用软件求一元函数积分.doc

一元函数积分学及积分应用中的数学模型实验目的：1、掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.2、学习使用一元函数积分求平面图形的面积、求曲线的弧长的方法.实验内容：1、计算一元函数的不定积分、定积分。2、用定义计算一元函数的定积分。3、求平面图形的面积、曲线的弧长。5.1实验准备5.1.1 数学原理：1）曲边梯形的面积曲线y=f(x)（a=x=g(x)（a=x=b），则曲线y=f(x)和y=g(x)之间的图形面积为 （2）y=f(x)和y=g(x)（a=x=b）之间的图形的面积为 曲边扇形的面积曲边扇形的面积 2）曲线的弧长曲线L：y=y(x)（a=x=b）的弧长为：曲线L的参数方程：x=x(t)，y=y(t)（a=x=b）的弧长为：曲线L的极坐标方程：r=r(t)（a=t None, n, s1, s2则输出这是的一系列近似值. 且有例2 计算的近似值.输入Clearg;gx_=Sinx/x;js2=Tablen,s2g,0,1,n,n,3,50则得到定积分的一系列近似值:3, 0.91687, 4, 0.924697, 5, 0.929226, 6, 0.932175, 7, 0.934247, 8, 0.935783, 9, 0.936966, 10, 0.937906, 11, 0.93867, 12, 0.939303, 13, 0.939837, 14, 0.940293, 15, 0.940687, 16, 0.941031, 17, 0.941334, 18, 0.941602, 19, 0.941842, 20, 0.942057, 21, 0.942252, 22, 0.942428, 23, 0.942589, 24, 0.942737, 25, 0.942872, 26, 0.942997, 27, 0.943113, 28, 0.94322, 29, 0.94332, 30, 0.943413, 31, 0.9435, 32, 0.943582, 33, 0.943658, 34, 0.94373, 35, 0.943798, 36, 0.943862, 37, 0.943922, 38, 0.94398, 39, 0.944034, 40, 0.944086, 41, 0.944135, 42, 0.944182, 43, 0.944226, 44, 0.944269, 45, 0.944309, 46, 0.944348, 47, 0.944385, 48, 0.944421, 49, 0.944455, 50, 0.944488注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n增大收敛很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度. 如果用NIntegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例3 用定义求定积分的演示.输入Clearf, x, a, b;fx_ = x2;a = 0; b = 1.5; m = 0;g1 = Plotfx, x, a, b, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;Tablett1 = ; tt2 = ; Fori = 0, i m intervals, m, 3, 50, 2执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅). 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义 , , , .5.2.2 不定积分计算例4 求输入Integratex2*(1-x3)5,x则输出例5 求输入IntegrateExp-2 x*Sin3 x,x则输出例6 求输入Integratex2*ArcTanx,x则输出例7 求输入IntegrateSinx/x,x则输出SinIntegratex它已不是初等函数.5.2.3 定积分计算例8 求输入Integratex-x2,x,0,1则输出例9 求输入IntegrateAbsx-2,x,0,4则输出4例10 求输入IntegrateSqrt4-x2,x,1,2则输出例11 求输入IntegrateExp-x2,x,0,1则输出其中Erf是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrateExp-x2,x,0,1则有结果0.746824.5.2.4 变上限积分例12 求输入DIntegratewx,x,0,Cosx2,x则输出 注意这里使用了复合函数求导公式.例13 画出变上限函数及其导函数的图形.输入命令f1x_ := Integratet*Sint2, t, 0, x;f2x_ := EvaluateDf1x, x;g1 = Plotf1x, x, 0, 3, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;g2 = Plotf2x, x, 0, 3, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;Showg1, g2, PlotRange - All则输出如图.5.3设计实验5.3.1 求平面图形的面积例14 求曲线y=x3-2x与x轴所围成的图形的面积，并作图。fx_ := x3 - 2*xPlotfx, x, -2, 2, PlotStyle - Red, Filling - AxisSolvefx = 0, x 输入A = IntegrateAbsfx, x, -Sqrt2, Sqrt2输出2例15 设和计算区间上两曲线所围成的平面的面积.输入命令Clearf, g;fx_ = Exp-(x - 2)2 CosPi x;gx_ = 4 Cosx - 2;Plotfx, gx, x, 0, 4, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1FindRootfx = gx, x, 1.06FindRootfx = gx, x, 2.93NIntegrategx - fx, x, 1.06258, 2.93742则输出两函数的图形及所求面积x - 1.06258x - 2.937424.17413例16 求曲线y = sinx和y=cos2x（0=x Red, Blue, Filling - 1 - 2A = IntegrateAbsfx - gx, x, 0, PiNA输出-2 + 3 Sqrt33.19615例17 求心形线r=a(1+cost)所围成的图形的面积。输入Clear*rt_ := a*(1 + Cost)A = (1/2)*Integratert2, t, 0, 2*Pi输出画出a=1时的图形a = 1;PolarPlotrt, t, 0, 2*Pi例18 求阿基米德螺线r=at（0=t Red, Thickness0.025.3.2 求平面曲线的弧长例19 计算与两点间曲线的弧长.输入命令Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx;Plotfx,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564.12.0564注: 曲线在区间上的弧长.例20 求曲线y=x2（1=x Red, Thickness0.01;ShowA, Bs1 = IntegrateSqrt1 + fx2, x, 1, 3s2 = Ns1输出 8.26815例21 求曲线x=sin t3，y=t（-1=t Red, Thickness0.01;ShowA,