高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理.ppt

第三章导数及其应用 3 1导数的概念及运算 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 2 若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的变化而变化 因而也是自变量x的函数 该函数称为f x 的导函数 记作f x f x0 知识梳理 1 答案 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 即k 3 基本初等函数的导数公式 x 1 0 cosx f x0 答案 sinx ex axlna 答案 5 复合函数的导数若y f u u ax b 则即 4 导数的运算法则若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 答案 思考辨析 f x x2 2 f 1 3 3 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图象 那么y f x y g x 的图象可能是 解析答案 1 3 4 5 2 解析由y f x 的图象知y f x 在 0 上单调递减 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故可排除 又由图象知y f x 与y g x 的图象在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线的斜率相同 由图知 不符合 符合 故 正确 答案 解析答案 1 3 4 5 2 解析答案 1 3 4 5 2 ex 0 即x 0时 成立 y 1 0 tan 1 0 又 0 解析答案 1 3 4 5 2 解析y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 因为两切线垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 则点p的坐标为 1 1 1 1 解析答案 1 3 4 5 返回 2 题型分类深度剖析 例1求下列函数的导数 1 y 3x2 4x 2x 1 解 y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x y 18x2 10 x 4 2 y x2sinx 解y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 题型一导数的运算 解析答案 3 y 3xex 2x e 解y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xexln3 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 解析答案 解析答案 5 y ln 2x 5 解令u 2x 5 y lnu 解析答案 思维升华 思维升华 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合函数求导时 先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0 故由f x0 2017得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 1 跟踪训练1 解析答案 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 解析f x 4ax3 2bx f x 为奇函数 且f 1 2 f 1 2 2 解析答案 命题点1已知切点的切线方程问题 则f 1 1 故该切线方程为y 2 x 1 即x y 3 0 x y 3 0 题型二导数的几何意义 解析答案 2 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 解析 y 2e 2x 曲线在点 0 2 处的切线斜率k 2 切线方程为y 2x 2 该直线与直线y 0和y x围成的三角形如图所示 解析答案 命题点2未知切点的切线方程问题例3 1 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x2的切线方程是 解析对y x2求导得y 2x 则切线斜率为k 2x0 由2x0 2得x0 1 故切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 2x y 1 0 解析答案 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 又 f x 1 lnx 解得x0 1 y0 0 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 x y 1 0 解析答案 命题点3和切线有关的参数问题 直线l的斜率为k f 1 1 又f 1 0 切线l的方程为y x 1 g x x m 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 于是解得m 2 2 解析答案 命题点4导数与函数图象的关系 例5如图 点a 2 1 b 3 0 e x 0 x 0 过点e作ob的垂线l 记 aob在直线l左侧部分的面积为s 则函数s f x 的图象为下图中的 填序号 解析答案 思维升华 解析函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数s f x 的图象是上升的 且图象是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数s f x 的图象是上升的 且图象是上凸的 当x 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s为0 即斜率f x 在 3 内为常数0 此时 函数图象为平行于x轴的射线 答案 思维升华 思维升华 4 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 跟踪训练2 解析答案 解析由f x 3x cos2x sin2x得f x 3 2sin2x 2cos2x 由y x3得y 3x2 当p点为切点时 切线的斜率k 3a2 3 12 3 又b a3 则b 1 所以切点p的坐标为 1 1 解析答案 故过曲线y x3上的点p的切线方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 p a b 在曲线y x3上 且a 1 b 1 综上 满足题意的切线方程为3x y 2 0或3x 4y 1 0 答案3x y 2 0或3x 4y 1 0 2 若直线y 2x m是曲线y xlnx的切线 则实数m的值为 解析设切点为 x0 x0lnx0 得切线的斜率k lnx0 1 故切线方程为y x0lnx0 lnx0 1 x x0 解得x0 e 故m e e 解析答案 返回 易错警示系列 典例 14分 若存在过点o 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 易错分析由于题目中没有指明点o 0 0 的位置情况 容易忽略点o在曲线y x3 3x2 2x上这个隐含条件 进而不考虑o点为切点的情况 易错警示系列 4 求曲线的切线方程条件审视不准致误 易错分析 解析答案 返回 温馨提醒 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 5分 2 当o 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点p x0 y0 规范解答解易知点o 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当o 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得在原点处的切线斜率k 2 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 返回 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况 要先判断切线所过点是否在曲线上 若所过点在曲线上 要对该点是否为切点进行讨论 思想方法感悟提高 1 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常数 其导数一定为0 即 f x0 0 2 对于函数求导 一般要遵循先化简再求导的基本原则 在实施化简时 首先必须注意变换的等价性 避免不必要的运算失误 3 未知切点的曲线切线问题 一定要先设切点 利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程 方法与技巧 1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号 防止与乘法公式混淆 复合函数的导数要正确分解函数的结构 由外向内逐层求导 2 求曲线切线时 要分清在点p处的切线与过p点的切线的区别 前者只有一条 而后者包括了前者 3 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个 这和研究直线与二次曲线相切时有差别 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 lnx 则f 1 15 解析由f x 2xf 1 lnx f 1 2f 1 1 则f 1 1 1 解析答案 2 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知f1 x sinx cosx fn 1 x 是fn x 的导函数 即f2 x f1 x f3 x f2 x fn 1 x fn x n n 则f2016 x 解析 f1 x sinx cosx f2 x f1 x cosx sinx f3 x f2 x sinx cosx f4 x f3 x cosx sinx f5 x f4 x sinx cosx f1 x fn x 是以4为周期的函数 f2016 x f4 x sinx cosx sinx cosx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 设曲线y ax lnx在点 1 1 处的切线方程为y 2x 则a 解析令f x ax lnx 由导数的几何意义可得在点 1 1 处的切线的斜率为f 1 a 1 又切线方程为y 2x 则有a 1 2 a 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 已知函数f x x3 3x 若过点a 0 16 且与曲线y f x 相切的直线方程为y ax 16 则实数a的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 联立 可解得x0 2 y0 2 解析先设切点为m x0 y0 答案9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 当x 0时 曲线的切线斜率取得最小值 答案x 4y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 即x 4y 2 0 因为ex 0 9 已知曲线y x3 x 2在点p0处的切线l1平行于直线4x y 1 0 且点p0在第三象限 1 求p0的坐标 解由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知令3x2 1 4 解之得x 1 当x 1时 y 0 当x 1时 y 4 又 点p0在第三象限 切点p0的坐标为 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若直线l l1 且l也过切点p0 求直线l的方程 解 直线l l1 l1的斜率为4 l过切点p0 点p0的坐标为 1 4 即x 4y 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形的面积为定值 并求此定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解设p x0 y0 为曲线上任一点 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令y x 得y x 2x0 从而得切线与直线y x的交点坐标为 2x0 2x0 故曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 y x所围成的三角形的面积为定值 且此定值为6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 曲边梯形由曲线y x2 1 y 0 x 1 x 2所围成 过曲线y x2 1 x 1 2 上一点p作切线 使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形 则这一点的坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 已知曲线f x xn 1 n n 与直线x 1交于点p 设曲线y f x 在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析f x n 1 xn k f 1 n 1 点p 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 15 已知函数f x ax3 3x2 6ax 11 g x 3x2 6x 12和直线m y kx 9 且f 1 0 1 求a