，在RtOQP中，OQ=1，OP=，当过点P且与OA平行的直线与O有公共点时，0OP，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同故答案为：0OP【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值举一反三：【变式】如图，已知O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，AOB=45，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A-1x0或0x1 B0x1 C-x0或0x Dx1 【答案】O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，AOB=45，过点P且与OB平行的直线与O相切时，假设切点为D，OD=DP=1，OP=，0OP，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-OP0，-OP0，或0OP故选C类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2如图所示，已知在O中，AB是O的直径，弦CGAB于D，F是O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CEBE 【答案与解析】 证法一：如图(1)，连接BC， AB是O的直径，弦CGAB， ， CCBE CEBE 证法二：如图(2)，作ONBF，垂足为N，连接OE AB是O的直径，且ABCG， ， BFCG，ONOD ONEODE90，OEOE，ONOD， ONEODE， NEDE ， BNCD， BN-ENCD-ED， BECE 证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N ， OCBF AB是O的直径，CGAB， ， ， OCOB， OC-ONOB-OD，即CNBD又CNEBDE90，CENBED， CNEBDE， CEBE【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法举一反三：【变式】如图所示，在O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,A=B=60,则BC的长为（ ）A19 B16 C18 D20 【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OEBC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在RtODE中，ODE=60，DOE=30,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D 类型三、与圆有关的位置关系3一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）； （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果.【答案与解析】（1）如图（2），作O1EO2O3 四边形ABCD的面积是： （2）制作一个烟盒至少需要纸张： .【点评】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积. 【答案与解析】分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 . （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 .【点评】要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高.为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB.此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论.举一反三：【变式】CAD所夹圆内部分的面积.【答案】符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O在CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OEAD于点E OCAB （2）圆心O在DAC的外部时，如图（2），有： .类型五、圆与其他知识的综合运用5. 【答案与解析】延长DB至点E，使BEDC，连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中， AEBADC AEAD ADB60 AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDCDBDCDA.【点评】由已知条件，等边ABC可得60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如： （1）延长DC至F，使CFBD，连结AF，再证ACFABD，得出ADDF，从而DBCDDA. （2）在DA上截取DGDC，连结CG，再证BDCAGC，得出BDAG，从而DBCDDA.6如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点B，则图中阴影部分的面积是（ ）. A. 3pB. 6p C. 5pD. 4p 【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB为直径的半圆的面积+扇形ABB的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB的面积则阴影部分的面积是： =6故选B【点评】根据阴影部分的面积=以AB为直径的半圆的面积+扇形ABB的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB的面积即可求解举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.圆全章复习与巩固巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1如图所示，AB、AC为O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BDOB，连接AD如果DAC78， 那么ADO等于( ) A70 B64 C62 D512在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( ) A54m Bm Cm Dm 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图3设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4+8)cm2 B.(4+16)cm2 C.(3+8)cm2 D.(3+16)cm24如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A12.5寸 B13寸 C25寸 D26寸 第5题图 第6题图 第8题图6在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条7一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( ) A80 B100 C80或100 D160或2008如图所示，AB、AC与O分别相切于B、C两点，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是( ) A65 B115 C65或115 D130或50二、填空题9如下左图，是的内接三角形，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是_ _. 第9题图 第10题图10如图所示，EB、EC是O是两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，DCF=32，那么A的度数是_.11已知O1与O2的半径、分别是方程 的两实根，若O1与O2的圆心距=5则O1与O2的位置关系是 _ _ . 12已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是_.13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_ _.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_ _，面积为_ _15如图(1)(2)(m)是边长均大于2的三角形、四边形、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧， (1)图(1)中3条弧的弧长的和为_ _，图(2)中4条弧的弧长的和为_ _； (2)求图(m)中n条弧的弧长的和为_ _(用n表示)16如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9m2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要_ _m2的毛毡三、解答题17. 如图，O是ABC的外接圆，FH是O 的切线，切点为F，FHBC，连结AF交BC于E，ABC的平分线BD交AF于D，连结BF（1）证明：AF平分BAC；（2）证明：BFFD. 18.已知射线OF交O于B，半径OAOB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交O于D，过D作O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形. (2)观察图形，点P在移动过程中，DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设DEP的度数为x，OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.19如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积. 20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图(1)，在正ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON60，则BMCN； 如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON90，则BMCN 然后运用类似的思想提出了如下命题：如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，则BMCN 任务要求： (1)请你从三个命题中选择一个进行证明； (2)请你继续完成下面的探索； 在正n(n3)边形ABCDEF中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当BON等于多少度时，结论BMCN成立(不要求证明)； 如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，BON108时，试问结论BMCN是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【答案与解析】一、选择题1【答案】B； 【解析】由AB为O的切线，则ABOD又BDOB，则AB垂直平分OD，AOAD，DABBAO由AB、AC为O的切线，则CAOBAODAB所以，DABDAC26ADO90-2664本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等2【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形由题意，SOAB于O， SOASOB90又SASB，ASB120， SABSBA，设SOx m，则AS2x m AO27，由勾股定理，得(2x)2-x2272，解得(m)3【答案】A.； 【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm， AD=BC=4cm，DAF=90，又AF=AD=4cm， ， .4.【答案】A； 【解析】OM最长是半径5；最短是OMAB时，此时OM=3，故选A.5【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在RtAOE中，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸). 故选D.6【答案】C. 【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在RtAOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，而两圆半径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，共有3条公切线.7【答案】C； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为注意分情况讨论8【答案】C；【解析】连接OC、OB，则BOC360-90-90-50130点P在优弧上时，BPCBOC65；点P在劣弧上时，BPC180-65115主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理二、填空题9【答案】； 10【答案】99； 【解析】由EB=EC，E=46知，ECB= 67，从而BCD=180-67-32=81，在O中，BCD与A互补，所以A=180-81=99.11【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-+,所以两圆相交.12.【答案】2个；【解析】直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线的距离6cm6.5cm，所以直线与圆相交，有2个公共点.13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一