实变函数--ch4可测函数.doc

第四章可测函数 4.1. 可测函数及其性质定义4.1.1设, A )是可测空间，A是代数，A，函数 若 ， 有A，称为E上的（A）可测函数如：常值函数 是 E上的可测函数定理4.1.1设, A )是可测空间，A，函数 则以下四命题等价(1) A； (2) A；(3) A； (4) A证：(1) (2) (3) 见书上(3) (4) A(4) (1)A定理4.1.2设, A )是可测空间，函数 那么：(1) 集族 A 是上的代数(2) 若在X上可测，则包含中的全体开集因此，在X上可测开集，有A(3) 若在X上可测，则包含中的Borel集全体B(4) 若g在上Borel可测，在X上可测，则在X上可测证：(1) 首先，由 A， 故 若，则A，即；若，则 A， 即 ， 是代数(2) 对于，有，由Th4.1.1，知 而中开集均为至多可数个形如 及 区间的并集 由(1)得(2)(3) B是由生成的代数，而是包含的代数，(3)成立(4) B ； 由(3)，A， 据(2)， 在X上可测推论1设是拓扑空间，A为X上的代数，且A，若 连续，则在X上A可测 (书上错)如：取，则一切连续函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的连续函数均为E上的Lebesgue 可测函数推论2R上的严格单调函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的单调函数均为E上的Lebesgue 可测函数证：若，则 ； 若，则 引理1(1) 若在A上可测，则在E的任一可测子集上可测；(2) 若在 A上可测 ，则在 上可测引理2设和g在 A上可测，则 A证：记有理数集 ，有 A定理4.1.3设和g在A上可测，记 ，则下列函数是E上的可测函数(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) 证：(1) A知， 在E上可测若 ，则 在E上可测若 ，则 A； 若 ，则 利用引理1(2)，在E上可测 若 ，则 在E上可测(2), (3), (4) 证略(5) ， 应用(4) 及Th4.1.2 (4) 即可得(5)定理4.1.4设是A上的可测函数列，则 ， 均为E上的可测函数证：，由于 A； A；， 可得以上四个函数均在E上可测推论1在A上可测 正部 及负部 均在E上可测 推论2在A上收敛的可测函数列的极限函数 在E上可测简单函数：A， A 且两两不交，称为E上的简单函数定理4.1.5设是A上的可测函数， 则存在E上的简单函数列 满足 ，证：先设令 ， ， 易知， 为E上非减的非负简单函数列下证 若 ，则 ，于是 若 时， 使 此时， 于是 ， 从而 若 是E上的一般可测函数，则由已证结论，存在E上非减的非负简单函数列与， 使 令 ， 则为简单函数， 且 于是有 ，推论1若是A上的有界可测函数，则存在一致有界的简单函数列 在E上一致收敛于推论2是A上的可测函数 可表示为E上的简单函数列的极限4.2. 可 测 函 数 列几乎处处 a.e.： 设, A, 是测度空间，A为代数，存在零测集，命题P或条件P在上成立，则称P在E上a.e. 成立如：若 ，称在E上a.e.有限，记 “，a.e. 于E”；若 ，记 “，a.e. 于E”；若 ，记 “，a.e. 于E”依测度收敛：设 A，是E上的可测函数，有 ，称在E上依测度收敛于，记 或 定理4.2.1设, A, 是测度空间，是A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数，使 于E证：存在零测集，使 ， 令 ， 则在E上可测，且 于E推论若, A, 是完备的测度空间，则 A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数证：记 A， A A 则 A定理4.2.2设, A, 是测度空间，是A上的可测函数， 且 ， 则 于E证：由， 可知， 故， 令 ， 得， 而 ， 知 引理设 ，为有限函数，则 ，有 证：， 使 ， 即从而 说明 故 从而 (上限集为，极限存在)定理4.2.3(Lebesgue 定理) 设, A, 是测度空间，A，是E上的可测函数列，于E， a.e. 有限，则 于E证：记 ，A， 在上取值有限， 且， 有 据引理有 于是， 从而 定理4.2.4(叶果洛夫定理) 设, A, 是测度空间，A，可测函数列在E上a.e. 收敛于a.e.有限的函数则 ，A，使 上一致收敛于( 称在E上近一致收敛于，记为 于E)证：记 ，则 A， ，且在上取值有限，由引理知 ， ， 使 从而 令 ， 则 A 即为所求事实上， 对于此 ，使得 有 ，即 说明在 上一致收敛于定理4.2.5(Riesz定理，匈牙利) 设, A, 是测度空间，A，在E上可测， 于E 则存在子列在E上a.e. 收敛于证： 使 注意到 ， 由Th3.2.1 (10) 得 记， 则 ，易知 在 上收敛于 事实上， 时 有， 即 关于Lebesgue 定理、叶果洛夫定理的4个注记见书上 (简说)4 3. 可测函数与连续函数的关系定理4.3.1(鲁金第一定理，前苏联) 设为可测集E上的a.e. 有限的可测函数，则 ，存在闭集，满足 且 (限制)是有限值的连续函数证：首先，可假设为E上的有限可测函数这是由于 若闭集 满足 ， 则 ， 复记为E即可其次，由于在变换 下，具有相同的可测性与连续性，故可进一步假定上的有界可测函数 以下分两步证明(A) 设上的简单函数，可记 ， 两两不交、可测， 据 Th3.4.2 (2)， 使 ，记 为E的闭子集，且 下证是上的连续函数 ，存在唯一的，使 从而 (开集)对于中任一收敛于的点列， 于是 ，即 上的限制函数在点连续故上的限制是连续函数(B) 设上的有界可测函数据Th4.1.5 推论1，存在一致有界的简单函数列在E上一致收敛于f 据(A)，使得 上的连续函数 令 的闭子集，且 由于 ，故上的一致有界连续函数，且在上一致收敛于f 在上的限制为有界连续函数定理4.3.2(鲁金第二定理) 设为可测集E上的a.e. 有限的可测函数，则 ，存在R上的连续函数使得 若E是有界集， 则可使 的支集 为紧集证：首先，存在闭集 ，且在上的限制是有限值连续函数再据Th2.3.3，存在R上的连续函数使得 ，且 可知， 的可测子集，故 若 是有界集，则存在 注意到为R中闭集，且，据Th2.3.3 前面的引理知，存在连续函数 将上述的替换为 即得所求推论设为可测集E上的a.e. 有限的可测函数，则存在R上的连续函数列在E上a.e.收敛于证：由Th4.3.2，上的连续函数 满足 记 ， 则 故 而 这样， ， 使 时，有 即在上每一点收敛于关系图： Lebesgue 定理 叶果洛夫 Riesz 定理 定理 第四章习题2设, A )是可测空间，为A上的可测函数列证明：的收敛点集与发散点集均为可测集证：收敛点集 ， 可测；发散点集 ，可测或者：利用 证之 ，可测； ，可测8. 测度空间, A, ，A， 于E， 证明：若 于E， 则 于E证：由Riesz 定理，存在子列，于E 但 于E， 故 于E11设为可测集E上的a.e. 有限函数证明：若对于任一，存在闭集，使得 且在上的限制是有限值连续函数，则 f为E上的可测函数证： 闭集 ，使 是有限值连续函数，记 ，则 均为可测集，且 ，令 得 ， 从而， 有 由于 ，而是完备测度，故 又由于包含R中的开集全体，据 Th4.1.2 的推论1知，在每个上可测，所以 这样 ， 是E上的可