圆总复习第一单元 圆的认识与性质.doc

第一单元 圆的认识与性质一、 知识梳理1、 圆的定义（两种） (1) (2) 2、有关概念弦： 直径： 弧： 优弧： 劣弧 等弧： 3、 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点A、B、C确定一个圆，圆心在 过A、B两点可做 个圆，圆心在 。三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，圆心叫 。4、 圆的对称性（1）圆是轴对称图形，对称轴是 的直线。（2）圆是中心对称图形，对称中心是 。（3）圆具有旋转不变性，即 。5、垂径定理及推论（1）垂径定理： 。（2）推论： 。6、圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理： 。（2）推论：在同圆或等园中，如果两个 、两条 、两条 中有一组量相等，那么他们所对应的 。8、圆心角与圆周角：（1）定义：圆心角： 。 圆周角： 。（2）圆周角定理： 。（3）推论：（1） 。 （2） 。二、中考指向圆在近年的考试中有所弱化，而本单元内容中垂径定理，圆周角等考查频率较高。各地中考题中对本单元考查内容多以基础知识为主，形式以填空、选择为主，解答题在部分省市中考题中也有出现，但难度不大。题型以计算、作图为主，并有向开放、探索应用方向发展的趋势，而对论证推理的要求有所降低。三、 方法指导1、 垂径定理的拓展及应用：（1） 拓展：如下图所示，直线CD满足条件：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。其中任意两个成立，其余三条也成立，特别具备时，需强调被平分的弦不能是直径。（2） 应用：如下图所示，设AB=a，OM=d，CM=h，OA=r，则在RtAOM中有，且h+d=r。所以，a,d,h,r中知道任意两个可求其余两个。在应用垂径定理时应抓住RtAOM，用好勾股定理和方程。2、 圆周角定理：（1） 注意如下图所示C点的三种不同位置：图1、图2中,而图3中(2)同一条弧所对的圆周角大于其所对的圆外角而小于其所对的圆内角。如图所示，即3、 几种常见的辅助线：（1） 利用直径构造直角三角形（2） 作弦心距构造直角三角形（3） 作弦构造同弦所对的圆周角（4） 作辅助圆四、 例题指导例1、如图，点C在O上，将圆心角AOB绕点O按逆时针方向旋转到，旋转角为。若AOB=30，BCA=40,则= 。分析：由题意知，所以=300+800=1100答案：1100例2、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（ ）A的长B的长C的长 D的长解析： 题目告诉半径长度又没画出半径（直径），当然应该选择画出恰当的半径（直径），利用直径构造直角：连接BO并延长交O于E，连接AE,答案：A例3、如图，O的半径为1，AB是O 的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（A）30 （B）60（C）30或150 （D）60或120分析：圆中一条弦（非直径）所对的圆周角有锐角和钝角两种情况。答案:D例4、已知：如图2，O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为求O1的半径分析：遇到与弦有关的问题，要注意到弦心距是一条非常重要的辅助线。此题过点O1作x轴的垂线是本题的突破口，有了它即可充分用好垂径定理和勾股定理，游客用好坐标的几何意义。答案：过点O1作O1CAB，垂足为C，则有ACBC由A（1，0）、B（5，0），得AB4，AC2在中，O1的纵坐标为，O1CO1的半径O1A3例5、如图，半径为2的O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点(1)求证：PAPB=PCPD；(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EFAD：(3)若AB=8，CD=6，求OP的长分析：（1）要证PAPB=PCPD；证APDCPB即可（2） 在DEP中要证EFAD，只要证明DPED90即可，注意用好等角转换。（3） 过O作OMAB于M，ONCD于N， 构造勾股定理和垂径定理所需要的条件是本问题的突破口，体现了勾股定理和垂径定理的完美结合。答案：(1)A、C所对的圆弧相同，ACRtAPDRtCPB，PAPBPCPD； (2)F为BC的中点，BPC为Rt，FPFC，CCPF又CA，DPECPF，ADPEAD90，DPED90EFAD (3)作OMAB于M，ONCD于N，同垂径定理：OM2(2)2424，ON2(2)23211又易证四边形MONP是矩形，OP例6、我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆AABBCC（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；GHEF（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由分析：本题是一道探究性作图题，综合考查了已知三点作圆、圆周角、圆外角、圆内角之间的关系，三问：一问在了解什么是最小覆盖圆的基础上，作出两种三角形（锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆；二问在一问的基础上归纳规律；三问在规律的基础上解决问题，环环相扣。答案解：（1）如图所示：AABBCC（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆GHEFM（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）理由如下：由，故是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为的外接圆，设此外接圆为，直线与交于点，则故点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求五、 精题训练（一） 选择题1、（2009.四川南充中考）如图，AB是的直径，点C、D在上，则（ ）A70B60C50D402、（2010.天津中考）如图，O中，弦、相交于点， 若，则等于（ ）第2题图BCADPO1题图）OBDAC（A） （B） （C） （D）3、如图，O过点B 、C。圆心O在等腰直角ABC的内部，BAC900，OA1，BC6，则O的半径为（ ）A）B）C）D）4、（2010.潍坊中考）如图，是的弦，半径于点且则的长为（）.A B. . . 5、（2008.甘肃白银）高速公路的隧道和桥梁最多图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C D第5题图ODABC（二）、填空题1、（2010.成都中考）如图，在中，为的直径，则的度数是_度2、如图，AB为圆O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE= 。OABCDE（三） 解答题1、（2009河北中考）AOBECD如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD = 24 m，OECD于点E已测得sinDOE =（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 2、（2010潍坊中考）如图，是的直径，是上的两点，且（1）求证：（2）若将四边形分成面积相等的两个三角形，试确定四边形的形状.3、（20