流形上的散度公式证明和数值模型 [附件2 Maple程序样本].doc

附件2流形上的散度公式证明和数值模型Maple程序样本杨科中国 成都 610017E-mail: 由于高数据量、高运算量、高处理量, 证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号 为首者为手动输入指令; 以符号 #为首者为注释;以符号 / 为首者为分析说明(红色痕迹); 其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹),与通用物理/数学表达式接近 21目录引言 证明的前提条件 单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(Maple程序版) . .21.1 流形上的散度公式证明.91.2 环面坐标系散度公式证明. 152.流形上的散度公式数值模型 .21数值模型2.1 .21数值模型2.2 .29数值模型2.3 .373.环面坐标系散度公式数值模型.434.流形上的散度公式证明的反例: 关于Klein瓶的曲面积分和三重积分. 495.Klein瓶的曲面积分和三重积分数值模型 . 62参考书籍. 74引言 证明的前提条件单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(Maple程序版) (一)考察证明的对象-散度公式:“散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧, n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度”.在公式的定义中,强调空间闭区域的边界闭合曲面S必须是能够区分其”内侧”、”外侧”的可定向曲面.在传统的直角坐标系-Gauss公式证明中,”抽象可定向闭合曲面”是这样定义的:抽象可定向闭合曲面由三个子曲面 1:z=z1(x,y), 2: z=z2(x,y),以及3分片包围而成,其中曲面1: z=z1(x,y),2: z=z2(x,y),3皆为抽象二元函数.(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P168-170) 也就是说,散度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面S必须具有两种属性:(1)闭合性;(2)可定向性. 离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”可定向闭合曲面”并且进一步建立”可定向闭合曲面坐标系”? 并没有现成的答案.Poincare猜想19断定任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面,在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 其对应的判断为 任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面.也就是说, 根据Poincare 猜想, 在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”球面”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在三维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?” 这也正是本 ”引言2” 讨论的中心内容.在空间解析几何学中,上述2维球面的参数表达式为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数u的变化范围0,Pi,参数v的变化范围0,2*Pi(在严格意义上, 该参数表达式是 ”2维球面” 在”空间直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式; ”二维球面” 在球面坐标系的表达式是常数1). 在拓扑学领域, 同胚的定义为两个流形, 如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的.从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然2维球面的参数方程为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数变化范围u0,Pi,v0,2*Pi,则其变形a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c为任意非零常数) 即为任意椭球面的参数方程. 在三维欧氏空间,任意椭球面皆同胚于球面,这是拓扑学的常识,无需讨论; 如果a,b,c为任意一阶可导连续函数,可能出现怎样的情况?参见如下Maple11版本的计算机参数曲面图形:图例1: restart; with(plots):with(linalg): a:=sin(u)+cos(v); # 由待定系数a,b,c输入”任意的正弦与余弦函数” b:=cos(u); c:=cos(v/2); CS:=a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u); # 目标参数表达式 rgu:=0,Pi; # 定义参数u,v的变化范围 rgv:=0,2*Pi;plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=6000); # Maple 11 参数作图指令 图例1 由待定系数a,b,c输入”任意正弦和余弦函数”,输出参数曲面呈非单连通、非闭合状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的内容无关图例2: restart; with(plots):with(linalg): a:=sin(u+v)+cos(v); # 由待定系数a,b,c输入”任意的正弦与余弦函数” b:=cos(v); c:=cos(v/2); CS:=a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u); # 目标参数表达式 rgu:=0,Pi; # 定义参数u,v的变化范围 rgv:=0,2*Pi;plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=6000);图例2 由待定系数a,b,c输入”任意正弦和余弦函数”,输出参数曲面呈非单连通、不可定向状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的内容无关图例3: restart; with(plots):with(linalg): a:=sin(u); # 由待定系数a,b,c输入”任意的正弦与余弦函数” b:= cos(u)+cos(u+3*v)/3; c:=cos(u); CS:=a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u); # 目标参数表达式 rgu:=0,Pi; # 定义参数u,v的变化范围 rgv:=0,2*Pi;plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=6000);图例3 由待定系数a,b,c输入”任意正弦和余弦函数”,输出曲面呈单连通可定向闭合状态 可以作为”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的对象以上实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi, 因待定系数a,b,c的不同取值, 一部份曲面属于单连通、可定向闭合曲面,一部分曲面则例外.也就是说,参数曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi存在两种情况: (1)在待定系数a,b,c为任意非零常数的情况下,参数曲面为椭球面(自然同胚于球面);(2)在待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲面可以为单连通可定向闭合曲面(同胚于球面),也可以为非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面).