有理数加减及混合运算教案.doc

有理数的加法(1)问题：一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答。可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向。二、讲授新课：1发现、总结：我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负。 (1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是： (+20)+(+30)=+50，即这位同学位于原来位置的东方50米处。这一运算在数轴上表示如图： (2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是： (20)+(30)=50。(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：写成算式是(+20)+(30)=10，即这位同学位于原来位置的西方10米处。(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：(20)+(+30)=( )。即这位同学位于原来位置的( )方( )米处。后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：很重要！你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?(+4)+(3)=( )； (+3)+(10)=( )； (5)+(+7)=( )； (6)+ 2 = ( )。再看两种特殊情形：(5)第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是：(30)+(+30)=( )。(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：(30)+ 0 =( )。我们不难得出它们的结果。2概括：综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得0；4. 一个数同0相加，仍得这个数.注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。3例题：例1：计算：(+2)+(11)； (+20)+(+12)； (3.4)+4.3； 解：解原式=(112)=9； 解原式=+(20+12)=+32=32；解原式= +(4.33.4)=0.9；4课堂练习： 三、课堂小结：这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法则今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事第9：有理数的加法(2)教学过程：一、复习引入：1叙述有理数加法法则。2计算：（1）6.18 +(9.18)；(2)(+5)+(-12)；(3)(12)+(+5)；(4)3.75 + 2.5 +(2.5)； (5) +()+()+()。说明：通过练习巩固加法法则，暴露计算优化问题，引出新课。二、讲授新课：1发现、总结：问题：在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？你能发现什么？探索：任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列和内，并比较两个算式的运算结果。 + 和 + 任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列、和很重要！内，并比较两个算式的运算结果。 ( + )+ 和 +( + )。总结：让学生总结出加法的交换律、结合律。加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。2例题：例1：计算：(+26)+(18)+5+(16)； 原式=(26+5)+(18)+(16) = 31+(34)= (3431)= 3。从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使运算简便吗?例2：10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，4，2.5，3，0.5，1.5，3，1，0，2.5。求这10 筐苹果的总重量。解：由题意得：2+(4)+2.5+3+(0.5)+1.5+3+(1)+0+(2.5)= 4 3010 + 4 = 304 。答：10筐苹果总重量是304千克。例3：运用加法运算律计算下列各题：(1)(+66)+(12)+(+11.3)+(7.4)+(+8.1)+(2.5)(2)(+3)+(2)+(3)+(1)+(+5)+(+5)(3)(+6)+(+)+(6.25)+(+)+()+()分析：利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便；有分数相加时，利用运算律把分母相同的分数结合起来，将带分数拆开，计算比较简便。一定要注意不要遗漏括号；相加的若干个数中出现了相反数时，先将相反数结合起来抵消掉，或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉，计算比较简便。解：(1)原式=(66 + 11.3 + 8.1)+(12)+(7.4)+(2.5)= 85.4 +(21.9)= 63.5(2)原式=(3+)+(5+)+(2+)+(1+) +(5+)+(3+)=3+5+(2)+(1)+()+()+ 5 +(3)+()=2(3)原式=(+6)+(6.25)+(+ )+()+()= 例4：10袋小麦称重时以每袋90千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录数据如下：+7，+5，4，+6，+4，+3，3，2，+8，+1请问总计是超过多千克还是不足多少千克？这10袋小麦的总重量是多少？分析：这是一个实际问题，教学中要启发学生将实际问题转化为数学问题，通过讨论研究，列出算式7+5+(4)+6+4+3+(3)+(2)+8+1按应用题格式求解。3课堂练习： 三、课堂小结：三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。