高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理 北师大版.ppt

第九章计数原理 概率 随机变量及其分布 第九节离散型随机变量的均值与方差 正态分布 最新考纲1 理解取有限个值的离散型随机变量的均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些简单实际问题 3 了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义 并进行简单应用 j基础知识自主学习 1 离散型随机变量的均值与分差设随机变量x的可能取值为a1 a2 ar 取ai的概率为pi i 1 2 r 即x的分布列为p x ai pi i 1 2 r 1 均值定义x的均值为a1p x a1 a2p x a2 arp x ar 即随机变量x的取值ai乘上取值ai的概率p x ai 再求和 x的均值也称为x的 它是一个数 记为ex 即ex 均值ex刻画的是x取值的 a1p1 a2p2 arpr 数学期望 a1p1 a2p2 arpr 中心位置 2 方差一般地 设x是一个离散型随机变量 用 来衡量x与ex的平均偏离程度 是 x ex 2的期望 并称之为随机变量x的方差 记为 方差越小 则随机变量的取值就越 在其均值周围 反之 方差越大 则随机变量的取值范围就越 3 均值与方差的性质 e ax b aex b d ax b a2dx a b为常数 e x ex 2 e x ex 2 dx 集中 分散 2 常见分布的均值与方差 1 若x b n p 则ex dx 2 若x服从参数为n m n的超几何分布 则ex 3 正态分布正态分布是常见的分布 它有两个重要的参数 通常用x n 表示服从参数为 和 2的正态分布 当 和 2给定后 就是一个具体的正态分布 正态分布密度函数满足以下性质 1 函数图像关于直线 对称 2 的大小决定函数图像的 胖 瘦 3 p x p 2 x 2 p 3 x 3 np np 1 p 均值 方差 2 0 x 0 68 3 95 4 99 7 判一判 1 期望值就是算术平均数 与概率无关 解析错误 期望是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均值 反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 随机变量的均值是常数 样本的平均值是随机变量 它不确定 解析正确 由于随机变量的取值是确定值 而每一个随机变量的概率也是确定的 因此随机变量的均值是定值 即为常数 而样本数据随着抽样的次数不同而不同 因此其平均值也不相同 3 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离均值的平均程度越小 解析正确 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离均值的平均程度越小 方差或标准差越大 则偏离均值的平均程度越大 4 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 因此它们是一回事 解析错误 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 均值反映了平均水平 而方差则反映它们与均值的偏离情况 5 在正态密度曲线中 当 一定时 越大 图像越低矮 越小 图像越瘦高 解析正确 方差 2越大 偏离均值的平均程度越大 因此图像越低矮 反之 图像越瘦高 2 已知某一随机变量x的概率分布列如下 且ex 6 3 则a的值为 a 5b 6c 7d 8 解析由分布列性质知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 ex 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 答案c 3 设随机变量x b n p 且ex 1 6 dx 1 28 则 a n 8p 0 2b n 4p 0 4c n 5p 0 32d n 7p 0 45 解析 x b n p ex np 1 6 dx np 1 p 1 28 解得n 8 p 0 2 答案a 4 已知随机变量x服从正态分布n 0 2 若p x 2 0 023 则p 2 x 2 a 0 477b 0 628c 0 954d 0 977 解析 0 p x 2 p x 2 0 023 p 2 x 2 1 2 0 023 0 954 答案c 5 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 从中有放回地任取3件 若x表示取到次品的次数 则dx r热点命题深度剖析 例1 1 随机变量 的取值为0 1 2 若p 0 e 1 则d 由题意知y的分布列为 规律方法 求离散型随机变量x的均值与方差的步骤 1 理解x的意义 写出x可能的全部值 2 求x取每个值的概率 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求ex 5 由方差的定义求dx 变式训练1 1 随机变量x的分布列为 且ex 1 1 则dx 0 49 2 2015 山东卷 若n是一个三位正整数 且n的个位数字大于十位数字 十位数字大于百位数字 则称n为 三位递增数 如137 359 567等 在某次数学趣味活动中 每位参加者需从所有的 三位递增数 中随机抽取1个数 且只能抽取一次 得分规则如下 若抽取的 三位递增数 的三个数字之积不能被5整除 参加者得0分 若能被5整除 但不能被10整除 得 1分 若能被10整除 得1分 写出所有个位数字是5的 三位递增数 若甲参加活动 求甲得分x的分布列和数学期望ex 例2 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 解 设a1表示事件 日销售量不低于100个 a2表示事件 日销售量低于50个 b表示事件 在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个 因此p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望ex及方差dx 因为x b 3 0 6 所以期望ex 3 0 6 1 8 方差dx 3 0 6 1 0 6 0 72 规律方法 与二项分布有关的期望 方差的求法 1 求随机变量x的期望与方差时 可首先分析x是否服从二项分布 如果x b n p 则用公式ex np dx np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用e ax b aex b以及ex np求出e ax b 同样还可求出d ax b 变式训练2某人投弹命中目标的概率p 0 8 1 求投弹一次 命中次数x的均值和方差 解随机变量x的分布列为因为x服从两点分布 故ex p 0 8 dx p 1 p 0 8 0 2 0 16 2 求重复10次投弹时命中次数y的均值和方差 解由题意知 命中次数y服从二项分布 即y b 10 0 8 所以ey np 10 0 8 8 dy np 1 p 10 0 8 0 2 1 6 例3 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 解 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 规律方法 均值与方差的实际应用 1 dx表示随机变量x对ex的平均偏离程度 dx越大表明平均偏离程度越大 说明x的取值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中在ex附近 统计中常用来描述x的分散程度 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 1 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 解若按 项目一 投资 设获利为x1万元 则x1的分布列为 若按 项目二 投资 设获利x2万元 则x2的分布列为 2 若市场预期不变 该投资公司按照你选择的项目长期投资 每一年的利润和本金继续用作投资 问大约在哪一年的年底总资产 利润 本金 可以翻一番 参考数据 lg2 0 3010 lg3 0 4771 例4 1 2015 湖北卷 设x n 1 y n 2 这两个正态分布密度曲线如图所示 下列结论中正确的是 a p y 2 p y 1 b p x 2 p x 1 c 对任意正数t p x t p y t d 对任意正数t p x t p y t 解析 由曲线x的对称轴为x 1 曲线y的对称轴为x 2 可知 2 1 p y 2 p x 1 故b错 对任意正数t 由题中图像知 p x t p y t 故c正确 d错 答案 c 2 2015 山东卷 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布n 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布n 2 则p 68 26 p 2 2 95 44 a 4 56 b 13 59 c 27 18 d 31 74 规律方法 正态分布下两类常见的概率计算 1 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题 涉及的知识主要是正态曲线关于直线x 对称 及曲线与x轴之间的面积为1 2 利用3 原则求概率问题时 要注意把给出的区间或范围与正态变量的 进行对比联系 确定它们属于 2 2 3 3 中的哪一个 变式训练4 1 已知随机变量 服从正态分布n 0 1 若p 1 a a为常数 则p 1 0 2 商场经营的某种袋装大米质量 单位 kg 服从正态分布n 10 0 12 任取一袋大米 质量不足9 8kg的概率为 精确到0 0001 0 0228 s思