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电容式压力微传感器的数值分析摘要 用伪谱算法对电容压力微传感器极板膜在均匀载荷条件下的弯曲行为作了数值模拟叙述了伪谱算法原理，并将其用于微传感器的载荷与电容关系分析对于非接触式电容压力微传感器，只有在小载荷的条件下，才可以忽略作用于极板膜的中平面的张力。此时，微传感器的电容与载荷之间呈线性关系。当进一步增加载荷时，两者的关系呈非线性，电容随载荷的增大迅速增加。对于接触式电容压力微传感器，给出了接触半径的计算公式，数值计算了载荷与电容关系曲线，为压力微传感器分析和设计提供了理论依据 关键词 伪谱算法 电容压力微传感器 载荷与电容关系 作为一种微机电系统(MEMS)器件，电容压力微传感器具有灵敏度高、结构稳定、受外部环境影响小，以及无温度飘移等优点，在工业上有良好应用前景。电容压力微传感器的基本结构为双层平行板电容器：上极板为几个微米厚的薄膜， 其材料可为硅质、聚合物、氮化硅、金属或陶瓷薄膜，下极板以硅质、玻璃或其他绝缘性材料为衬底，下极板表面上附有一层厚度为零点几个微米的绝缘层。 当上极板膜承受的载荷不同时，它的弯曲程度不同，电容大小就会不同，测量电容大小的变化便可测量微传感器所受载荷大小的变化。电容与载荷之间的关系主要取决于上极板膜的弯曲程度，因此，研究极板膜的弯曲形变对电容压力微传感器的设计极为重要。 电容压力微传感器的工作方式有非接触式和接触式两种(见图1，a和b)： 非接触式工作原理是微传感器随着载荷变化引起上极板膜弯曲度变化，使微电容器两极板之间距离发生变化，进而导致电容发生变化，但动态范围受到一定限制； 接触式是指微传感器工作在载荷很大时，上极板膜受压后的弯曲度达到使之与绝缘薄膜相接触，并且随着载荷的进一步增加，接触面积也随着增加。它的工作原理是随着载荷变化引起接触面积发生变化，进而导致电容发生变化，使得动态范围大为扩充，具有良好的过载保护特性。 研究电容压力微传感器极板膜的弯曲行为需要求解具有固定边界条件的四阶非线性微分方程，一般不能得到解析解。通常采用有限差分、有限单元等数值计算方法，或采用级数展开求近似解。在大载荷情况下，电容压力微传感器的电容与载荷关系分析是一个更困难的问题。伪谱算法是近30年来发展起来的一种求微分方程数值解的方法，具有精度高、收敛稳定等优点，而且适用于非线性微分方程的求解问题。本文用伪谱算法对非接触式和接触式两种电容压力微传感器的电容与载荷之间的关系进行了数值分析。首先研究非接触模式， 阐述了伪谱算法求解具有固定边界条件和均匀载荷薄板弯曲问题的原理。通过数值解与解析解或近似解的对比，研究了算法的精度、可靠性和收敛性，并将算法用于电容压力微传感器电容与载荷之间关系的分析，给出了数值结果。然后，对接触模式作了研究，处理了其中遇到的一些特殊问题，给出了接触半径的计算公式，数值计算了载荷与电容关系曲线，为微传感器的设计奠定了理论基础。数值计算表明，伪谱算法不但能解决非接触式电容压力微传感器的从零载荷至接触载荷范围内的电容与载荷关系分析问题，而且能解决接触模式电容压力微传感器的电容与载荷关系数值分析问题。 图1 电容压力微传感器基本结构示意图 (a) 非接触式，(b) 接触式 1 非接触模式 图1为非接触式(a)和接触式(b)电容压力微传感器结构示意图，忽略边缘效应， 垂直于宽度方向的单位长度电容可以表示为 其中，0为真空中的介电常数，t为绝缘层的厚度，ri为绝缘层的相对介电常数，g为零载荷时电容器两极板之间的初始距离，a为极板膜的半宽度， w(x) 为极板膜的中平面相对于平衡位置(零载荷)的垂向位移，是极板膜弯曲程度的度量，依赖于载荷大小。由(1)式可见，电容表达式中含有未知函数w(x)，因此，求解极板膜在载荷作用下的垂向位移w(x)是压力微传感器分析的关键。 对于非接触式电容压力微传感器，在载荷q作用下，极板膜垂向位移w(x)的控制方程为其中，D = Eh3/12(1 v3)为极板膜的抗弯刚度，E为杨氏模量，v为Poisson比，h 为极板膜的厚度。