巧用焦半径公式[1].doc

命题：P是椭圆1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。证明：|PF2|=(x0-c)+(y0)=x0-2cx0+c+b(1-x0/a)=(c/a)x0-2cx+a=a-(c/a)x0说明：数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。一、用于求离心率例分析：所以，所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。五、用于求三角形的面积例分析：。由余弦定理得。解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以。九、用于求线段的比。例分析：由两式相减并化简得。所以。所以。令，则，故所以，所以。如图 设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。 易知易知 的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。 设的坐标为，则 如图，连，则，由焦半径公式得，即。 若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。 。6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_。 由， ，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。 ，8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。例1 已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF1|= (1)从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得|PF1|= (-axa)同理有 |PF2|= (-axa)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2 P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】 问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】 依题意，有方程组-得代于并整理得r1-r2= 联立，得 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3 P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1l交l于D1.求证：.【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex. 对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+. 故有.【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0）与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0e1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4 设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）. 【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果. 【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex 同理还有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）；（4）。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90时，在三角形PEQ中，有由椭圆焦半径公式（1）得。消去后，化简即得（1）。而当大于90时，在三角形PEQ中，有，以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。五、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例5. P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：因为PFEF，所以由（2）式得。再由题意得。注意到。例6. P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，则：。因为a10，b8，c6，由变式（2）得所以三角形PEF的面积例7经过椭圆的左