进一步的问题自然是“在参数曲面a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v), c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面)的情况排除?” (二)设定“任意曲面”为一集合,则“任意单连通、可定向闭合曲面” 是前者的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性, 本论文“流形上的散度或旋度公式证明”及其”和式极限证明”则讨论散度或旋度公式是否适用于这一子集合. Poincare猜想为用参数方程方法描述“任意单连通、可定向闭合曲面”的某种属性(即“同胚于2维球面”这一属性)提供了实现途径. 参考丘成桐院士2006年观点: 庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.基于上述情况,将无数具体的单连通、可定向闭合曲面抽象化为一个统一的表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c不能任意指定, 而必须服从于曲面的 ”单连通、可定向闭合” 的拓扑学属性)也就是说, 如果待定系数a,b,c能够任意指定, 则目标曲面 a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v), c*cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi 可能是”单连通、可定向闭合曲面”,也可能不是. 如果预先设定目标曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 本身就是”单连通、可定向闭合曲面”, 则待定系数a,b,c就不能任意指定了.从几何意义解释上述现象 - 在空间直角坐标系, 球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi) 沿x,y,z轴三个方向任意连续变化(即a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi,其中 待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通、可定向闭合曲面;反过来,在空间直角坐标系,任一单连通、可定向闭合曲面-必定由球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面)- Poincare 猜想为依据.例如,正六面体(即正方体)表面也可以被视为单连通、可定向闭合曲面-但是正六面体表面难于甚至不能用参数方程描述-但是不能否认,根据Poincare猜想, 正六面体表面必定同胚于球面,必定由球面(即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面);根据Poincare猜想,正六面体表面同样可以用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi参数模式描述.用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通、可定向闭合曲面,实际上是用Poincare猜想来描述单连通、可定向闭合曲面的某种内在结构和属性(即同胚于球面这一属性),为进一步的公式推导设定一个恰当的前提条件.需要特别指出,在具体曲面为“复连通、可定向闭合曲面”(例如环面及其同胚曲面)情况下还不能实现抽象化,还没有相关的理论依据为支持. 在实际操作层面,用Plot3D属于Waterloo Maple计算机代数系统指令指令绘画出某一参数曲面,必须在直观视觉上判定该曲面是否为单连通、可定向闭合曲面以后, 才能决定是否适用于流形上的散度或旋度公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲面是否为单连通、可定向闭合曲面;“参数曲面是否为单连通、可定向闭合曲面” 的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一曲面的单连通、可定向闭合属性.(三)a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 只是基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通可定向闭合曲面表达式, 还不属于坐标系;抽象单连通可定向闭合曲面坐标系为r a sin(u)cos(v),r b sin(u) sin(v),r c cos(u), r0, ,u0,Pi,v0,2*Pi, 其中r为向径, a,b,c为待定系数(因为a,b,c既可以为非零常数,也可以为一阶可导连续函数,具有不确定性.实际上,抽象单连通可定向闭合曲面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi与椭球面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b,c的解释不同:前者将a,b,c解释为任意非零常数或一阶连续可导函数(非任意,受曲面的单连通可定向闭合属性限制)”,而后者将a,b,c解释为只是任意非零常数;故抽象单连通可定向闭合曲面坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*a sin(u)cos(v),y=r*b sin(u) sin(v),z=r*c cos(u)(与椭球面坐标系-直角坐标系转换式是相同的).1.1 流形上的散度公式证明: Maple 11计算机代数系统格式 符号表达系统: 向量场V,向量场V的散度diV1,diV2,任意单连通、可定向闭合曲面CS,曲面CS的切平面法向量A,B,C,曲面CS所圈围的空间闭区域,空间闭区域微元系数的一般表达式J restart; # 系统复位 with(linalg): # 加载线性代数分析库 CS:=a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u);# 定义任意单连通、可定向闭合曲面CS的参数表达式,其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式,单连通、可定向闭合曲面CS决定a,b,c的取值. 19 rgu:=0,Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS闭合 V:=(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z);# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在包含曲面CS的空间区域具有一阶连续偏导数)Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)=diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV1:=rhs(%);# 计算抽象空间向量场V的散度diV1 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3:matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取闭合参数曲面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数; B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数; C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 任意空间向量场V与闭合参数曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对曲面参数u,v的积分 value(%);# 由于将x = a*sin(u)*cos(v), y = b*sin(u)*sin(v), z = c*cos(u)带入抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),得到不可计算的结果,舍去 x:=x:y:=y:z:=z: # 变量清空 Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2)=Int(int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 空间向量场V (保留抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的原形) 与闭合参数曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对曲面参数u,v的积分# 因为抽象向量场P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)具有普遍性和同质性,以抽象函数P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)的变量x(或y或z)的内含子变量u(或v)为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z). 