导数在函数中的应用.doc

导数在函数中的应用一、填空题1函数的最小值为_2函数在时函数的最大、最小值分别是_，13函数在上的最大值是 10.14、是R上的单调增函数，则的取值范围是 5、函数y=的减区间是_二解答题 1解函数定义域为，当时， 令，解得，又，变式训练求函数的值域解：由得即函数的定义域为，又 当时，函数在上是增函数，而的值域是2. 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量（x或y或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值解：解法一：，由解得设当时， 令，得或（舍），又，函数的最大值为即的最大值为解法二：由得，设，设，则令，得或，此时即当时，说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑变式训练已知实数x、y满足，求的取值范围提示：由，得设，则，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减当时，函数取得极大值，也是最大值，当时，函数的值域为，即3、设函数（）当求函数满足时的的集合；（）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+）上是单调减函数4已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对于任意恒成立，试求实数a的取值范围解（1）当时，由，当时，函数是增函数当时，的最小值为（2）对任意，恒成立，即对任意恒成立对任意恒成立设 ，则当时，函数是增函数当时，取得最小值由题意5已知R，函数若函数没有零点，求实数的取值范围；若函数存在极大值，并记为，求的表达式；当时，求证：20令，得，所以因为函数没有零点，所以，所以4分，令，得，或，当时，列出下表：+00+当时，取得极大值6分当时，在上为增函数，所以无极大值当时，列出下表：+00+当时，取得极大值，9分所以10分当时，令，则，当时，为增函数；当时，为减函数，所以当时，取得最小值13分所以，所以，因此，即16分6当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?解 (1)b(t)=-2 000t+10 000, b(t)|t=5=-2 0005+10 000=0, b(t)|t=10=-2 00010+10 000=-10 000,即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. (2)由-2 000t+10 0000,得t5,由-2 000t+10 0005,即细菌在t(0,5)时间段数量增加,在t(5,+)时间段数量减少. 7某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）解：每月生产吨时的利润为 由解得：或（舍去）因为在内只有一个点使得，故它就是最大值点，且最大值为： ，故它就是最大值点，且最大值为：（元） 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.8甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 BD=40,AC=50,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50x)+5y=3+,令y=0,解得=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(),依题意，有()=3(5040cot)+5=150+40()=40