高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时1 坐标系课件 理.ppt

14 3坐标系与参数方程 课时1坐标系 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 平面直角坐标系设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 知识梳理 1 答案 2 极坐标系 1 极坐标与极坐标系的概念在平面上取一个定点o 自点o引一条射线ox 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向为正方向 这样就建立了一个极坐标系 点o称为极点 射线ox称为极轴 平面内任一点m的位置可以由线段om的长度 和从射线ox到射线om的角度 来刻画 如图所示 这两个数组成的有序数对 称为点m的极坐标 称为点m的 称为点m的 由极径的意义可知 0 当极角 的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 0 建立一一对应的关系 我们设定 极点的极坐标中 极径 0 极角 可取任意角 极径 极角 答案 2 极坐标与直角坐标的互化设m为平面内的一点 它的直角坐标为 x y 极坐标为 由图可知下面关系式成立 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 或 答案 3 常见曲线的极坐标方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 答案 cos a sin a 0 答案 过点 0 2 且与x轴平行的直线方程为y 2 即为 sin 2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 解析答案 1 2 3 3 在以o为极点的极坐标系中 圆 4sin 和直线 sin a相交于a b两点 当 aob是等边三角形时 求a的值 解析答案 1 2 3 返回 解由 4sin 可得x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得y a 设圆的圆心为o y a与x2 y 2 2 4的两交点a b与o构成等边三角形 如图所示 由对称性知 o ob 30 od a 1 2 3 返回 题型分类深度剖析 例1 1 以直角坐标系的原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 求线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程 y 1 x化成极坐标方程为 cos sin 1 0 x 1 线段在第一象限内 含端点 题型一极坐标与直角坐标的互化 解析答案 2 在极坐标系中 曲线c1和c2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 求曲线c1和c2交点的直角坐标 解因为x cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 所以曲线c1的直角坐标方程为y2 x 由 sin 1 得曲线c2的直角坐标方程为y 1 解析答案 思维升华 1 极坐标与直角坐标互化的前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴的正半轴重合 取相同的单位长度 2 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易 只要运用公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些 解此类问题常通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 思维升华 1 曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线c的极坐标方程 解将x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 跟踪训练1 解析答案 2 求在极坐标系中 圆 2cos 垂直于极轴的两条切线方程 解由 2cos 得 2 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 其垂直于x轴的两条切线方程为x 0和x 2 解析答案 例2将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的2倍 得曲线c 1 写出曲线c的方程 解设 x1 y1 为圆上的点 在已知变换下变为曲线c上的点 x y 题型二求曲线的极坐标方程 解析答案 2 设直线l 2x y 2 0与c的交点为p1 p2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 化为极坐标方程 并整理得2 cos 4 sin 3 解析答案 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 1 建立适当的极坐标系 设p 是曲线上任意一点 2 由曲线上的点所适合的条件 列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 3 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线的极坐标方程 思维升华 令 0 得 1 所以圆c的圆心坐标为 1 0 于是圆c过极点 所以圆c的极坐标方程为 2cos 跟踪训练2 解析答案 例3 2015 课标全国 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 解因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 题型三极坐标方程的应用 解析答案 由于c2的半径为1 所以 c2mn为等腰直角三角形 解析答案 思维升华 1 已知极坐标系方程讨论位置关系时 可以先化为直角坐标方程 2 在曲线的方程进行互化时 一定要注意变量的范围 注意转化的等价性 思维升华 圆 4可化为x2 y2 16 跟踪训练3 解析答案 返回 思想方法感悟提高 在用方程解决直线 圆和圆锥曲线的有关问题时 将极坐标方程化为直角坐标方程 有助于对方程所表示的曲线的认识 从而达到化陌生为熟悉的目的 这是转化与化归思想的应用 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 在极坐标系 0 2 中 求曲线 cos sin 1与 sin cos 1的交点的极坐标 解曲线 cos sin 1化为直角坐标方程为x y 1 sin cos 1化为直角坐标方程为y x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 在极坐标系中 已知圆 3cos 与直线2 cos 4 sin a 0相切 求实数a的值 解圆 3cos 的直角坐标方程为x2 y2 3x 直线2 cos 4 sin a 0的直角坐标方程为2x 4y a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解以极点为坐标原点 极轴为x轴建立直角坐标系 则曲线 2cos 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 且圆心为 1 0 因为圆心 1 0 关于y x的对称点为 0 1 所以圆 x 1 2 y2 1关于y x的对称曲线为x2 y 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解对曲线c1的极坐标方程进行转化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 对曲线c2的极坐标方程进行转化 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解设p 点的极坐标为 pop 为正三角形 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 在极坐标系中 判断直线 cos sin 1 0与圆 2sin 的位置关系 解直线 cos sin 1 0可化成x y 1 0 圆 2sin 可化为x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 故直线与圆相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 将m n p三点的极坐标化为直角坐标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 判断m n p三点是否在一条直线上 kmn knp m n p三点在一条直线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 在直角坐标系xoy中 以o为极点 x轴正半轴为极轴建立极