材料力学 02.03弯曲内力.pdf

2 1 内力内力 弯曲的内力 应力及其变形弯曲的内力 应力及其变形弯曲的内力 应力及其变形弯曲的内力 应力及其变形 3 变形和刚度变形和刚度 2 应力和强度应力和强度 EI d d d d 2 2 xM xx w 剪力剪力Fs 图 图 弯矩弯矩M 图 图 z zS bI SF max y I M z max max max l w l w 4 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 2 3 弯曲内力弯曲内力2 3 弯曲内力弯曲内力 5 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 一 弯曲的概念一 弯曲的概念 1 弯曲弯曲 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 轴轴 线变成了曲线 这种变形称为弯曲 线变成了曲线 这种变形称为弯曲 2 梁 以弯曲变形为主的梁 以弯曲变形为主的 杆件通常称为梁 杆件通常称为梁 6 3 工程中常见的弯曲构件工程中常见的弯曲构件 7 8 9 4 平面弯曲平面弯曲 杆发生弯曲变形后 轴线仍然和外力在同一 杆发生弯曲变形后 轴线仍然和外力在同一 平面内 平面内 对称弯曲对称弯曲 如下图 如下图 最基本的平面弯曲 最基本的平面弯曲 10 非对称弯曲非对称弯曲 若梁不具若梁不具有纵向有纵向对称面 或对称面 或者者梁梁虽虽具具有纵向有纵向 对称面对称面但但外力外力并并不作用在对称面内 这种不作用在对称面内 这种 弯曲弯曲则统则统称为非对称弯曲 称为非对称弯曲 下面内下面内容容 将将以对称弯曲为主以对称弯曲为主 讨论讨论梁的应力和变形计算 梁的应力和变形计算 11 二二 梁的计算简图 梁的计算简图 梁的梁的支承条支承条件与载荷件与载荷情况情况一一般都比较复杂般都比较复杂 梁的外形 梁的外形 和和横截横截面形面形状多状多种种多样多样 为了 为了便便于分于分析析计算 应计算 应进行必要进行必要 的简的简化化 抽象出抽象出计算简图 计算简图 1 构件的简构件的简化化 通常通常取取梁的轴线梁的轴线来表示来表示梁 梁 2 载荷的简载荷的简化化 作用于梁作用于梁上上的载荷 的载荷 包括支座反包括支座反力 力 可可简简化化为为三三种种类型类型 集集中力 中力 集集中力偶和分布载荷 中力偶和分布载荷 3 支座支座的简的简化化 固定铰支座固定铰支座 滚滚轴轴铰支座铰支座 固定端支座固定端支座 12 梁的梁的三三种基本形种基本形式式 简简支支梁梁 外外伸伸梁梁 悬臂悬臂梁梁 13 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 2 3 弯曲内力弯曲内力2 3 弯曲内力弯曲内力 14 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 一 弯曲内力 一 弯曲内力 例例1 已知已知 如图 如图 P a l 求求 距距A端端x处截处截面面上上内力 内力 P FAy FAx FB AB a P l AB 解解 求支座约束 求支座约束力力 l alP FF l Pa FM FF Ayy BA Axx 0 0 0 0 15 AB P FAy FAx FB m m x 求 求内力内力 截截面法面法 xFMM l alP FFF AyC AxSx 0 0 弯曲构件内力弯曲构件内力 剪力剪力 弯矩弯矩 1 弯矩 弯矩 M 构件受弯时 构件受弯时 横截横截面面上上作用作用 的垂直于的垂直于截截面的内力偶矩 面的内力偶矩 A FAy Fs M FB P M Fs C C 16 2 剪力 剪力 Fs 构件受弯时 构件受弯时 横截横截面面上上其作用线平其作用线平行行于于截截面的内力 面的内力 3 内力的内力的正负规定正负规定 剪力剪力Fs 绕研究绕研究对对象象顺顺时时针转针转为为正正剪力剪力 反之 反之为为负负 弯矩弯矩M 使使梁变成下梁变成下凸凸形的为形的为正正弯矩弯矩 使 使梁变成梁变成上凸上凸形的为形的为负负 弯矩 弯矩 下下拉上压拉上压 Fs Fs Fs Fs M M M M 17 例例2 求求图 图 a 所示所示梁梁1 1 2 2截截面面处处的内力 的内力 qLF FqLF S sy 1 1 0 解解 截截面法面法求求内力 内力 1 1 1 1截截面面处截取处截取的分的分离体离体 如图 如图 b b 示示 图 图 a 二二 例题例题 q qL ab 1 1 2 2 x y qL FS1 A M1 图 图 b x1 11 11 0 qLxM MqLxFm iA ax 0 1 18 L axq FS 22 axqMqLx Fm iB 0 