四、课堂作业： 第10：有理数的减法教学过程：一、复习引入：1叙述有理数的加法法则。2计算：(2)+(6) (8)+(+6)3问题：在月球表面，“白天”的温度可达127C， 太阳落下后的“月夜”气温竟下降到183C，请问在月球上温差是多少度？(310C)通过分析启发学生应该用减法计算上题，从而引出新课。二、讲授新课：1发现、总结：回忆：我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。（减法是加法的逆运算）例如计算 (8)(3)也就是求一个数?使( ? )+(3)=8。根据有理数加法运算，有(5)+(3)=8，所以 (8)(3)=5。减法运算的结果得到了。试一试：再做一个填空：(8)+( )=5，容易得到(8)+(+3)=5。比较、两式，我们发现：8“减去3”与“加上+3”结果是相等的。让学生总结、观察、很重要！再试一次：106=( 4 )， 10+(6)=(4 )，得 106=10+(6)。概括：上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行。 有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a b = a +（b）。2例题：例1：计算：(1)(32)(+5)； (2)7.3(6.8)； (3)(2)(25)； (4)1221 .解：减号变加号 减号变加号 (1)(32) (+5)=(32)+(5)=37。 (2)7.3(6.8)=7.3 + 6.8 =14.1。 减数变相反数 减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)(3)(2)(25)=(2)+25=23。 (4)1221 = 12+(21)= 9。3课堂练习第11：有理数的加减混合运算(1)教学过程：一、复习引入：1叙述有理数加法法则。 2叙述有理数减法法则。 3叙述加法的运算律。4符号“+”和“”各表达哪些意义?5化简：+(+3)；+(3)；(+3)；(3)。6口算：(1)27； (2)(2)7； (3)(2)(7)； (4)2+(7)；(5)(2)+(7)； (6)72； (7)(2)+7； (8)2(7)。二、讲授新课：1加减法统一成加法算式：以上口算题中(1)，(2)，(3)，(6)，(8)都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数。同样，(11)7+(9)(6)按减法法则应为(11)+(7)+(9)+(+6)这样便把加减法统一成加法算式。再看16(2)+(4)(6)7写成代数和是16+2+(4)+6+(7)。既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：(11)7+(9)(6)=1179+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；16+2+(4)+6+(7)=16+24+67，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”。2加法运算律的运用：既然是代数和，当然可以运用有理数加法运算律：a+b=b+a，(a +b)+c= a +(b+c)。例2：计算：20+35+7。解：原式=205+3+7 =25+10 =15。 注意这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换。例3：计算：(1)+； (2)(+9)(+10)+(2)(8)+3。解：(1) 原式=+ (2) 原式=9102+8+3 =11 =9+8+3102 =； =2012=8。 3课堂练习： 三、课堂小结：1有理数的加减法可统一成加法2因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。第12：有理数的加减混合运算(2)一、复习引入：1什么叫代数和?说出6+987+3两种读法。 2计算(1)(12)(+8)+(6)(5)(2)(+3.7)(2.1)1.8+(2.6)(3)(16)+(+20)(+10)(11)； 二、讲授新课：1概述：在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化。有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性。2例题：例1：计算：243.2163.5+0.3； 解：(1)因为原式表示24，3.2，16，3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即原式=2416+3.2+0.33.5=40。例2：3、+5、7的代数和比它们的绝对值的和小多少？分析：让学生理解代数和的概念、绝对值的和、比小的问题的求法。解：由题意得：(|3|+|+5|+|7|)(3+57)=(3+5+7)(5)=15+5=20 3课堂练习： 三、课堂小结：有理数的加减法可统一成加法，从而有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算。第13：有理数的乘法(1)教学过程：一、复习引入：1计算：(2)+(2)+(2)。2有理数包括哪些数?小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?(非负数)3有理数加减运算中，关键问题是什么?和小学运算中最主要的不同点是什么?(符号问题)4根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减，运算的关键是确定符号问题，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?(负数问题，符号的确定)二、讲授新课：1师生共同研究有理数乘法法则：（书上导入）研究实际问题：问题1：一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米?我们知道，这个问题可用乘法来解答： 32=6，即小虫位于原来位置的东方6米处。注意：这里我们规定向东为正，向西为负。如果上述问题变为：问题2：小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化?这也不难，写成算式就是：(3)2=6， 即小虫位于原来位置的西方6米处。