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文档简介

利用换元法解一元高次方程 在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法，所谓换元法，是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下 一、直接换元 例1 解方程： (x1)(x2)(x3)(x4)24 分析与解 （x1）（x4)x25x4， （x2）(x3)x25x6， 设tx25x4， 则可将原方程转化为关于t的一元二次方程 t(t2)24 即t22t240，（t4)(t6)0， t4t6 当t4时，x25x0， x0，或x5； 当t6时，x25x100，此方程无解 故原方程的解为x0，或x5 二、均值换元 即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换 例2 解方程： (4x1)(3x1)(2x1)（x1)3x4 分析与解 根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开 (4x1)(x1)4x25x1， (3x1)(2x1)6x25x1， 两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t5x25x1，则原方程可化为 （tx2）（tx2） 3x4 t24x4，t2x2或t2x2， 代回即可求得原方程的根为：x 注 当然本题也可以直接设t4x25x1或者t6x25x1 例3 解方程：(x2)4(x4)4272 分析与解 若将方程左边展开，将得到难解的高次方程 注意到(x2)(x4)x1，故可设yx1，则原方程可化为(y3)4(y3)4272，即y454y255(y21)(y255)0，y1x11，x0或2三、双变量换元例4 解方程：(4x29)2(4x29)(9x24)(9x24)2(13x213)2 分析与解 注意到 (4x29)(9x24)13x213， 设m4x29，n9x24 则原方程可化为 m2mnn2(mn)2， 即mn0， 则有（4x29）（9x24）0， 解得x， 注 用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m，n 在例1中，如果注意到 (x1)(x4)（x2）（x3)2， 还可以设m（x1）（x4）， n(x2)（x3），则有 由韦达定理可知m，n是方程z22z240的根，求解这个方程即可以得到原方程的根（过程略） 四、倒数换元 形如ax4bx3cx2bxa0（a0）的倒数方程可以两边同除以x2，降次换元 例5 解方程： 12x456x389x256x120 分析与解 直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等）又因为x0不是方程的根，所以两边同时除以x2，得五、常值换元 将某一常值看作未知数，原来的未知数当成常数，则可以把高次方程转化为低次方程 例6 解方程： 分析与解 这是关于x的三次方程，直接解这个方程有一定困难，如果把
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