广东省汕头市金山中学高一数学上学期12月月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知sin0，tan0，则化简的结果为（）acosbcosccosd以上都不对2若，且x2，则x等于（）abcd3设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）a与b+与3c2与3+6d2+3与24如图，已知，用，表示，则=（）abcd5若向量、满足：|=1，（+），（2+），则|=（）a2bc1d6已知abc满足，则abc是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形7函数f（x）=cos（x+）（xr，0）的最小正周期为，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（x+）的图象（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度8函数f（x）=sin（x+）（xr，0，|）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）a2，b2，c4，d4，9函数f（x）=在（0，+）内（）a没有零点b有且仅有一个零点c有且仅有两个零点d有无穷多个零点10给出下列命题：函数y=cos（）是奇函数；若，是第一象限角且，则tantan；x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称其中正确命题的序号为（）abcd11设是o是abc内一点，且，则aoc的面积与boc的面积之比值是（）abc2d312如图，菱形abcd的边长为2，bad=60，m为dc的中点，若n为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）a3bc6d9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为14函数f（x）=（）|cosx|在，上的单调减区间为15已知四边形abcd是矩形，ab=2，ad=3，e是线段bc上的动点，f是cd的中点若aef为钝角，则线段be长度的取值范围是16定义平面向量的一种运算：=|sin，则下列命题：=；（）=（）；（+）=（）+（）；若=（x1，y1），=（x2，y2），则=|x1y2x2y1|其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知，与的夹角为60（1）求与的夹角的余弦值；（2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由18已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中a0，0，0的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为m（，2）（1）求函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）当x时，求f（x）的值域19已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元，据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润（1）万元：当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9万元，为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？20已知a、b、c是直线l上的不同的三点，o是直线外一点，设（1）证明：a、b、c三点共线的条件是+=1（2）若成立记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意x，不等式|alnx|lnf（x）3x0恒成立，求实数a的取值范围21已知定义在r上的奇函数（1）求a、b的值；（2）若不等式对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数g（x）是定义在r上的周期为2的奇函数，且当x（1，1）时，g（x）=f（x）x，求方程g（x）=0的所有解2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知sin0，tan0，则化简的结果为（）acosbcosccosd以上都不对【考点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题【分析】利用题设条件可推断出为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案【解答】解：sin0，tan0为第三象限角=|cos|=cos故选b【点评】本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题考查了基础知识的灵活运用2若，且x2，则x等于（）abcd【考点】诱导公式的作用 【专题】计算题【分析】利用诱导公式化简三角函数式，通过角的范围求出三角函数对应的角的值【解答】解：，故选b【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，已知三角函数值求角，送分题目3设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）a与b+与3c2与3+6d2+3与2【考点】平面向量的基本定理及其意义 【专题】平面向量及应用【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底【解答】解：、是平面内所有向量的一组基底，与，不共线，可以作为基底，+与3，不共线，可以作为基底，2与3+6共线，不可以作为基底，2+3与2，不共线，可以作为基底，故选：c【点评】本题考查向量是否共线，共线向量的基本定理的应用，基本知识的考查4如图，已知，用，表示，则=（）abcd【考点】向量在几何中的应用；向量的加法及其几何意义 【专题】计算题【分析】题中由，由向量的减法法则：代入上式计算可以得出结果【解答】解：如图，且即：，所以故选b【点评】本题为向量的加，减运算的简单应用，结合图形容易得出答案5若向量、满足：|=1，（+），（2+），则|=（）a2bc1d【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）=0，（2+）=0，由此求得|【解答】解：由题意可得，（+）=+=1+=0，=1；（2+）=2+=2+=0，b2=2，则|=，故选：b【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题6已知abc满足，则abc是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+，得=0结合向量数量积的运算性质，可得 