而极板膜的中平面所受的张力F为 边界条件可表述为：在极板膜两端，垂向位移w(x)及其一阶导数w(x)为零： 方程(2) (4)构成了极板膜垂向位w(x)的四阶非线性微分方程的定解问题。求解该定解问题，再利用方程(1)就可以得到传感器的载荷和电容之间的关系。得到方程(2) (4)的解析解是困难的，这里我们用伪谱算法求该问题的数值解。 为此，首先将求解区域从 (a x +a)变换为(1 +1)，则 其次再将区域(1 +1) 剖分为N份：其中， 为Chebyshev 剖分结点。然后用内结点上的函数值构造函数： 为满足边界条件(7)，选取修正的Lagrange插值函数： 其中， 为Lagrange插值函数，它具有这样的特性： 修正的Lagrange插值函数的各阶导数为 根据修正Lagrange插值函数的性质，可以验证函数(10)及其一阶导数满足边界条件(7)。 由方程(5)和(9)，最终可以形成关于内结点函数值的线性代数方程组： 解此方程，可得到内结点处的垂向位移 w()( j = 2， 3， N 1， N)， 回代到方程(10)，可以得到任意观察点处的位移w()再将求解区域从(-1 +1)变换回(a x +a)，就得到了原定解问题(2)(4)的解。 方程(5) (7)为非线性微分方程，可用定点迭代技术逐步逼近求解，迭代收敛标准为 其中，wj(k-1)和wj(k)分别为第j个结点处的第(k 1)和第k次垂向位移迭代值。取某电容压力微传感器的参数为： a = 500 m， h = 2 m， g = 4 m， E = 130 GPa， v= 0.3， t = 0.1 m， ri= 11.3。 首先考察算法的计算精度、收敛性和可靠性。在小载荷和小弯曲条件下(位移甚小于极板膜的厚度)，张力F可以忽略(F 0)，极板膜的弯曲程度由弯矩(线性部分)控制，直接解方程(2) (4) 即可得到垂向位移w(x)的解析解： 图2(a)给出了小载荷条件下极板膜垂向位移分布数值解(虚线)和解析解(实线)的对比结果，两者吻合得很好。只有当极板膜中心处的垂向位移小于膜厚度的十分之一时，才可忽略张力F的影响。一般情况下，张力F的影响不可被忽略。此时，计及了张力F的影响，采用虚功原理(另文报道)，可求得方程(2) (4)的近似解： 其中，w0满足 显然，在小位移条件下(w0 h)，解(21)化成解析解(20) 图2(b)给出了在较大位移下，不同载荷时极板膜垂向位移分布的数值解(虚线)和近似解(实线)的对比结果，两者吻合得也很好。 然后再用伪谱算法进行载荷与电容关系的分析。图3(a)给出了传感器的电容随载荷q大小的变化关系曲线： 图中的电容为相对电容， 即对电容大小用零载荷时的电容量c0= 2a0/(t/ri + g)归一 。见当均匀载荷使极板膜的最大弯曲不超过板的厚度时(参见图2)，传感器的电容大小与载荷大小基本呈线性关系。为了定量说明数值算法的精度和收敛情况，图3(b)给出了垂向位移数值计算中的自然对数误差函数ln 随迭代次数N的变化情况。着载荷的加大， 迭代次数N在增多(百余次)， 收敛稳定，可达到很高的计算精度( 10-6)。3(b)也说明，在数值计算中追求高精度是以计算量和计算时间为代价的，而且也影响收敛的稳定性，因此过分追求高精度是没有必要的。图2 垂向位移分布数值解与解析解或近似解的对比 限定 5%，在较大载荷范围内重新计算了微传感器的相对电容随载荷变化的曲线，示于图4(a)。4(b)则给出了极板膜中心处的垂向位移(垂向位移最大值)随载荷的变化曲线。载荷引起的最大垂向位移小于极板膜厚度时，电容随载荷的增大线性地增加，随后，随着载荷的继续增大电容非线性地增大。载荷引起的最大垂向位移大于极板膜厚度的1.5。时，电容随载荷的增大迅速增加，在接近接触载荷(上极板膜中心接触到下极板膜上的绝缘层时所对应的载荷)时，电容与载荷的关系呈现极强的非线性。