2018版高中数学第三章直线与方程3.33.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学案新人教A版.docx

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离目标定位1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.若两直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20交于点P(x0，y0)，则方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0表示过点P的直线系，不包括直线l2.3.两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.4.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)当P1P2x轴(y1y2)时，|P1P2|x2x1|.(3)当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.()(2)两直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20相交的充要条件是A1B2A2B10.()(3)方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，表示经过直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的所有直线.()(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.()提示(3)无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.2.直线x1与直线y2的交点坐标是()A.(1，2) B.(2，1) C.(1，1) D.(2，2)答案A3.已知M(2，1)，N(1，5)，则|MN|等于()A.5 B.C. D.4解析|MN|5.答案A4.已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是_.解析l1与l2相交则有：，a2.答案a2类型一两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程.解法一由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2，2).直线过坐标原点，其斜率k1.故直线方程为yx，即xy0.法二l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0，0)代入上式，得1，直线l的方程为5x5y0，即xy0.规律方法(1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2xy20上.否则，会出现的取值不确定的情形.(2)过直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系有两种：1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0可表示过l1、l2交点的所有直线；A1xB1yC1(A2xB2yC2)0不能表示直线l2.【训练1】 求经过直线l1：x3y30，l2：xy10的交点且平行于直线2xy30的直线方程.解法一由得直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2xy30的直线方程为2xyC0，把(0，1)代入所求的直线方程，得C1，故所求的直线方程为2xy10.法二设过直线l1、l2交点的直线方程为x3y3(xy1)0(R)，即(1)x(3)y30，由题意可知，2，解得，所以所求直线方程为xy0，即2xy10.类型二两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知ABC三顶点坐标A(3，1)、B(3，3)、C(1，7)，试判断ABC的形状.思路探究探究点一如何判断三角形的形状？提示判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二从哪几个方面分析三角形的形状？提示在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理.解法一|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形.法二kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|.ABC是等腰直角三角形.规律方法1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|10，得10，解得：x11或x5.所以点P的坐标为(5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(ab，c)，因为|AB|2a2，|CD|2a2，|AD|2b2c2，|BC|2b2c2，|AC|2(ab)2c2，|BD|2(ba)2c2.所以|AB|2|CD|2|AD|2|BC|22(a2b2c2)，|AC|2|BD|22(a2b2c2).所以|AB|2|CD|2|AD|2|BC|2|AC|2|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】 已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c).|AC|，|BD|.故|AC|BD|.课堂小结1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A.(4，1) B.(1，4)C. D.解析由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.答案C2.经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是()A.2xy80 B.2xy80C.2xy80 D.2xy80解析首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得方程y62(x1)，即2xy80.答案A3.已知点A(2，1)，B(a，3)，且|AB|5，则a的值为_.解析由题意得5，解得a1或a5.答案1或54.求经过两条直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线l的方程.解由方程组解得所求直线l和直线3xy10平行，直线l的斜率k3，根据点斜式可得y3，即所求直线方程为15x5y160.基 础 过 关1.已知A(1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为()A. B. C.3 D.2解析由两点间的距离公式，得|AC|4，|CB|2，故2.答案D2.两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值为()A.24 B.6 C.6 D.24解析在2x3yk0中，令x0得y，将代入xky120，解得k6.答案C3.以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析|AB|，|AC|，|BC|3，三角形为等腰三角形.故选B.答案B4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_.解析设A(x，0)，B(0，y)，AB中点P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4，0)，B(0，2)，|AB|2.答案25.若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则k的取值范围是_.解析由得由于交点在第一象限，故x0，y0，解得k.答案6.在直线l：3xy10上求一点P，使点P到两点A(1，1)，B(2，0)的距离相等.解法一设P点坐标为(x，y)，由P在l上和点P到A，B的距离相等建立方程组解得所以P点坐标为(0，1).法二设P(x，y)，两点A(1，1)、B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为xy10.又3xy10，解由组成的方程组得所以所求的点为P(0，1).7.求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明法一对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3).将点(2，3)代入直线方程，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).法二将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).能 力 提 升8.已知直线mx4y20与2x5yn0互为垂直，垂足为(1，p)，则mnp为()A.24 B.20 C.0 D.4解析由垂直性质可得2m200，m10.由垂足可得得mnp20.答案B9.两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为()A. B. C. D.解析直线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|.答案C10.过点P(3，0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是_.解析法一显然直线l的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解得xA和xB，P(3，0)是线段AB的中点，xAxB6，即6，解得k8.故直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.法二设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，P(3，0)是线段AB的中点，l2上的点B的坐标为(6x1，y1)，解得点A的坐标为，由两点式可得l的方程为8xy240.答案8xy24011.已知直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，直线l2的斜率为3且过点C(4，2).(1)求l1，l2的交点D的坐标；(2)已知点M(2，2)，N，若直线l3过点D且与线段MN相交，求直线l3的斜率k的取值范围.解(1)直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，直线l1的方程为，即yx3.直线l2的斜率为3且过点C(4，2)，直线l2的方程为y23(x4)，即y3x14.联立解得即l1，l2的交点D的坐标为.(2)由题设知kMD.kND3.因为过点D的直线与线段MN相交，故直线l3的斜率k的取值范围为：3，).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，