引导学生比较上面两个算式，有什么发现?当我们把“32=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“6”，一般地，我们有：把一个因数 换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.这是一条很重要的结论，应用此结论，3(2)=? (3)(2)=?(学生答)把3(2)和式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“6”，即3(2)=6。把(3)(2)和式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“6”，即(3)(2)=6。此外，(3)0=0同30=0作比较。综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0继而教师强调指出：“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”。因此，在进行有理数乘法时更需时时强调：先定符号后定值。例如： 再如：(5)(3)同号两数相乘 (6)4异号两数相乘(5)(3)( )得正 (6)4( )得负5315把绝对值相乘 6424把绝对值相乘所以 (5)(3)15。 所以 (6)424。 2例题：例1：计算：(5)(6) 解：原式=+(56)=+30=30。 3课堂练习： 三、课堂小结：今天主要学习了有理数乘法法则，要牢记两个负数相乘得正数，简单地说：“负负得正”。 第14：有理数的乘法(2)教学过程：一、复习引入：1叙述有理数乘法法则。2计算：(1)5(6)； (2)(6)5； (3)3(4)(5)； (4)3(4)(5)；二、讲授新课：1师生共同研究有理数乘法运算律：问题：在小学里，我们曾经学过乘法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗？你能发现什么？探索：任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列和内，并比较两个算式的运算结果。 和 。任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列、和很重要！内，并比较两个算式的运算结果。 ( ) 和 ( )。总结：让学生总结出乘法的交换律、结合律。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc)根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.2问题：计算：(2)5(3)，有多少种不同的算法？你认为哪些算法比较好？3例题：例1：计算：(10) 0.16。引导学生观察、比较，培养能力。解：原式= 2。能直接写出下列各式的结果吗?(10) 0.16 = ； 观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?再试一试：希望由学生观察、总结得出！11111=_； 1(1)111=_；1(1)(1)11=_；1(1)(1)(1)1=_； 1(1)(1)(1)(1)=_。一般地，我们有几个：不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.4课堂练习：第15课时：有理数的乘法(3)教学过程：一、复习引入：1计算： (1)8+5(4)； (2)(3)(7)9(6)解：原式=8+(20) (先乘后加) 解：原式=21(54) (先乘后减)2再次强调：在有理数乘法中，首先要掌握积的符号法则，当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上，四则运算顺序也同小学一样，先进行第二级运算，再进行第一级运算，若有括号先算括号里的式子。二、讲授新课：1师生共同研究有理数乘法分配律：问题：在小学里，我们曾经学过乘法的分配律，如：6()=6+6，这个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗？探索：任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列空内，并比较两个算式的运算结果。 ( + ) 和 + 。总结：让学生总结出乘法的分配律。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(bc)abac.2例题：例1：计算：(1) ； (2) (2) 原式=。例2：计算：4(12)+(5)(8)+16； 。解：原式=8(6)+85+82=8(6+5+2)=81=8；原式=。第16课时：有理数的除法教学过程：一、复习引入：1叙述有理数乘法法则。2叙述有理数乘法的运算律。3计算：(6) (3)(+7)9(6) 二、讲授新课：1师生共同研究有理数除法法则：问题：“一个数与2的乘积是6，这个数是几?”你能否回答?这个问题写成算式有两种：2( ?)=6， (乘法算式) 也就是 (6)2=( ?) (除法算式)由2(3)=6，我们有(6)2=3。另外，我们还知道： (6)=3。所以，(6)2=(6)。这表明除法可以转化为乘法来进行。试一试。探索： 填空：8(2)8( )； 6(3)6( )；很重要！6( )6； 6( )6。总结：让学生总结倒数的概念、除法法则。倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal)。例如，2与、()与()分别互为倒数。这样，对有理数除法，一般有有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.注意：0不能作除数. 3探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则：因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.4、 例题5、引导学生归纳有理数除法的一般步骤：(1)确定商的符号；(2)把除数化为它的倒数；(3)利用乘法计算结果。有理数的乘方讲授新课：1概念：一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即，记作。例如，22223；(2)(2)(2)(2)(2)4。