第二十三节 平移、旋转、对称 2.doc

8第二十三讲 平移、旋转、对称1最短线路问题2对称定坐标3变换的应用 本讲考题一般以填空、选择、作图、解答题的形式出现，一般难度不大；但如果作为综合题出现时，难度就较大 人们从一地到另一地时，总希望走近道，少走冤枉路，我们把这类求近道的问题称为最短线路问题，利用轴对称变换通过作图可以解决这类问题其中又可以分为两点一线型、一点两轴型、两点两轴型 以平面直角坐标系为背景，通过几何图形的轴对称性质建立函数关系式，进一步确定几何图形中点的坐标，体现了数形结合的思想方法 图形变换可以解决许多实际问题，比如利用轴对称的原理，可以解决镜子中钟表的时间问题等最短线路问题 【例1】某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条如图23 -1(1)中的AO，BO，AO桌面上摆满了糖果，B()桌面上摆满了橘子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿橘子，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论： 解：(1)如图23 - l(2)， 作点C关于AO的对称点D，作点C关于BO的对称点E； 连接DE交AO于F，交BO于G；则小亮的行走路线为CFG C(2)如图23 -1 (3)，等于此时从点C沿直线走到0处，再直线返回C处， 【例2】如图232，牧童在A处放牛，其家在B处A，B到河岸的距离分别为AC，13D，且AC=BD，A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走路程最短，在图中作出该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？解：(1)作法：作点A关于C D的对称点连接交 CD于点M，则点M即为所求的点， 证明：在CD上任取一点连接 直线CD 是的对称轴，在CD上，即最小即M为CD的中点且 最短路程为1000 m 此类题考查定点关于定直线的对称点的作法，在中考中一般以作图题出现， 求线段和的最小值是一类常见几何最值问题，求解这类问题的常用方法是利用对称变换，将问题转化为求两定点间最短距离，或定点到定直线的最短距离等基本问题2 对称定坐标 【例3已知两点A(O，2)，B(4，1)，点P是x轴上的一点，且PA + PB的值最小，求点P的坐标 分析：如图23 -3，在坐标系中先标出点A，B的位置，在x轴上要确定一点P，使PA + PB最小，先作出点A关于x轴的对称点连接与x轴交于点P，根据“两点之间线段最短”的道理，点P就是要求的点（如果另取一点则这些都应该考虑到）解：取点A关于x轴的对称点因为直线经过点与点B(4，1)，设直线的解析式为则可得方程组解，得所以当y=0时，点P的坐标为 本题型为轴对称、一次函数与二元一次方程组知识的综合应用，在考试中一般以填空或解答题出现 与最小值有关的坐标问题，经常利用轴对称变换的思想转移点的位置，再利用一次函数的解析式求得最小值点的坐标我们可以把步骤归纳为：对称找点定直线解方程定坐标3 图形变换的应用 1平移变换 【例4】 -列长200 m的火车在笔直的铁轨上做匀速直线运动，火车头在1 min内走了1200 m，那么，坐在车尾的乘客的速度是多少？ 分析：运用“平行移动的物体中每个部位都向相同方向移动相等的距离”这一特点来解题 解：由平移的特点可知：坐在车尾的乘客在1nun内移动的距离跟火车头在1 min内移动的距离相等，均等于1200 m，则乘客的速度为答：坐在车尾的乘客的速度是 主要考查平移变换的性质，在考试中一般以选择、填空题目出现 抓住平移的特征物体平移时每部分移动距离相等，是解决这类问题的关键2轴对称 【例5】星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图23 -4所示，此时时钟表示的时间是 （按12小时制填写） 分析：如果一个图形语某条直线对折后能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该直线对称此题只需作两针关于中心线（过6点和12点的直线）的对称线段，此时所指示的时间为实际时间，即可知真正的时间为下午1：30.答案：下午1：30 本题主要考查轴对称知识，在考试中一般以选择、填空题出现， 镜子中的像和实际物体是关于镜面成轴对称的，反映在物体上就是关于中间的线成轴对称，解这类问题最简单的办法就是从试卷的反面看到的时间就为实际时间 3旋转变换 【例6】把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起，如图23 -5(1)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点0重合现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角a满足条件：四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分，如图23 -5 (2) 在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？请证明你的发现 分析：在旋转过程中，由于CGK与BGH的对应线段相等，对应角相等，所以CGK BGH，据此可使问题获解 证明： ABC与EFG是全等的等腰直角三角形，0为斜边中点， BGH与CGK均为旋转角， BGH=CGK，CGK BHG故BH=CK 即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为 4 主要考查旋转的特征：旋转过程中的对应线段和对应角及它们之间的相等关系，同时涉及等腰直角三角形的判定及求三角形面积等知识点在考试中一般以选择、填空或解答题出现， 抓住旋转变换过程中的一些不变量，如对应角、对应线段相等，是解决有关旋转问题的关键所在，在本例中，利用旋转变换的特征，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积，实现了特殊到一般的转化，体现了一个重要的数学思想转化思想，巩固练习1(2008山东东营)将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形再将纸片展开，得到的图形是 ( ) 2如图，ABC与关于直线L对称，且则B的度数为 ( ) 3（2009山东淄博）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，-1），(0，2)，(3，0)从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是 ( )A.M BN C. P DQ4（2010山东青岛）把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分DEF的面积是( ) 5如图，正方形ABCD的边长是3 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着正方形ABCD的边ABBCCD DAAB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是下图的 ( ) 6(2010兰州)如图，直角梯形 ABCD中，ADBC，AB BC，AD =2，将腰CD以D为中心逆时针旋转至DE，连接AE，CE，ADE的面积为3，则BC的长为 7如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 8已知A(m -1，3)与点B(2，n+l)关于x轴对称，则m=_，n=_9为了美化环境，需要在一块正方形的空地上分别种植四种不同颜色的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形；(2)四块图形形状相同； (3)四块图形面积相等 现已有两种不同的分割方法： (1)分别做两条对角线，如图(1)； (2)过一边的四等分点作这边的垂线，如图(2)，如图(3). 请你根据上述要求，分别给出另外三种不同的分割方法 第9题10.（2009湖北荆门）一次函数的图像与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(O，4)(1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点，求PC + PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标11（2009广西柳州）如图，正方形网格中，ABC为格点三角形（顶点都是格点），将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到(1)在正方形网格中，作出（不要求写作法） (2)设网格小正方形的边长为1 cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形， 然后求出它的面积（结果保留）12.甲、乙两人从一楼乘同一电梯上一座高楼，电梯始终以1.5 m/s的速度匀速上升或下降，每遇到乘客到自己楼层时只停留4s，然后继续将另外人员送到自己楼层，已知甲到自己楼层用了12 s，乙到自己楼层用了22 s，问：甲、乙两人各到哪层楼？(每层楼高为3 m)13.已知，正方形ABCD中，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的