立体几何证明题型归纳.docx

立体几何证明题型归纳一、平行垂直证明二、平行判定主要方法：1、 寻找三角形，通过三角形中位线得到平行（中点）2、 寻找平行四边形，通过平行四边形得到平行（一组对边平行且相等）1. 线面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。通过寻找或者作平行平面得到两平行平面2. 面面平行：方法一：用线线平行实现。 方法二：用线面平行实现 线面垂直：（线线垂直 线面垂直）若已知条件有面面垂直： 面面垂直证明： 用线面垂直实现证明平行线面平行：1） 通过线线平行得到三角形中位线平行四边形（一组对边平行且相等）2） 通过面面平行得到（注意平面寻找方式）3） 辅助线：四边形对角线 三角形中线 体对角线、面对角线例1：如图所示的多面体中，底面为正方形，/，且（）求证：/；（）求多面体的体积ANMCEBFD例2：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F分别在线段BC和AD上，EFAB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF（如图），且平面MNEF平面ECDF.线线垂直通过线面垂直实现()求证:NC平面MFD;()若EC=3，求证:NDFC;()求四面体NFEC体积的最大值.线面垂直通过线线垂直实现：1、直线垂直两相交直线2、线面垂直+垂直平面交线解: () 证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,2分所以NCMD, 3分因为NC平面MFD，平面MFD所以NC下面MFD4分ANMCEBFD() 证明:连接ED,设.因为平面MNEF平面ECDF,且NEEF,由面面垂直的性质定理得NE平面ECDF5分因为平面ECDF,所以FCNE6分因为EC=CD=3,所以四边形ECDF为正方形,所以FCED又,所以FC平面NED7分因为平面NED,所以NDFC () 解:设NE=x,则,其中由()得NE平面FEC,所以四面体NFEC的体积为10分 所以11分当且仅当,即时,四面体NFEC的体积最大.12分例3：1、在正方体中，、为棱、的中点（1）求证：平面；来源:（2）求证：平面平面 体积问题：1如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为。（1）求CP的长；（2）请直接写出正方体的棱上满足C1M平面APD1的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明。2：在空间几何体中，平面，QPABC平面平面，（I）求证：平面；（II）如果平面，求证：解：（I）如图，取中点，连，由得，平面平面， 平面， 2分又平面，DQPABC， 4分又平面，平面 6分（）连接，则平面平面，面面，平面又， 8分又由（）知，四边形是矩形， 10分，而，则12分 变式练习：1如图，等边ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,将AED沿DE折起到AED的位置.(I)证明:BD/平面AEF;(II)当平面AED丄平面BCED时，证明:直线AE与 BD不垂直.2.如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，且（ ）求多面体的体积；（ ）求证：平面EAB平面EBC； 第20题图K（）记线段CB的中点为K，在平面内过K点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明解：（）如图，连接ED，底面且，底面面 1分2分 3分5分（ ）ABCD为正方形，ABBC. 6分EA平面ABCD，BC平面ABCD，BCEA. 7分又ABEAA，BC平面EAB. 8分 又BC平面EBC，平面EAB平面EBC.10分（）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求11分图上有正确的作图痕迹12分3如图，在长方体中，（I）求三棱锥的体积；（II）当取得最小值时，求证：解答：（I）由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1， 点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1CD=21=1， =AD=（II）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C共线时，A1M+MC取得最小值 由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点连接C1M，在C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，=+MC2，得