高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.3 习题课——函数奇偶性的应用课件 新人教版必修1.ppt

第2课时习题课 函数奇偶性的应用 题型探究 类型一利用奇偶性求函数解析式 典例 若f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 3 求f x 的解析式 解题探究 典例中函数的定义域是什么 提示 据条件可知定义域为x r 解析 当x0 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 由于f x 是奇函数 故f x f x 所以f x x2 2x 3 即当x 0时 f x x2 2x 3 延伸探究 1 变换条件 若把本例中的奇函数改为偶函数 其他条件不变 求当x0 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 由于f x 是偶函数 故f x f x 所以f x x2 2x 3 即当x 0时 f x x2 2x 3 2 改变问法 本例条件不变 求f 2 的值 解析 因为f x 是定义在r上的奇函数 所以f 2 f 2 22 2 2 3 3 方法技巧 利用奇偶性求函数解析式的思路及注意点 1 思路 求谁设谁 即在哪个区间求解析式 x就设在哪个区间内 利用已知区间的解析式代入 利用f x 的奇偶性写出 f x 或f x 从而解出f x 2 注意点 若函数f x 的定义域内含0且为奇函数时 则必有f 0 0 但若为偶函数 未必f 0 0 补偿训练 若f x 为偶函数 当x 0时 f x 1 则当x0 所以f x 1 因为f x 为偶函数 所以f x 1 答案 1 类型二函数单调性与奇偶性的综合角度1 比较大小问题 典例 已知函数y f x 是定义在r上的偶函数 在 2 6 上是减函数 比较f 5 与f 3 的大小 解题探究 典例中如何将f 5 转化为自变量在 2 6 上与之对应相等的函数值 提示 利用函数的奇偶性 由于函数是偶函数 故f 5 f 5 解析 因为f x 是偶函数 所以f 5 f 5 f 3 f 3 因为f x 在 2 6 上是减函数 所以f 5 f 3 所以f 5 f 3 延伸探究 变换条件 若把本例中的偶函数改为奇函数 其他条件不变 比较f 5 与f 3 的大小 解析 因为f x 是奇函数 所以f 5 f 5 f 3 f 3 因为f x 在 2 6 上是减函数 所以f 5 f 3 即f 5 f 3 角度2 解不等式问题 典例 设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上是减函数 若f 1 m f m 求实数m的取值范围 解题探究 典例中奇函数f x 在 2 2 上的单调区间是什么 怎样将抽象不等式f 1 m f m 转化为具体的不等式 提示 由于函数是奇函数 可得f x 在 2 0 上单调递减 故其在 2 2 上单调递减 借助函数的奇偶性及其单调区间 可将抽象不等式f 1 m f m 转化为具体的不等式求解 解析 因为f x 是奇函数 所以f x 在 2 2 上为减函数 所以不等式f 1 m f m 等价于 方法技巧 奇偶性与单调性综合问题的两种类型 1 比较大小 看自变量是否在同一单调区间上 在同一单调区间上 直接利用函数的单调性比较大小 不在同一单调区间上 需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上 然后利用单调性比较大小 2 解不等式 利用已知条件 结合函数的奇偶性 把已知不等式转化为f x1 f x2 的形式 根据奇函数在对称区间上的单调性一致 偶函数在对称区间上的单调性相反 脱掉不等式中的 f 转化为简单不等式求解 变式训练 1 已知函数f x 在 5 5 上是偶函数 f x 在 0 5 上是单调函数 且f 4 f 1 解析 选d 因为函数f x 在 5 5 上是偶函数 f 4 f 1 2 设f x 在r上是偶函数 在 0 上递减 若f a2 2a 3 f a2 a 1 求实数a的取值范围 解析 由题意知f x 在 0 上是增函数 又因为a2 2a 3 a 1 2 2 0 a2 a 1 且f a2 2a 3 f a2 a 1 所以a2 2a 3 a2 a 1 即3a 2 解得a 规范解答函数奇偶性与单调性的综合应用 典例 12分 已知函数f x 是奇函数 且f 2 1 求实数a b的值 2 判断函数f x 在 1 上的单调性 并用定义证明 审题指导 利用两个条件建立关于a b的方程求解 求出函数解析式 再利用单调性定义判断f x 在 1 上的单调性 规范解答 1 因为f x 是奇函数 所以f x f x 1分 3分因此b b 解得b 0 4分又因为f 2 所以解得a 2 6分 2 由 1 知f x f x 在 1 上为增函数 7分证明 设x1 x2 1 则f x1 f x2 x1 x2 9分 因为x11 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 11分所以f x 在 1 上为增函数 12分 题后悟道 1 用好奇 偶函数的定义求参数的问题需要根据奇 偶函数的定义建立关于参数的恒等式 通过比较等式两边来确定关于参数的方程 解题时要挖掘隐含条件 具备式子变形能