高三数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

第3节函数的奇偶性与周期性 知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 函数图象分别关于坐标原点 y轴对称的函数一定是奇函数 偶函数吗 反之 成立吗 提示 一定是 反之 也成立 2 如果函数f x 是奇函数 那么是否一定有f 0 0 提示 只有在x 0处有定义的奇函数 才有f 0 0 3 周期函数y f x x r 的周期唯一吗 提示 不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nt f x 知识梳理 1 奇函数 偶函数的概念及图象特征 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 原点 任意 原点 y轴 f x t f x 存在一个最小 重要结论 1 奇偶性的五个重要结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 3 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型 即f x 0 x d 其中定义域d是关于原点对称的非空数集 4 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大 小 值 取最值时的自变量互为相反数 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 取最值时的自变量也互为相反数 2 周期性的三个常用结论若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 3 对称性的三个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 即f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 2 若对于r上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图象关于直线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 即f x b f x b 0 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 夯基自测 d b 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 因为f x 4 f x 所以f x 是以4为周期的周期函数 所以f 8 f 0 又函数f x 是定义在r上的奇函数 所以f 8 f 0 0 b 4 设函数f x 是定义在r上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析 画草图 由f x 为奇函数知f x 0的x的取值范围为 1 0 1 答案 1 0 1 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数奇偶性的判定 3 易知函数的定义域为 0 0 关于原点对称 当x0 故f x x2 x f x 当x 0时 x 0 故f x x2 x f x 故原函数是偶函数 反思归纳判断函数奇偶性的两个方法 1 定义法 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 2 图象法 提醒 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 3 f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 考点二 函数周期性的应用 答案 1 a 答案 2 2 5 反思归纳 1 判断函数周期性的两个方法 定义法 图象法 2 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 3 函数周期性的重要应用利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 进而求解 解析 2 因为f x 是最小正周期为2的周期函数 且0 x 2时 f x x3 x x x 1 x 1 所以当0 x 2时 f x 0有两个根 即x1 0 x2 1 由周期函数的性质知 当2 x 4时 f x 0有两个根 即x3 2 x4 3 当4 x 6时 f x 0有两个根 即x5 4 x6 5 x7 6也是f x 0的根 故函数f x 的图象在区间 0 6 上与x轴交点的个数为7 故选b 2 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 a 6 b 7 c 8 d 9 函数奇偶性的应用 考点三 例3 1 2014高考湖南卷 已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 1 用 x 代替 x 得f x g x x 3 x 2 1 化简得f x g x x3 x2 1 令x 1 得f 1 g 1 1 故选c 答案 1 c 3 由已知f x 在 0 上为增函数 且f a f a 所以f a f 2 f a f 2 所以 a 2 即a 2或a 2 答案 2 1 3 a a 2或a 2 反思归纳 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略 答案 1 a 函数性质的综合应用 考点四 考查角度1 函数的单调性与奇偶性相结合问题 高考扫描 2014高考新课标全国卷 2011高考全国卷 例4 已知定义在r上的奇函数满足f x x2 2x x 0 若f 3 a2 f 2a 则实数a的取值范围是 解析 当x 0时 f x x2 2x x 1 2 1 所以函数f x 在 0 上为增函数 又函数f x 是定义在r上的奇函数 所以函数f x 在r上是增函数 由f 3 a2 f 2a 得3 a2 2a 解得 3 a 1 答案 3 1 反思归纳 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 反思归纳 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 考查角度3 函数的奇偶性与对称性相结合问题 例6 2014高考新课标全国卷 偶函数y f x 的图象关于直线x 2对称 f 3 3 则f 1 解析 因为f x 的图象关于直线x 2对称 所以f 2 1 f 2 1 即f 1 f 3 3 又函数y f x 是偶函数 所以f 1 f 1 3 答案 3 反思归纳 1 若函数f x 的图象关于直线x a和直线x b a b 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 2 若函数f x 的图象关于点 a 0 和点 b 0 a b 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 考查角度4 函数的奇偶性 周期性 单调性相结合问题 例7 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 解析 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在r上的奇函数 且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在r上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增函数 所以f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 故选d 反思归纳 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化所求区间为自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 备选例题 答案 x x 2或0 x 2 解析 对于 f x 2 f x 1 f x f x 故2是函数f x 的一个周期 正确 对于 由于函数f x 是偶函数 且函数f x 是以2为周期的函数 则f 2 x f x 2 f x 即f 2 x f x 故函数f x 的图象关于直线x 1对称 故 正确 对于 由于函数f x 是偶函数且在 1 0 上是增函数 根据偶函数图象的性质可知 函数f x 在 0 1 上是减函数 故 错误 对于 由于函数f x 是以2为周期的函数且在 1 0 上为增函数 由周期函数的性质知 函数f x 在 1 2 上是增函数 故 错误 对于 由于函数f x 是以2为周期的函数 所以f 2 f 0 正确 综上所述 正确结论的序号是 例2 定义在r上的偶函数f x 满足f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 给出下列关于f x 的结论 f x 是周期函数 f x 的图象关于直线x 1对称 f x 在 0 1 上是增函数 f x 在 1 2 上是减函数 f 2 f 0 其中正确结论的序号是 答案 经典考题研析在经典中学习方法 函数图象的对称性 审题指导 典例 2015高考新课标全国卷 设函数y f x 的图象与y 2x a的图象关于直线y x对称 且f 2 f 4 1 则a等于 a 1 b 1 c 2 d 4 解析 设 x y