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中原名校20132014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：cdccb abbda db二、填空题：13.0 14.168 15. 16.17.解：().函数的最大值为.当取最大值时,解得.故的取值集合为.(6分)()由题意,化简得 , , 在中,根据余弦定理,得.由,知,即.当时,取最小值.(12分)18.解：()由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500(0.00500.00430.0032)20125人. . (2分)()设500名学生的平均成绩为,则(0.00650.01400.01700.00500.00430.0032)2078.48分.(6分)()设学生甲答对每道题的概率为,则,.学生甲答题个数的可能值为3,4,5,则=所以的分布列为345345. (12分)19. ()证明：是的中点时,/,/,/平面,/平面,平面/平面,平面,/平面.(6分)()建立如图所示的坐标系,则有,设,平面的法向量,则有pdabgcefyxz,解得. .平面的法向量,依题意,.于是.平面的法向量,则有,解得. .与平面所成角为,则有,故有.(12分)20.解：()设抛物线的方程为,依题意,则所求抛物线的方程为.(2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,.,.设点坐标为,则有.,或.或, 恒成立. .又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为.(8分)()假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得. ,.的中点坐标为,即,的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. .(12分)21.解：(),.,且.解得a2,b1. .(4分)(),设,则,令,得x1(x1舍去).当x时, h(x)是增函数；当x时, h(x)是减函数.则方程在内有两个不等实根的充要条件是解得.(8分)(),.假设结论成立,则有,得.由得,于是有,即. 令, (0t1),则0.在0t1上是增函数,有,式不成立,与假设矛盾.cabdefgame.(12分)22. ()证明：设与交于点,连接.,又,.于是有,注意到,四点共圆.从而有,.(5分)()在中, ,由,知,.又,.故.(10分)23.解：()曲线：,直线：. .(5分)()曲线：,与直线联立得,消去,得,由知,. .(10
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