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定积分应用 习题课资料1. 求由曲线和直线在内所围平面图形的面积。2. 求心形线所围图形与圆盘的公共部分的面积。3. 设为曲线上的一点，此曲线与直线及轴所围图形的面积为，求取得最大值时，点的坐标。4. 求由曲线及所围图形的面积、周长、绕轴旋转所得旋转体的体积。5. 设曲线围成平面图形记为，求绕直线旋转而成的旋转体的体积。6. 设抛物线过原点，当时，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为，试确定使此图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小。7. 试证明曲线的弧长等于椭圆的周长。8. 设椭圆的周长记为，证明：9. 一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧段和直线段绕轴旋转而成，坐标轴长度单位为，现以的速度向容器内注水，试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度。10. 半径为的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部抽空所作的功的一半时，水面下降的深度为多少？习题解答1 解：解联立方程组 得交点.所求面积为2 解：解联立方程组得,于是所求面积为 3.解:设点的坐标为,此曲线与直线及轴所围图形的面积为 令得在内的驻点,又为的极大值点,故时取得最大值,此时的坐标为4.解: 解联立方程组得交点,又由图形关于轴对称,故所求面积为平面图形的周长为旋转体的体积为5.解:方法一(切片法) 取为积分变量,积分区间为,对应于任一小区间,平面区域上有宽度为的窄条,此窄条绕直线旋转得到厚度为的圆环,其体积为所求旋转体的体积为方法二(剥壳法) 取为积分量,区间为,对应于任一小区间,平面区域上有宽为、高为的窄条,此窄条绕直线旋转得到高为、厚、半径为的圆筒薄壳,其体积为 所求旋转体的体积为6.解:因抛物线过原点,故 由题设有,即得 而 得,代入的表达式得此时有 当时，,且,因此7.证明:曲线的弧长为 椭圆的参数方程为从而的周长为 对上面积分作换元,得8.证明: 椭圆的参数方程为椭圆的周长为由柯西不等式知 从而有另一方面,由柯西不等式有 于是.9.解:当水深为时,水的体积为当且时,.11. 以球心坐标原点,以过且垂直水平面的直线为轴,正方向向下, 以过且平行水平面的直线为轴, 正方向向右.取为积分变量,对应的一薄层水,其体积近似
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