高考数学一轮复习 小专题串方法 专题五 立体几何问题中的巧妙解法课件 文 北师大版.ppt

专题五立体几何问题中的巧妙解法 立体几何是高中数学的主要知识板块之一 在高考中占有重要位置 解立体几何试题的基本能力是空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 基本的解题方法是综合法的逻辑推理 在这个基本方法下 还有一些技巧性方法 下面做简单介绍 模型法 方法一 思路点拨 根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体一部分 先画出正方体 再根据三视图确定空间几何体 类型1 模型法还原空间几何体 例1 2015大连二模 已知某几何体的三视图如图所示 三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形 则该几何体的体积为 方法总结空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分 根据题目的实际情况 判断其可能是哪个几何体的一个部分 利用该几何体为模型 可以较为方便地判断出三视图表达的空间几何体 类型2 模型法判断空间位置关系 例2 2015龙岩高三5月质检 已知l m是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题为真命题的序号是 若l m l m 则 若l l m 则l m 若l 则l 若l l m 则m a b c d 思路点拨 长方体中存在各种平行 垂直关系 构造长方体模型 结合选项 考虑线面位置的各种可能 作出判断 解析 构造长方体模型 命题 如图 1 显然不正确 排除选项a b 答案只能是选项c d 根据选项c d可知 一定正确 只要判断 是否正确即可作出结论 对于命题 如图 2 有直线l在平面 内的可能 所以命题 不正确 综上可知正确选项为c 故选c 方法总结长方体 三棱锥等模型包含了空间线面位置关系的所有可能 在进行空间线面位置关系的分析判断时 借助于几何模型能起到非常直观的作用 提高解题的准确率 展开法 方法二 思路点拨 展开侧面 把折线长度之和的最小值转化为平面上两点间的距离 方法总结涉及空间几何体表面上折线 曲线长度之和的最值问题时 把空间几何体的表面展开 把折线 曲线转化为直线 割补法 方法三 思路点拨 第 1 小题几何体是由圆柱截割得来 把其补充为圆柱 利用补充前后的体积关系得之 第 2 小题利用正方体模型得出空间几何体 利用分割方法求解 方法总结割补的目的是实现由难到易的转化 是化归转化思想在空间几何体体积问题中的体现 思路点拨 根据几何体的形状补形 使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球 方法总结当多面体是长方体的一个部分时 其外接球与长方体的外接球必然存在联系 如具有相同的外接球 补形的目的就是找到这种联系 补形法是求解球与多面体构成的组合体的方法之一 方法四 平行线法 思路点拨 找平行线 得出线面平行的条件 例6 在四棱锥o abcd中 底面abcd是平行四边形 m为oa的中点 n为bc的中点 证明 直线mn 平面ocd 证明 法一取ob中点e 连结me ne 如图 1 因为me ab ab cd 所以me cd 又因为ne oc 所以平面mne 平面ocd 所以mn 平面ocd 方法总结线面平行是平行关系的重点 但线线平行是解决平行关系的必经之路 无论是线面平行 面面平行都离不开线线平行 平行线法是证明空间平行关系的基本方法 线面垂直法 方法五 思路点拨 把线线垂直化为线面垂直 再通过线面垂直得出线线垂直 类型1 垂面法证明空间垂直关系 例7 若四面体的两组对棱互相垂直 则另一组对棱也互相垂直 证明 如图 过点a作ao 平面bcd 连结bo do co并延长交cd bc bd于点e f g 由于ao 平面bcd cd 平面bcd 故ao cd 又ab cd 根据线面垂直的判定定理得cd 平面aob be 平面aob 故cd be 同理可证df bc 故点o为三角形bcd的垂心 从而cg bd 又ao bd 由线面垂直的判定定理得bd 平面aoc 又ac 平面aoc 由线面垂直的定义得ac bd 方法总结在垂直关系的证明中 线面垂直可以是最终目标 但大多数情况下线面垂直是证明的一个过程 即使在最终目标是线面垂直时也有这种可能 通过证明线面垂直得线线垂直 面面垂直 再通过得出的垂直关系 得出线面垂直 进一步得出其他的垂直关系 在垂直关系的证明中线面垂直是核心 把线面垂直当作一种证明方法就是基于这种情况 思路点拨 找出或作出点d到平面abc的距离de 根据面面垂直的性质不难证明ac 平面 进而平面 平面abc 所以过d作de bc于e 则de就是要求的距离 方法总结空间距离问题最根本的是点到平面的距离 本题也可以根据三棱锥a bcd的体积等于三棱锥d abc的体积 使用等体积法求解 思路点拨 1 该四面体的外接球的球心o必在过 abc外接圆的圆心o 且垂直于平面abc的直线上 且球心到四面体各顶点的距离相等 据此得出球的半径满足的关系式 答案 1 d 2 2015济南5月针对性训练 如图 三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中 三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面 则这个碗的半径是cm 思路点拨 2 大小球的球心以及小球与大球的切点必共线 大球的半径等于大球的球心与小球的球心的距离加上小球的半径 3 棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径分别是 思路点拨 3 根据对称性 正四面体的外接球和内切球的球心必定相同 且一定为正四面体四条高的交点 球心到一个顶点的距离为其外接球的半径 球心到一个面的中心的距离为内切球的半径 两球的半径之和等于正四面体的高 方法总结决定球的几何要素是球心的位置和球的半径 在球与其它几何体的结合问题中 通过位置关系的分析 找出球心所在的位置是解题的关键 这个方法我们不妨称之为球心位置分析法 本例中 3 求外接球的半