也就是说,以变量x,y,z的内含子变量u(或v)为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)本身的结构.因为如此,抽象函数结构P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)能够在积分以后保持原形. alpha:=rhs(value(%); # 计算曲面积分值 # 获得一常数0 x:=x:y:=y:z:=z: x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3: # 通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面CS坐标参数转化为空间区域坐标参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取空间区域体积微元系数的一般表达式 det(m2); # 矩阵求值 J:=simplify(%); # 表达式化简,获得空间闭区域微元系数的一般表达式 x:=x:y:=y:z:=z: Diff(V1,x)*Diff(r*CS1,r)*Diff(r*CS1,u)*Diff(r*CS1,v)+Diff(V2,y)*Diff(r*CS2,r)*Diff(r*CS2,u)*Diff(r*CS2,v)+Diff(V3,z)*Diff(r*CS3,r)*Diff(r*CS3,u)*Diff(r*CS3,v);diV2:=value(%);# 将散度diV1从直角坐标形式转变为空间闭区域坐标形式# 保留抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏微分函数的原形(不可计算部分),对函数自变量x,y,z的参数表达式 r*a*sin(u)*cos(v), r*b*sin(u)*sin(v),r*c*cos(u)(可计算部分)求导,得到新的散度三元函数表达式diV2Int(Int(Int(diV2*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 散度diV2与任意空间区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分 其中 beta:=value(%); # 计算体元积分值 # 获得一常数0#因为抽象向量场的散度,或者其单元, 具有普遍性和同质性,以其变量x(或y或z)的内含子变量r(或u,或v)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对”散度的微分函数单元即, 、坐标转换微分函数、空间闭区域微元三者的乘积”的积分.以变量x,y,z的内含子变量r,(或u,或v)为自变量积分,不会改变抽象向量场散度及其三个微分函数单元本身的结构. 抽象向量场散度及其微分函数单元, 或, 或,能够在积分以后保持原形; 而与其三个微分变量, 对应的三个坐标转换微分函数,即: , 和 则可以在积分以后被改变 即= 曲面积分值与体元积分值相等,证毕1.2环面坐标系散度公式证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度 证明: 符号表达系统: 向量场V,向量场V的散度diV1,diV2,环面(复连通、可定向闭合曲面)CS,环面CS的切平面法向量A,B,C,环面CS所圈围的空间闭区域,空间闭区域微元系数的一般表达式J restart; # 系统复位 with(plots):with(linalg): # 加载线性代数分析库 CS:=(2+cos(u)*cos(v),(2+cos(u)*sin(v),sin(u);# 定义环面CS的参数表达式 rgu:=0,2*Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化范围,使环面CS闭合 plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=3000); # 参数作图 图1 环面 V:=(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z);# 定义抽象向量场V(设定该向量场在包含环面CS的空间区域具有一阶连续偏导数) Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)= diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV1:=rhs(%);# 计算抽象空间向量场V的散度diV1 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取环面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数; B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数; C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量 Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);# 抽象向量场V与环面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对环面参数u,v的积分 value(%);# 由于将x = (2+cos(u)*cos(v),y = (2+cos(u)*sin(v),z = sin(u)带入抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),得到不可计算的结果,舍去 x:=x:y:=y:z:=z: # 变量清空 Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2)=Int(int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 空间向量场V (保留抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的原形) 与环面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对环面参数u,v的积分 alpha:=rhs(value(%); # 计算曲面积分值 # 获得常数零 x:=x:y:=y:z:=z: # 变量清空 x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3:# 通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面CS坐标参数转化为空间区域坐标参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取空间区域体积微元系数的一般表达式 det(m2); # 矩阵求值 J:=simplify(%); # 表达式化简,获得空间闭区域微元系数的一般表达式 x:=x:y:=y:z:=z: Diff(V1,x)*Diff(r*CS1,r)*Diff(r*CS1,u)*Diff(r*CS1,v)+Diff(V2,y)*Diff(r*CS2,r)*Diff(r*CS2,u)*Diff(r*CS2,v)+Diff(V3,z)*Diff(r*CS3,r)*Diff(r*CS3,u)*Diff(r*CS3,v);diV2:=value(%);# 将散度diV1从直角坐标形式转变为空间闭区域坐标形式# 保留抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏微分函数的原形(不可计算部分),对函数自变量x,y,z的参数表达式 r*(2+cos(u)*cos(v),r* (2+cos(u)*sin(v),r*sin(u) (可计算部分)求导,得到新的散度三元函数表达式diV2 Int(Int(Int(diV2*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);# 散度diV2与环面包围空间区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分 beta:=value(%); # 计算体元积分值 # 获得常数0即= 环面曲面积分值与体元积分值相等,证毕2.