高中数学 第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件 北师大版必修2.ppt

1 2简单多面体 1 多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体 其中棱柱 棱锥 棱台是简单多面体 做一做1下列关于多面体的说法正确的是 填序号 多面体只包括边界 不包括内部 是平面围起来的 壳 多面体一定有体对角线 半球体是多面体 圆台为多面体 长方体为多面体 解析 多面体为 实心 的体 错误 四面体没有体对角线 错误 半球体由曲面围成 不是多面体 错误 同样 错误 正确 答案 2 棱柱 1 棱柱的定义 两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 这些面围成的几何体叫作棱柱 2 棱柱的有关概念 棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面 其余各面叫作棱柱的侧面 棱柱的侧面是平行四边形 两个面的公共边叫作棱柱的棱 其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱 底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点 如图所示 3 棱柱的分类 按侧棱是否垂直于底面按底面多边形形状 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱 4 棱柱的表示 通常用底面各顶点的字母表示棱柱 如上图中的棱柱可记作 五棱柱abcde a b c d e 做一做2下列说法正确的是 a 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c 一个棱柱至少有五个面 六个顶点 九条棱d 棱柱的侧棱长有的都相等 有的不都相等解析 a b都不能保证棱柱的侧棱互相平行这个结构特征 对于d 由棱柱的结构特征可知侧棱都相等 最简单的棱柱是三棱柱 有五个面 六个顶点 九条棱 故选c 答案 c 3 棱锥 1 棱锥的定义 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形 这些面围成的几何体叫作棱锥 2 棱锥的有关概念 棱锥中的多边形叫作棱锥的底面 其余各面叫作棱锥的侧面 各侧面的公共点叫作棱锥的顶点 相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱 如图所示 3 棱锥的表示 用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥 如上图中的棱锥可记作 四棱锥s abcd 4 棱锥的分类 按底面多边形的边数分为 三棱锥 四棱锥 五棱锥 其中三棱锥也叫作四面体 棱锥 做一做3下列说法正确的是 a 有一个面是多边形 其余各面是三角形的几何体是棱锥b 四面体是四棱锥c 侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥d 侧棱长相等 各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥解析 有一个面是多边形 其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥 故a错 四面体是三棱锥 故b错 侧棱与底面所成的角相等且底面必须是正多边形的棱锥才是正棱锥 故c错 故选d 答案 d 4 棱台 1 棱台的定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫作棱台 原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面 其他各面叫作棱台的侧面 相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱 如图所示 2 表示 用表示底面各顶点的字母表示棱台 如上图中的棱台可记作 四棱台abcd a b c d 3 分类 按底面多边形的边数分为三棱台 四棱台 五棱台 4 特殊的棱台 用正棱锥截得的棱台叫作正棱台 正棱台的侧面是全等的等腰梯形 做一做4如图所示的几何体中是棱台的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 是棱柱 是多面体 为圆柱 为棱锥 为棱台 所以答案为a 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱 2 每个面都是三角形的几何体就是棱锥 3 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4 棱台的侧棱可以与底面垂直 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一多面体的概念及特征 例1 给出下列几个命题 棱柱的侧面都是平行四边形 棱锥的侧面都是三角形 且所有三角形都有一个公共顶点 多面体至少有四个面 棱台的侧棱所在直线均相交于一点 其中假命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 解答本题可先根据棱柱 棱锥 棱台的结构特征进行详细分析 再结合已知的各个命题具体条件进行具体分析 显然命题 均是真命题 对于命题 棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线 而棱锥的侧棱都有一个公共点 它便是棱锥的顶点 于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点 故命题 为真命题 故选a 答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1下列说法中正确的是 在正方体上任意选择4个不共面的顶点 它们可能是正四面体的4个顶点 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 正确 正四面体是每个面都是等边三角形的四面体 如正方体abcd a1b1c1d1中的四面体acb1d1 错误 如图所示 底面三角形abc为等边三角形 可令ab vb vc bc ac 则 vbc为等边三角形 vab和 vca均为等腰三角形 但不能判定其为正三棱锥 错误 必须是相邻的两个侧面 错误 如果有两条侧棱和底面垂直 那么它们不相交 不可能 错误 当底面是菱形时 此说法不成立 故填 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究二棱柱的结构特征 例2 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1 1 这个长方体是棱柱吗 如果是 是几棱柱 为什么 2 用平面bcnm把这个长方体分成两部分 各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是 是几棱柱 并用符号表示 如果不是 说明理由 提示 根据后面将要学习的线面平行的性质定理 可以证明 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 分析 根据棱柱的定义 结构特征及性质进行判断 解 1 长方体abcd a1b1c1d1是棱柱 且是四棱柱 因为平面abcd与平面a1b1c1d1平行 且其余各面都是四边形 且aa1 bb1 cc1 dd1互相平行 2 用平面bcnm把这个长方体分成两部分 其中一部分有两个平行的平面bb1m与平面cc1n 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 符合棱柱的定义 所以是三棱柱 可用符号表示为三棱柱bb1m cc1n 另一部分有两个平行的平面abma1与平面dcnd1 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 符合棱柱的定义 所以是四棱柱 可用符号表示为四棱柱abma1 dcnd1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练2下列关于棱柱的性质 正确的是 a 只有两个面相互平行b 所有棱都相等c 所有面都是四边形d 各侧面都是平行四边形解析 棱柱的两个底面一定是平行的 但在棱柱中并不是只有两个面相互平行 故a错 棱柱所有的侧棱长都相等 但它们不一定等于底面多边形的边长 故b错 棱柱的侧面都是四边形 但底面可以不是四边形 故c错 棱柱的所有侧面都是平行四边形 故d正确 选d 答案 d 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究三棱锥 棱台的结构特征 例3 判断下列说法是否正确 1 棱锥的侧面不可能是正三角形 2 三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点 任何一个面都可作为棱锥的底面 3 棱锥被一个平面所截 一定得到一个棱锥和一个棱台 4 棱台的所有侧棱延长后可以不交于同一点 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解 1 错误 棱锥的侧面一定是三角形 可以是等腰三角形 也可以是正三角形 例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形 2 正确 在三棱锥中 共有4个面 每一个面均可作为底面 每一个顶点均可作为棱锥的顶点 3 错误 只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时 才能截得一个棱锥和一个棱台 4 错误 任何一个棱台 将其所有侧棱延长后一定相交于同一点 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练3下列三种叙述 其中正确的个数为 用一个平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分是棱台 两个底面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体是棱台 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 中的平面不一定平行于底面 故 错误 可用反例去检验 如图所示 故 错误 答案 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练4在正三棱锥v abc中 若其底面边长为8 侧棱长为 则它的高等于 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练如图所示 已知正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2cm 高为5cm 则一质点自点a出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为cm 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 根据题意 利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱 然后将其展成如图所示的实线部分 则所求最短路线的长为 13 cm 故填13 答案 13 123456 1 下列几何体中 侧棱一定相等的是 a 棱锥b 棱柱c 棱台d 圆柱答案 b 123456 2 下列图形中 棱锥是 答案 c 123456 3 下面描述中 是棱柱的结构特征的有 填序号 有一对面互相平行 侧面都是四边形 每相邻两个侧面的公共边都互相平行 所有侧棱都交于一点 解析 由棱柱的定义知 是它的结构特征 不是棱柱的结构特征 因为棱柱的侧棱均平行 答案 123456 4 下列命题中正确的是 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 底面是正多边形 并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 解析 不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心 不能保证底面为正多边形 只