2 1 0 2 222 2 2截截面面处截取处截取的分的分离体离体如图 如图 c axqFqLF sy 0 22 x y 图 图 a q qL ab 1 1 2 2 qL FS2 B M2 x2 图 图 c 2 2 22 2 1 qLxaxqM baax 2 19 例例2 5 求求图图示示外外伸伸梁梁1 1 2 2截截面面处处的内力 的内力 解解 先求支座先求支座的的约束约束力 力 2 qa FC 2 5 qa FD 20 qaFFqaF ssy 11 0 用用截截面法面法求求内力 内力 取取1 1截截面的面的左侧左侧梁梁段段 列列平平衡衡方程 方程 2 0 2 2 11 2 qa MM qa M C 21 qaFqaFFF sDsy 2 3 0 22 取取2 2截截面的面的右侧右侧梁梁段段 列列平平衡衡方程 方程 2 2 2 2 2 0qaMaqaqaMM D 22 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 2 3 弯曲内力弯曲内力2 3 弯曲内力弯曲内力 23 1 内力方程内力方程 内力与 内力与截截面面位置坐标位置坐标 x 间的 间的函数函数关系关系式式 2 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 剪力图剪力图的图线的图线表示表示 弯矩图弯矩图的图线的图线表示表示 3 内力方程内力方程 内力图内力图 3 内力方程内力方程 内力图内力图 正正剪力剪力画画在轴线在轴线上上方 方 正正弯矩弯矩画画在轴线下方在轴线下方 弯矩弯矩画画在轴线受在轴线受拉拉侧侧 xFF ss xMM xFF ss xMM 24 例例2 6 试试作图作图示示简简支支梁的剪力图和弯矩图 梁的剪力图和弯矩图 解解 先求支座 先求支座的的约束约束力 力 PRA F l b F PRB F l a F 25 列列剪力方程 弯矩方程 剪力方程 弯矩方程 AC段段 取取左段左段为为研究研究对对象象 0 11 axF l b FxF PRAS 0 1111 axxF l b xFxM PRA S F M 26 CB段段 取取右段右段为为研究研究对对象象 22 lxaF l a FxF PRBS 2222 lxaxlF l a xlFxM PRB S F M 2 xl 27 作弯矩图 剪力图作弯矩图 剪力图 PS F l b xF 1 11 xF l b xM P 22 xlF l a xM P PS F l a xF 2 28 例例2 7 试试作图作图示示简简支支梁的剪力图和弯矩图 梁的剪力图和弯矩图 解解 先求支座 先求支座的的约束约束力 力 2 1 qlFRA 2 1 qlFRB 29 列列剪力方程 弯矩方程剪力方程 弯矩方程 坐标坐标原原点选点选在在左左支座支座 qxqlqxFxF RAS 2 1 2 2 1 2 1 2 qxqlx x qxxFxM RA S F M RA F 30 作弯矩图 剪力图作弯矩图 剪力图 qxqlxFS 2 1 2 2 1 2 1 qxqlxxM 31 例例2 8 试试作图作图示示简简支支梁的剪力图和弯矩图 梁的剪力图和弯矩图 解解 先求支座 先求支座的的约束约束力 力 l M F e RA l M F e RB 32 列列剪力方程 弯矩方程 剪力方程 弯矩方程 AC段段 0 11 ax l M FxF e RAS 0 1111 axx l M xFxM e RA 33 列列剪力方程 弯矩方程 剪力方程 弯矩方程 CB段段 22 lxa l M FxF e RBS 2222 lxaxl l M xlFxM e RB 34 作弯矩图 剪力图作弯矩图 剪力图 l M xF e S 1 11 x l M xM e l M xF e S 2 22 xl l M xM e 35 例例2 9 试试作图作图示悬臂示悬臂梁的剪力图和弯矩图 梁的剪力图和弯矩图 解解 先求支座先求支座的的约束约束力 力 qlFRA 2 1 2 qlM B qlFRA 2 2 1 qlM B 36 列列剪力方程 弯矩方程 剪力方程 弯矩方程 坐标坐标原原点选点选在在A点点 qxxFS 2 2 1 2 qx x qxxM qlFRA 2 2 1 qlM B 37 作弯矩图 剪力图作弯矩图 剪力图 qxxFS 2 2 1 qxxM 38 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 2 3 弯曲内力弯曲内力2 3 弯曲内力弯曲内力 39 一 剪力 弯矩与分布荷载间的关系一 剪力 弯矩与分布荷载间的关系 对对dx 段段进行进行平平衡衡分分析析 有有 0 d d 0 S xFxFxxqxF F SS x dd S xFxxq 