图3 电容与载荷的关系以及数值计算收敛情况 (a) 相对电容随载荷的变化， (b) 数值计算收敛情况 图4 电容以图4 电容以及最大垂向位移与载荷的关系 (a) 相对电容随载荷的变化， (b) 最大垂向位移随载荷的变化 2 接触模式 接触式电容压力微传感器的剖面图如图1(b)所示，它工作在大于接触载荷的状态下，根据施加载荷所引起的上极板膜与绝缘薄膜接触面积的变化，进而引起电容大小发生变化的原理工作，能承受比非接触式压力微传感器更大的载荷，更大的动态范围和过载保护。些特点从它的工作原理就可以看出，因此近年来受到广泛关注。对图1(b) 所讨论的二维模型，上极板膜与绝缘薄膜的接触面积用接触半径来表征。接触载荷qc时，接触半径为零，极板膜中心处垂向位移w0等于两极板间的初始距离g 。接触模式，方程(22)中的a变成(a ) 所以可求出接触半径为 根据对称性，方程(2)可改写成 其中， 先将求解区域从( x a)变为(1 + 1)，作坐标系变换： 原方程及边界条件变为 再对边界条件作变换，使之成为齐次边界条件： 可以验证： 经过变换(31) (34)，微分方程(28)变为 其中， 方程(35) (37)可以用第1节所述的伪谱算法求解。取与第1节相同的计算参数a = 500 m， h = 2 m， g = 4 m， E = 130 GPa， = 0.3， t = 0.1，m， ri = 11.3。 计算了几个不同载荷情况的垂向位移分布， 图5给出了结果和收敛情况。图5 不同载荷下的垂向位移分布与数值计算收敛情况 (a) 垂向位移分布， (b) 数值计算收敛情况 由图5(a)可见，随着载荷的增大，接触半径在增大，最大垂向位移始终等于两极板之间的初始距离，接触载荷为qc = 554 Pa。5(b)说明，算法收敛稳定， 精度高。图6(a)给出了电容随载荷变化的关系曲线： 图中的电容为相对电容， 即对电容用接触载荷时的电容量Cc归一。图4(a)相比较可见，接触式电容压力微传感器能承受比非接触式压力微传感器更大的载荷，有更大的动态范围。6(b) 给出了接触半径随着载荷变化的曲线，在接触载荷qc = 554 Pa处，接触半径 = 0，随着载荷的不断增大，接触半径逐渐变大。非接触式不同(参见图4)，接触式电容压力微传感器的电容大小主要取决于接触半径大小。图6 电容以及接触半径与载荷的关系曲线 (a) 相对电容随载荷的变化， (b) 接触半径随载荷的变化 3 结论 用伪谱算法对非接触式和接触式电容式压力微传感器极板膜在固定边界条件和均匀载荷情况下的弯曲行为作了数值模拟。合实际算例，比较详细地叙述了伪谱算法的计算原理， 说明了伪谱算法具有收敛稳定、精度高的特点，并将其用于微传感器的载荷与电容关系数值分析。值计算表明，伪谱算法既能解决非接触式电容压力微传感器的从零载荷至接触载荷范围内的电容与载荷关系分析问题，也能解决接触模式电容压力微传感器的电容与载荷关系数值分析问题。对于非接触式电容压力微传感器，只有在小载荷(引起的最大垂向位移甚小于极板膜厚度)条件下，才可以忽略作用于极板膜的中平面的张力影响，此时，压力微传感器的电容与载荷之间呈线性关系，否则，两者的关系是非线性的。我们研究的例子中，当载荷引起的最大垂向位移大于极板膜厚度的1.5时，电容随载荷的增大迅速增加，直到接触电容Cc。于接触式电容压力微传感器，给出了接触半径的计算公式，数值计算了载荷与电容关系曲线。果表明接触式电容压力微传感器能承受比非接触式压力微传感器更大的载荷，有更大的动态范围的特点。些研究为压力微传感器工作原理分析和器件设计提供了理论依据。参考文献 1 Meng G Q，Ko W H.odeling of circular diaphragm and spreadsheet solution programming for touch mode capacitive sensors. ensors and Actuators，1999，75：4552DOI 2 Wang Q，Ko W H. odeling of touch mode capacitive sensors a