中考复习专题之举反例.doc

2010年中考复习专题之举反例在数学中，要证明一个命题成立，必须严格地在所给的条件下，以已经证明的事实为依据，用逻辑推理的方法推导出结论要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它数学中的反例实际上是与命题相矛盾的特例，具体说就是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子一、列举反例的表达格式反例是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子所以列举反例时，要注意做到以下三点要求：（1）列举反例要具体；（2）要具体列举出反例满足命题的各项条件；（3）要具体说明反例与该命题的结论不符（如列举出否定该命题结论的条件）例1（2004年厦门第20题）已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图1，连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确，若正确请给出证明，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等，并以图2为例说明理由图1图2分析：在考试的过程中，可以通过操作验证发现（1）中的命题是假命题这样，我们可以找个特殊的位置举出反例解：（1）该命题是假命题，反例如下：若将AEFG绕点A按顺时针方向旋转45度，如图3所示，图3此时，点F落在边AB上， BFAB，又 在RtDAF中，DFDA，在正方形ABCD中，ADAB， DFBF 该命题是假命题二、列举反例的常用方法（一）列举挑疵法因为反例实际上就是说明问题不成立的一个特例通常情况下，这个命题不是“一切情况下均假”，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过全面考虑所有可能的情形，一一严格验证，便把成立的情况排除出去，不成立的情况挑选出来，从而得到反例在考虑所有可能时，采用二分法或特殊值法都是十分有效的，许多情况都是由于分类不全而以假乱真例2已知下列命题：（1）a是负数；（2）如果a是实数，那么a 20；（3）如果x2y2，那么xy；（4）如果a是实数，那么以上四个命题中，假命题的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：以（3）为例，一般情况下，实数的运算要考虑符号和绝对值，考虑到平方运算的结果一定是非负的，所以对x、y的取值要考虑正数和负数两种情况：（1）x、y同号；（2）x、y异号这样容易找到下面的反例：如x2、y2，满足(2)2(2)2，但22（二）反设逆推法例3判断命题“对角线相等且互相垂直的的四边形是正方形”是真命题还是假命题若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例分析：该命题的结论是“四边形是正方形”，考虑到“正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分”，而该命题的条件中少了“互相平分”这个条件，所以我们可以从这里构造反例解：如图4，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图4且 ACBD， ACBD， 但AOCO，所以四边形ABCD不是正方形（三）顺推寻阻法当一个命题作为一个真命题去分析时，如果进行到某个地方思维受阻，无法进展，甚至得到一些意外的、矛盾的结果，那么，这就是寻找反例的好地方例4如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形是全等三角吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例分析：回顾三角形全等的三个公理都是通过画图发现，所以我们可以从正面思考这个问题图5解：如图5，画MAN（锐角），在射线AM上取点B，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交射线AN于C、D两点在ABC与ABD中，满足ABAB，BCBD，BACBAD，但显然ACAD，所以这两个三角形不是全等三角构造反例是数学学习必不可少的基本功，而构造反例更需要的也是扎实的数学基本功，如牢固掌握基础知识，缜密的思考能力等例5已知四边形ABCD，现给出下列三个条件：ABCD；AC；ADBC试从上述三个条件中选取两个作为题设，以“四边形ABCD是平行四边形”为结论，（1）写出一个真命题，并给出证明；（2）写出一个假命题，并举出反例分析：从三个条件中任意选取两个，有三种选法，所以可以写出三个命题：（1）如果四边形ABCD中，ABCD，AC，那么四边形ABCD是平行四边形；（2）如果四边形ABCD中，ABCD，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形；（3）如果四边形ABCD中，AC，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形容易发现，等腰梯形也是满足（2）中的条件，那么构造一个等腰梯形就是反例三、能力训练1 已知下面两个命题：（1）两个有理数相加，和一定大于每一个加数；（2）两个无理数相加，和一定是无理数则下面判断正确的是（ ）A只有命题（1）正确 B只有命题（2）正确C命题（1）（2）都正确 D命题（1）（2）都不正确2 已知a是实数，下列关系一定成立的是（ ）A | a |a B | a |a C | a |a D aa3 已知m、n都是实数，现有下列两个命题：（1）如果| m | n |，那么mn；（2）如果| m | n |，那么m2n2判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例4 判断下列命题是否正确，如果不正确，请反例说明（1）相等角的是对顶确；（2）内错角相等；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行5 下列不等式的变形正确的是（ ）A由，得 B由，得C由，且0，得 D由，得6 已知三角形ABC中，现有两个命题：（1）如果ABAC，且A60，那么三角形ABC是等边三角形；（2）如果AC2BC2AB2，那么三角形ABC不是直角三角形判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例7 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，现给出下列5个条件： ABCD； OAOC； ABCD； BADDCB； ADBC从以上5个条件中选取2个为命题的题设，以“四边形ABCD是平行四边形”为结论，（1）写出3个真命题（注：条件用序号表示，不必证明）；（2）写出1个假命题，并举出反例说明8 两个直角三角形有两个角及一条边分别对应相等，这两个直角三角形全等吗？如果全等，请写出“已知”和“求证”，并给出证明；如果不全等，请举出反例9 如图6，四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AECF现有两个命题：（1）如果四边形ABCD是平行四边形，那么四边形DEBF也是平行四边形；（2）如果四边形ABCD是矩形，那么四边形DEBF也是矩形判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例图610如果是正实数，那么（ ）A B C D 11已知关于的一元二次方程20（1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；（2）判断命题“若m2，则方程20必有实数根”是否正确若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例12下列各组图形中，一定相似的是（ ）A两个矩形 B两个等腰三角形 C 两个菱形 D两个正方形13（2009年九年上厦门市质量检查第21题）在直角三角形ABC中，C90现有两个命题：（1）若tanB1，则sin2Acos2B1；（2）若tanB1，则sinA判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例说明14（2007年厦门市第22题）已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O现给出四个条件： ACBD； AC平分对角线BD； ADBC； OAD=ODA请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论，（1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明15（2006年厦门市第26题）已知P(m,a)是抛物线y=ax2上的点，且点P在第一象限（1）求m的值；（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M当b=2a时，OPA=90是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请举出反例说明；当b=4时，记MOA的面积为S，求的最大值16一组对边相等，一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明；如果不一定是，请举出反例说明17有一条对角线平分一组内角的平行四边形是否一定是菱形？如果一定是，请给出证明；如果不一定是，请举出反例说明18如图7，已知四边形ABCD中，点E是边CD上一点 （1）给出四个条件：AE平分BAD，BE平分ABC，AEEB，AB=AD+BC请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出ADBC的真命题，并加以证明；图7（2）请你判断命题“若AE平分BAD，BE平分ABC，E是CD的中点，则ADBC”是否正确，并说明理由19在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”（1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数；（2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了有人断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”，你认为这种说法对吗？若不对，请写出所有不符合这一说法