第6章 振动.ppt

第六章振动 振动的一般概念 机械振动 物体在一定位置附近所作的来回往复的运动称为机械振动 广义振动 任何一个物理量在某一定值附近往复变化都可以称为振动 人类生活在振动的世界里 简谐振动 最基本的振动 复杂的振动都可以看作是多个简谐振动合成的 6 1简谐振动的运动学描述 一 简谐振动的运动学表达式 质点的位移 以平衡位置为坐标原点 运动直线为x轴 简谐振动 物体离开平衡位置的位移按余弦函数 或正弦函数 的规律随时间变化 二 简谐振动的三个特征量 1 振幅A m 最大位移的绝对值 A 0 A x A 振动一次所需时间叫做周期 S 单位时间内振动的次数 称为振动频率 Hz 称为角频率 或圆频率 rad s 2 周期T s 和角频率 反映振动的快慢 3 相位 t时刻相位 反映t时刻的振动状态 t 0时相位 初相位 已知A 表达式 取决于时间零点的选择 1 2 总之 已知表达式 A 三 简谐振动的速度 加速度 均是描述简谐振动的物理量 速度振幅 加速度振幅 频率相同 同t相位不同 四 简谐振动的三种表示方法 1 解析表达式 2 曲线描述 可知t时刻质点位置及速度方向 3 旋转矢量描述 用匀速圆周运动几何地描述简谐振动 矢量端点在x轴上的投影式 逆时针转 x Acos t 相量图法 图中长度等于振幅的旋转矢量叫振幅矢量 t时刻相位 t时刻振幅矢量与x轴夹角 简谐振动的相位确定振动的状态 相量图法 直观地表达振动状态 如文字叙述说t时刻弹簧振子质点正的最大位移处 旋矢与轴夹角为零 质点经二分之一振幅处向负方向运动 意味 意味 质点过平衡位置向负方向运动 同样 相量图法 直观地表达振动状态 振动的相位 1 确定振动的状态 位置 速度 2 比较同频率谐振动的步调 相位差 对两同频率的简谐振动 相位差等于初相差 五 相位差 T 同相 T 反相 x2超前x1 或x1落后x2 或x1超前x2 x2落后x1 比较谐振动x v a三者的位相 课堂练习 1 一简谐振动的振动曲线如图所示 求振动方程 画出相量图 2 一物体做简谐振动 其速度最大值vm 3 10 2m s 其振幅A 2 10 2m 若t 0时 物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动 求 1 振动周期T 2 加速度的最大值am 3 振动方程的表达式 3 一质点沿x轴做简谐振动 A 4cm T 4s t 0时位移为2cm 且向平衡位置移动 求1 振动表达式 2 由起始位置运动到x 4cm处所需最少时间 2 j j p 3 wt wt 2p 3 6 2简谐振动的动力学方程 二 简谐振动的运动微分方程 一 谐振动系统受力特征 质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反向 就是简谐振动 三 几个简谐振动实例 1 水平弹簧振子 平衡位置 弹簧原长处 由系统本身的的性质决定 固有角频率 2 竖直弹簧振子 轻弹簧k 平衡位置 振动物体受力为零处 弹簧伸长x0处 振动物体位于任x处时 思考 光滑斜面上的弹簧振子 k m 平衡位置在何处 是否简谐振动 若是 其w 物体做简谐振动 当q很小时 3 单摆 无阻尼小角度摆动 摆长为l 单摆 平衡位置 摆球受合外力矩为零处 0处 任q角处 在角位移很小的时候 单摆的振动是简谐振动 结论 固有圆频率 固有周期分别为 其角位移为 由牛顿定律列方程 如能得出形式的方程 则 由分析受力出发分析物体在任一时刻的受力 1 说明振动是简谐振动 2 可得出角频率 简谐振动的动力学解法 决定于系统本身的性质 四 振幅A 初相j的确定 1 初始条件 t 0时x0 v0 注意j角象限的确定 2 旋转矢量法确定初相j 已知t 0时x0值及v0符号 x0值定垂直线 v0符号定象限 例 t 0时质点在平衡位置且向正方向运动 求初相 6 3简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例 谐振动 1 动能 2 势能 3 机械能 1 Ek Ek t Ep Ep t 无阻尼自由振动 简谐振动系统机械能守恒 x 2 势能曲线 4 周期平均值 振幅A决定于系统的初始能量 角频率 决定于系统内在的性质 初相 决定于时间零点的选择 由初始能量求振幅 综合以上 简谐振动的各特征量 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 以上结论适用于任何简谐振动 3 一质点做简谐振动 其振动方程为 1 振幅 周期 频率及初位相各为多少 2 当x值为多大时 系统的势能为总能量的一半 3 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少 2 势能 总能 由题意 3 从平衡位置运动到 的最短时间为 水平弹簧振子 弹簧得倔强系数K 24N m 重物质量为m 6kg 重物静止在平衡位置 设以水平力F 10N向左作用于物体 不计摩擦力 使之由平衡位置向左运动了0 05m 此时撤去力F 当重物运动到左方最远位置时开始计时 求物体的运动方程 6 4简谐振动的合成 