这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)，乘方的结果叫做幂(power)。在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。2例题：例1：计算：(1) ； (2) ； (3) 。解：(1) 原式=(2)(2)(2)=8，很重要！(2) 原式= (2)(2)(2)(2)=16，(3) 原式= (2)(2)(2)(2)(2)=32。3总结：让学生总结出符号法则。根据有理数乘法运算法则，我们有：理解字母表示。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?当a0时，an0(n是正整数)； 当a0时，；当a=0时，an=0(n是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则)a2n=(a)2n(n是正整数)；=(a)2n-1(n是正整数)；a2n0(a是有理数，n是正整数)。4试一试：(2)6读作什么?其中底数是什么?指数是什么? (2)6是正数还是负数?科学记数法一、复习引入：1什么叫乘方?说出103，103，(10)3、an的底数、指数、幂。2. 把下列各式写成幂的形式：； ；-；3计算：101，102，103，104，105，106，1010。 由第3题计算：105=10000，106=1000000，1010=10000000000，左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。又如像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是300000000米/秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢?这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。二、讲授新课：110n的特征观察第3题：101=10，102=100，103=1000，104=10000，1010=10000000000。提问：10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系?(1)10n=，n恰巧是1后面0的个数；(2) 10n=，比运算结果的位数少1。反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少，如=107。2练习：(1)把下面各数写成10的幂的形式：1000，100000000，100000000000。2)指出下列各数是几位数：103，105，1012，10100。3科学记数法：(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。如：100=1100=1102；600=61000=6103；7500=7；51000=7.5103。第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n次幂的形式就行了。(2)科学记数法定义：根据上面例子，我们把大于10的数记成a10n的形式，其中a的整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。一般地，把一个大于10的数记成a的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1a10），n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。例1：用科学记数法记出下列各数：(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)7 800 000。5思考：用科学记数法表示一个数时，10的指数与原数的数位位数有什么关系？和同学讨论一下，再举几个数验证你的猜想是否正确。有理数的混合运算(1)一、复习引入：1计算：(1)(2)+(3)； (2)7(12)； (3)；+； (4)17(32)； (5)252；(6)(2)3；(7) 23； (8) 021； (9) (4)2； (10) 32； (11) (2)4； (12) 10027；(13) (1)101； (14) 1； (15) 1(2)； (16)7+36； (17) (3)(8)25。2说一说我们学过的有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac二、讲授新课：1观察：下面的算式里有哪几种运算? 35022()1。这个算式里，含有有理数的加减乘除乘方多种运算，称为有理数的混合运算。2有理数混合运算的运算顺序规定如下：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。这里要注意三点：小括号先算；进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。有理数的混合运算(2)一、复习引入：1叙述有理数的运算顺序。2计算：(1) 2.5(4.8)(0.09)(0.27)； （2）-24（-1） (3) (3)(5)2； (4)(3)(5)2； (5) (3)2(6)； (6) (432)(43)2。二、讲授新课：有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的就用简便方法、能够口算的就口算，下面再看几个例子。例1：计算：35022(-)1解：原式=3504()1(先算乘方)=(化除为乘)=(先定符号，再算绝对值)三、课堂小结：在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写成整数与真分数和的形式。第21：近似数和有效数字教学过程：一、复习引入：1问题：统计班上喜欢吃肯德鸡的同学？量一量课本的宽度。了解准确数和近似数的概念，2从学生原有认知结构提出问题：在小学里我们计算圆的面积S=R2，一般取多少?(3.14)这是一个精确的数吗?小数位数太多，不便于计算，常常保留两位小数，由“四舍五入”取3.14，这就是“近似数”，小学里在小数计算中经常把最后答案取近似数。3完成练习：将3.062保留一位小数得_；将7.448保留整数得_；将15.267保留两位小数得_。二、讲授新课：1概