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第二章平面向量 2 5从力做的功到向量的数量积 1 复习引入 向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积 运算结果 向量 向量 向量 2 如果一个物体在力F作用下产生位移S 那么F所做的功为 力做功的计算 功为两个向量之间的某种运算 称为数量积 表示力F的方向与位移S的方向的夹角 3 1 两向量的夹角 4 1 求两向量的夹角 应保证两个向量有公共起点 若没有 须平移使它们有公共起点 4 规定 零向量与任意向量垂直 几点说明 即 5 练习 6 B1 2 射影的定义 如图 过点B作BB1 OA于B1 则 cos 叫作向量在方向上的射影 当夹角为钝角 直角时射影应如何呢 7 O O O 注意 射影是一个数量 不是向量 当 为锐角时射影为正值 当 为钝角时射影为负值 当 为直角时射影为0 当 0 时射影为 b 当 180 时射影为 b 8 3 数量积 表示数量而不表示向量 与 不同 它们表示向量 在运用数量积公式解题时 一定要注意向量夹角的取值范围是 1 2 3 注意 9 4 数量积的几何意义 10 当两个向量相等时 两个向量的数量积等于向量长度的平方 当两个向量都是单位向量时 它们的数量积等于它们夹角的余弦值 两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢 2 11 2 12 11 5 向量数量积的性质 判定两向量垂直的条件 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状 1 12 5 数量积的运算律 13 分析 可利用定义讨论 解 14 例2在三角形ABC 设边BC CA AB的长度分别为a b c 证明 a2 b2 c2 2bccosAb2 c2 a2 2cacosBc2 a2 b2 2abcosC 15 A B C a b c 同理可证其他二式 我们把这个结果称为余弦定理 证明如图 设 则 16 例3证明菱形的两条对角线互相垂直 A B C D O 证明菱形ABCD中 AB AD 即菱形的两条对角线互相垂直 17 例4已知单位向量e1 e2的夹角为60 求向量a e1 e2 b e2 2e1夹角 解由单位向量e1 e2的夹角为60 得 e1 e2 18 由 可得 又 a 2 e1 e2 2 e1 2 2e1 e2 e2 2 3 b 2 e2 2e1 2 4 e1 2 4e1 e2 e2 2 3 所以 a b 又0 所以 120 19 1 5 若 则对于任一非零有 2 3 7 对于任意向量都有 6 若 则至少有一个为 判断下列命题是否正确 20 公式变形 对功W F s cos 结构分析 抽象 平面向量数量积的定义a b a b cos 特殊化 五条重要性质 数形 结合 几何意义 小结 21 1 向量的数量积的定义 2 平面向量数量积的物理意义和几何意义 小结 3 向量的数量积的性质 4 向量的数量积的运算律 22 课堂小结 2 向量的射
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