当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题 一 同一直线上同频率的两个简谐振动的合成 线性叠加 仍是谐振动振动频率仍是 x Acos t 结果 若 反相合振动减弱 同相合振动加强 特殊结果 若 若 两振动同相两振动反相 可能的最强振动 振动加振动 不振动 合振幅 若 2 1 其它值 由上看出 2 1的值对合振动起重要作用 例 一质点同时参与了三个简谐振动 它们的振动方程分别为 其合成运动的运动方程为x 0 设两振动的频率都较大且略有差别 振幅相等 线性相加 二 同一直线上不同频率谐振动的合成 分振动 则 较 随时间变化缓慢 将合成式写成谐振动形式 合振动可看做是振幅缓变的谐振动 拍合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频 测未知频率的一种方法 由式 得 如 同时敲打两个频率不同的音叉 会周而复始地听到 嗡 的声音 显示出声音忽强忽弱的变化 6 5阻尼振动受迫振动与共振 一 阻尼振动 动力学方程 系统在振动过程中受到粘性阻力作用后能量将随时间逐渐衰减 振幅也不断减小 系统受的粘性阻力与速率成正比 称阻尼因子 系统固有频率 令 整理得 式中 阻尼振动方程为 其中 解 三种阻尼振动 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 二 受迫振动1 受迫振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动2 受迫振动的动力学方程设驱动力按余弦规律变化 动力学方程 经分析可知足够长时间后 达到稳态 其振动方程为 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 1 频率 2 振幅 即策动力频率不同 振幅不同 称为共振 等于策动力的频率 共振应用 电磁共振 核磁共振 碎步过桥等 1808年法国皇帝拿破仑率部10万入侵西班牙 当部队以整齐的步伐穿过一座铁索吊桥时 大桥崩塌了 1831年 一队骑兵列队通过英国曼彻斯特附近的一座吊桥 他们雄赳赳 气昂昂 嗒 嗒 的马蹄声节奏分明有力 突然不幸的事情发生了 随着一声巨响 大桥莫名其妙的倒塌了 人与马纷纷坠入河中 死伤惨重 1906年 俄国首都彼得格勒附近的爱纪华特大桥有一队骑兵通过 连长为显示军威 命令骑兵指挥训练有素的战马以雄赳赳气昂昂的姿态步调一致前进 突然间桥身剧烈振动起来 然后伴随着一声巨响 大桥断裂崩塌了 士兵 马匹 辎重纷纷落水 狼狈不堪 1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁 小号发出的波足以把玻璃杯振碎 我国古代对 共振 的认识 蜀人有铜盘 早 晚鸣如人扣 公元五世纪 天中记 问张华 张华曰 此盘与宫中钟相谐 故声相应 可改变其薄厚 鱼洗 关于弹簧 1 弹簧串连 2 弹簧并连 o k k1 k2 3 弹簧分割 第6章结束 1 一倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成三部分 取出其中的两根 将它们并连在一起 下面挂一质量为m的物体 如图所示 则振动系统的频率 2 一质量为m的滑块 两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接 两弹簧的另外两端分别固定在墙上 滑块m可在光滑的水平面上滑动 o点为平衡位置 将滑块m向左移动了x0的距离 自静止释放 并从释放时开始计时 取坐标如图示 则振动方程为 C 3 一质点作简谐振动 振动方程x Acos wt 当时间t T 4 T为周期 时 质点的速度为 C 4 两个质点各自作简谐振动 它们的振幅相同 周期相同 第一个质点的振动方程为 当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时 第二个质点正在最大位移处 则第二个质点的振动方程为 B C D A B 5 上面放有物体的平台 以每秒5次的频率沿竖直方向做简谐振动 若平台振幅超过 m 物体将会脱离平台 设g 9 8m s2 1 0 10 2m 例6 一单摆 把它从平衡位置拉开 使摆线与竖直方向成一微小角度 然后由静止放手任其摆动 若自放手时开始计时 如用余弦函数表示其运动方程 则该单摆振动的初位相为 C A B C 0 D 2 例7 一轻弹簧的劲度系数为200N m 1 现将质量为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端 使其在平衡位置下方0 1m处由静止开始运动 若由此时刻开始计时 求 1 物体的振动方程 2 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力 3 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间 解 1 选平衡位置为原点 x轴指向下方 振动方程 SI 2 物体在平衡位置上方5cm时 弹簧对物体的拉力 3 物体从第一次越过平衡