cacb，得abc是直角三角形【解答】解：abc中，=（）+=+即=+，得=0即cacb，可得abc是直角三角形故选：c【点评】本题给出三角形abc中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题7函数f（x）=cos（x+）（xr，0）的最小正周期为，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（x+）的图象（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】先由周期求得，再利用诱导公式、函数y=acos（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由于函数f（x）=cos（x+）（xr，0）的最小正周期为=，=2，f（x）=cos（2x+），故g（x）=sin（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）=cos（2x）把函数g（x）=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=f（x）的图象，故选：c【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，诱导公式、余弦函数的周期性，属于基础题8函数f（x）=sin（x+）（xr，0，|）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）a2，b2，c4，d4，【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的图象可得，代入周期公式求得的值，再由五点作图的第二点列式求得的值【解答】解：由图知，t=，即=，解得：=2由五点作图的第二点可知，2+=，即=，满足|，的值分别是2，故选：a【点评】本题考查由y=asin（x+）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解的值，是基础题9函数f（x）=在（0，+）内（）a没有零点b有且仅有一个零点c有且仅有两个零点d有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作函数y=与y=cosx的图象，从而利用数形结合的思想判断【解答】解：作函数y=与y=cosx的图象如下，函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点，函数f（x）=在（0，+）内有且仅有一个零点，故选b【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用10给出下列命题：函数y=cos（）是奇函数；若，是第一象限角且，则tantan；x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称其中正确命题的序号为（）abcd【考点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题；函数思想；三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】利用诱导公式变形，结合函数的奇偶性判断；举例说明错误；分别求解当x=、的函数值判断【解答】解：函数y=cos（）=sin，是奇函数，故命题正确；若，是第一象限角且，则tantan，错误，如=60，=390，tan，tan；当x=时，函数y=sin（2+）=1，故命题正确；当x=时，函数y=sin（2+）=1，命题函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称错误正确的命题是故选：a【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是基础题11设是o是abc内一点，且，则aoc的面积与boc的面积之比值是（）abc2d3【考点】向量在几何中的应用 【专题】综合题；平面向量及应用【分析】延长ob至b，使ob=2ob；延长oc至c，使oc=3oc，可得o是abc的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论【解答】解：延长ob至b，使ob=2ob；延长oc至c，使oc=3oc，则o是abc的重心saoc=sboc，saoc=saoc，sboc=sboc，saoc：sboc=2：1，故选c【点评】本题主要考查三角形面积的计算，考查向量的加法法则，体现了向量在解决有关平面图形问题题中的优越性12如图，菱形abcd的边长为2，bad=60，m为dc的中点，若n为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）a3bc6d9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用 【专题】平面向量及应用【分析】先以点a位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可【解答】解：以点a位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形abcd的边长为2，a=60，m为dc的中点，故点a（0，0），则b（2，0），c（3，），d（1，），m（2，）设n（x，y），n为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形abcd及其内部区域因为 =（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点c（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选d【点评】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为2【考点】扇形面积公式 【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由题意列方程组可解半径r和弧长l，代入=计算可得【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得lr=4，2r+l=8，解得l=4，r=2，扇形的圆心角=2故答案为：2【点评】本题考查扇形的面积公式和弧长公式，属基础题14函数f（x）=（）|cosx|在，上的单调减区间为，0，【考点】复合三角函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】分解函数：令t=|cosx|，y=（）t，由y=（）t在r上单调递减，故只要考查函数t=|cosx|的单调递增区间，然后由复合函数的单调性可求f（x）=（）|cosx|在，上的单调递减区间【解答】解：令t=|cosx|，y=（）t，由于y=（）t在r上单调递减，函数t=|cosx|在k，k+（kz）上单调递减，在k，k上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f（x）=（）|cosx|的单调减区间为k，k（kz），故函数f（x）=（）|cosx|在，上的单调减区间为，0与，故答案为：，0，【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是中档题15已知四边形abcd是矩形，ab=2，ad=3，e是线段bc上的动点，f是cd的中点若aef为钝角，则线段be长度的取值范围是（1，2）【考点】余弦定理 