4 剪力 弯矩与分布荷载剪力 弯矩与分布荷载集集度间的关系度间的关系 4 剪力 弯矩与分布荷载剪力 弯矩与分布荷载集集度间的关系度间的关系 dx x q x q x M x d M x Fs x dFs x Fs x M x dx A y xq x xF d d S 剪力图剪力图上上某点某点处处的的切切线线斜率等斜率等 于于该点该点处处荷载荷载集集度的度的大小大小 40 q x M x d M x Fs x dFs x Fs x M x dx A y 0 d d 2 1 d 0 2 S xMxMxMxxqxxF Fm iA d d S xF x xM 弯矩图弯矩图上上某点某点处处的的切切线线斜率等斜率等于于该点该点处处剪力的剪力的大小大小 d d 2 2 xq x xM 弯矩与荷载弯矩与荷载集集度的关系度的关系是是 41 二二 剪力 弯矩与外力间的关系 剪力 弯矩与外力间的关系 外外 力力 无无外力外力段段均均布载荷布载荷段段集集中力中力集集中力偶中力偶 q 0 q 0q0 Fs x Fs 0 x Fs x Fs C x Fs Fs1 Fs2 Fs1 Fs2 P x Fs C 42 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 6 3 弯曲内力弯曲内力6 3 弯曲内力弯曲内力 43 简易作图法简易作图法 利利用内力和外力的关系及用内力和外力的关系及特殊点特殊点的内力的内力值值来来作作 图的方法 图的方法 例例2 10 用简易作图法用简易作图法画画图图示示梁的内力图 梁的内力图 解解 利利用内力和外力的关系及用内力和外力的关系及 特殊点特殊点的内力的内力值值来来作图 作图 特殊点特殊点 端端点点 分 分区点区点 外力变 外力变 化化点点 和 和驻点等驻点等 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 44 约束约束力 力 分分区区点点B M 的的驻驻点点D 右右端端点点C kNFkNF RCRB 30 70 mkNMkNF Bs 20 20 mkNMF Ds 5 42 0 mkNMkNF Cs 20 30 45 例例5 用简易作图法用简易作图法画画下下列各列各图图示示梁的内力图 梁的内力图 解解 求支约求支约力力 2 2 qa F qa F DA 左左端端点点A 2 2 1 2 qaM qa s F B点左点左 2 2 1 2 qaM qa s F B点右点右 2 2 1 2 qaM qa s F C点左点左 M 的的驻点驻点 2 8 3 0qaM s F 2 2 1 2 qaM qa s F C点右点右 0 2 1 Mqa s F 右右端端点点D Fs x qa 2qa 2 qa 2 q qa2 qa FAFD AB CD qa2 2 x Mqa2 2 qa2 23qa2 8 0 2 M qa Fs 46 例例6 已知已知Fs图 图 求求外载及外载及M图 梁图 梁上上无无集集中力偶 中力偶 Fs kN x 1m1m2m 2 3 1 5kN1kN q 2kN m M kN m x 1 1 1 25 1 25m 47 例例7 改改内力图内力图之之错错 a2aa q qa2 A B Fs x x M qa 4qa 4 3qa 4 7qa 4 qa2 4 49qa2 32 3qa2 2 5qa2 4 4 7 4 qa F qa F BA 48 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 2 平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4 剪力 弯矩与分布荷载间的关系剪力 弯矩与分布荷载间的关系 5 简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 2 3 弯曲内力弯曲内力2 3 弯曲内力弯曲内力 49 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 一 叠加原理一 叠加原理 多多个个载荷同时作用于载荷同时作用于结结构构而引起而引起的内力的内力等等于于每个每个载荷载荷单单 独独作用于作用于结结构构而引起而引起的内力的的内力的代数代数和 和 S22S11S21Snnn PFPFPFPPPF 221121nnn PMPMPMPPPM 适适用用条条件 件 所求所求参数参数 内力 应力 内力 应力 位移位移 必必然与荷载然与荷载满满 足足线线性性关系 关系 即即在在弹性限弹性限度内度内满足胡克满足胡克定定律律 50 二二 材料材料力力学学构件构件小小变形 线变形 线性范围性范围内内必必遵守此遵守此原理原理 叠