流形上的散度公式数值模型:数值模型 2.1 restart; # 内存清空 with(plots):with(linalg): # 加载绘图工具库和线性代数分析库 CS:=9*(cos(u)-2*sin(u/2),sin(u)*cos(v)+cos(6*u),sin(u)*sin(v)+cos(5*u); # 定义任意单连通、可定向闭合参数曲面CS rgu:=0,Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS闭合 plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=1000);g1:=%: # 参数曲面CS作图图2 不对称、不规则的任意单连通、可定向闭合参数曲面CS V:=(x/3+y/6-z/5)3/12-y2/5+z2/7,x*y/7-z2/9,x2/6+y*z/5;# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在包含曲面 CS 的空间闭区域 具有一阶连续偏导数)Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)=diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV:=rhs(%); # 计算向量场V的散度diV rgx:=-30,10; rgy:=-20,20; rgz:=-20,20; fieldplot3d(V,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM,color=blue):g2:=%: # 向量场V作图 implicitplot3d(diV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,color=cyan,numpoints=3000):g3:=%:# 散度三元函数diV等值面作图 display(g1,g2,g3); # 合并图形图3 闭合参数曲面CS,积分向量场V及其散度diV等值面 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,求曲面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数 B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数 C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量/ 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量 Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 空间向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对曲面参数u,v的积分 alpha:=value(%);delta:=evalf(alpha); # 计算曲面积分值 x:=x:y:=y:z:=z: # 变量复位 x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3:# 通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面CS参数转化为空间闭区域体积参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取空间闭区域微元系数的一般表达式 det(m2); J:=simplify(%); # 空间闭区域微元系数的一般表达式/ 不同几何拓扑形状的空间区域,有不同的空间区域微元系数 Int(Int(Int(diV*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);# 散度diV与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分/ 与”公式证明”涉及的抽象散度函数diV1,diV2不同,在”数值模型”中可以直接将具体值x=r*CS1, y=r*CS2, z=r*CS3带入具体散度函数diV, 继之以”diV与空间区域微元的乘积”,进行三重积分 beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta); # 计算体元积分值 alpha;beta; # 解析值相等 delta;epsilon; # 浮点数值相等数值模型2.2 restart; with(plots):with(linalg):CS:=2*sin(u)*cos(v)+sin(5*u)/5,2*sin(u)*sin(v),cos(u)+sin(5*v)/5+sin(2*u); # 定义任意单连通、可定向闭合参数曲面CS rgu:=0,Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS闭合 plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=6000);g1:=%: # 闭合曲面CS作图图3 不对称、不规则的任意单连通、可定向闭合参数曲面CS V:=(x/3-y/6+z/5)3/3-y2/5-z3/7,x*y*z/6-z2/6,x2*y/6-y*z/5; # 定义任意空间向量场V(设定该向量场在包含曲面 CS 的空间闭区域 具有一阶连续偏导数) Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)=diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV:=rhs(%); # 计算空间向量场V的散度diV rgx:=-2,2; rgy:=-2,2; rgz:=-2,2; fieldplot3d(V,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM,color=blue):g2:=%: # 空间向量场V作图 implicitplot3d(diV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,color=cyan,numpoints=3000):g3:=%: # 散度diV等值面作图 display(g1,g2,g3); # 合并图形 图4 闭合参数曲面CS,积分向量场V和散度diV等值面 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取曲面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数 B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数 C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量 Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 空间向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积对曲面参数u,v的积分 alpha:=value(%);delta:=evalf(alpha); x:=x:y:=y:z:=z: x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3:# 通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面CS参数转化为空间区域参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取空间区域微元系数的一般表达式=m2:= det(m2); J:=simplify(%); # 获得空间区域微元系数的一般表达式Int(Int(Int(diV*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);# 散度diV与空间区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分 beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta); alpha;beta; # 解析值相等 delta;epsilon; # 浮点数值相等数值模型2.3 restart; with(plots):with(linalg): CS:=v*sin(u)*cos(v),u*