【专题】计算题；解三角形【分析】以a为原点，ad、ab所在直线为x、y轴，建立直角坐标系以af为直径作圆，由圆的性质可得当点e位于圆内时，aef为钝角，因此求出圆的方程并算出圆与直线y=2的交点（1，2）和（2，2），得到当e的横坐标m（1，2）内时点e位于圆内，利用两点的距离公式即可算出线段be长度的取值范围【解答】解：以a为原点，ad、ab所在直线为x、y轴，建立直角坐标系矩形abcd中，ab=2且ad=3，f是cd的中点f（3，1），设e（m，2）以af为直径作圆，由圆的性质可得当点e位于圆内时，aef为钝角，圆心为（，），半径r=圆的方程为（x）2+（y）2=令y=2，可得x=1或2，即直线y=2与圆的交点为（1，2）和（2，2）因此，当e的横坐标m（1，2）内时，点e位于圆内时，aef为钝角此时1be2，即be（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题给出矩形满足的条件，求动点e满足aef为钝角时be长度范围着重考查了解三角形、圆的方程和圆的几何性质等知识，属于中档题16定义平面向量的一种运算：=|sin，则下列命题：=；（）=（）；（+）=（）+（）；若=（x1，y1），=（x2，y2），则=|x1y2x2y1|其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用 【专题】新定义【分析】根据定义不难得出=是正确的；需对参数进行分类讨论，再依据定义即可判断其正确性；直接代入定义即可验证；根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可【解答】解：由于=|sin，则=|sin，=|sin，=，故正确；由于=|sin，当0时，（）=|sin，（）=|sin，=|sin，=|sin，故（）=（）当=0时，（）=0=（），故（）=（）当0时，（）=|sin，（）=|sin，=|sin，=|sin（，）=|sin，故（）（）故不正确；显然（+）=（）+（）不正确；令=（x1，y1），=（x2，y2），则，则=，即有=|x1y2x2y1|，故正确故答案为：【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需根据新定义对四个结论逐一进行判断，即可得到正确的结论三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知，与的夹角为60（1）求与的夹角的余弦值；（2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由【考点】平面向量的综合题 【专题】计算题【分析】（1）先设与的夹角为，根据向量的数量积的定义先求，根据向量的数量积的性质求，代入向量的夹角公式可求cos（2）令根据向量的数量积的性质可得，整理可得关于t的二次函数，根据二次函数的性质可求【解答】解：（1）设与的夹角为，于是，于是（2）令，当且仅当时，取得最小值，此时，所以【点评】本题主要考查了屏幕向量的基本运算，解决问题的关键是熟练运用向量数量积的性质：|=，还有主要二次函数的性质在求解最值中的应用18已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中a0，0，0的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为m（，2）（1）求函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）当x时，求f（x）的值域【考点】正弦函数的图象 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由条件利用正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性，求得函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域【解答】解（1）由最低点为m（，2），可得a=2由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，可得=，即t=，=2由点m（，2）在图象上，可得2sin（2+）=2，即sin（+）=1，故 +=2k，kz，结合0，可得=，函数f（x）=2sin（2x+）令2k+2x+2k+，得 k+xk+，故函数的单调递减区间为k+，k+，kz（2）x，2x+，故当 2x+=时，f（x）取得最大值为2；故当 2x+=时，f（x）取得最小值为1故f（x）的值域为1，2【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题19已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元，据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润（1）万元：当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9万元，为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】利用在岗员工人数乘以留岗员工每人每年可为企业多创利；分两段求出企业年利润，得到的是分段函数；利用基本不等式求出第一段函数的最大值；再利用一次函数的单调性求出第二段函数的最大值，从两个最大值中比较出最大值【解答】解：设重组后，该企业年利润为y万元当待岗人员不超过1%时，由10，x20001%=20，得0x20（xn），则y=（3.5+1）0.5x=5（x+）+9000.36，当待岗人员超过1%且不超过5%时，由20x20005%，得20x100（xn），则y=（3.5+0.9）0.5x=4.9x+8800y=，当0x20且xn时，有y=5（x+）+9000.3652+9000.36=8880.36，当且仅当x=，即x=12时取等号，此时y取得最大值，最大值是8880.36；当20x100且xn时，函数y=4.9x+8800为减函数所以y4.920+8800=8702综上所述，当x=12时，y有最大值8880.36万元即要使企业年利润最大，应安排12名员工待岗【点评】本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查求分段函数的最值时分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函数的最值注意满足的条件：一正、二定、三相等20已知a、b、c是直线l上的不同的三点，o是直线外一点，设（1）证明：a、b、c三点共线的条件是+=1（2）若成立记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意x，不等式|alnx|lnf（x）3x0恒成立，求实数a的取值范围【考点】平面向量的综合题 【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；平面向量及应用【分析】（1）a，b，c三点共线时便有，从而可以得到，这样即可得出+=1；（2）根据（1）便有，从而可以解出y，这样即可得出y=f（x）的解析式为f（x）=；（3）根据条件可以得到或在x上恒成立，可设g（x）=，可以判断g（x），h（x）在上都是增函数，从而得出，这样便可得出实数a的取值范围【解答】解：（1）证明：若a，b，c三点共线，则：；又；+=1k+k=1；即+=1；（2）a，b，c三点共线；由（1）知，若，则+=1；由得：；即；（3）原不等式为；，或；设，；依题意知ag（x）或ah（x）在上恒成立；g（x）与h（x）在上都是增函数；为g（x）在上的最小值，为h（x）的最大值；，或；实数a的取值范围为（）（，+）【点评】考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，绝对值不等式的解法，以及对数的运算，复合函数单调性的判断，根据单调性