（理论物理专业论文）分形生长的计算机模拟研究.pdf

河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 中文摘要 本文首先介绍了一门新兴学科 分形 从分形的起源 发展等几个方面 简要回顾了分形的发展历史 着重介绍了分形的基本理论和基本要素 并在分形 的维数测量方法上做了详细介绍 本文第二部分介绍了经典的扩散限制凝聚 d i 肺s i o n l i m i t e da g 伊e g a t i o n 模型 简称d l a 模型 的构建 原理以及分形分析 方法 并进一步介绍了近年来对d l a 模型的改进和研究现状 在保持d l a 模型 的固有性质 如扩散 凝聚概率等 不变的基础上 我们对d l a 模型进行了改进 使凝聚区域半径随着形成分形结构的变化而变化 在最近邻和最近邻 次近邻两种 不同粘合方式下我们分别得到了形状各异的分形 并对其形成机理进行了分析和 讨论 测得其分维数比经典的d l a 模型要小 我们对生长方向受限制的情形也做 了理论分析 并得到了与实验结果相似的形貌 本课题的研究意义是对经典的模型进行改进 得出了新颖的分形体 并对其 形成过程进行了初步分析 为实验室膜诱导生长而得到的分形结构的形成机理提 供了一些理论依据 关键词 分形维数扩散限制凝聚最近邻最近邻 次近邻 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 a b s tr a c t i i lt h i sw o r k w ef i r s ti n t r o d u c e dan e ws u b j e c t 一矗 a c t a l 仔o mt h eo r i g i n b a s i c p r i n c i p l e d e v e l o p m e n te t c w er e v i e w e dt h eh i s t o 巧o ft h ed e v e l 叩m e n to f 仔a c t a l b r i e n y s u m m a r i z e dt h eb a s i ct h e o 巧a 1 1 dt h eb a s i ce l e m e n t so ff j r a c t a l m a d eap a n i c u l a r d e s c r i p t i o no nt h em e t h o do ft h e1 j r a c t a ld i m e n s i o nm e a s u r e m e n t i i lt h es e c o n dp a r t w e i n t r o d u c e dt h ec l a s s i c sm o d e lo fd i f m s i o n l i m i t e da g 黟e g a t i o n d l a a n dt l l e p r i n c i p l e so f 仔a c t a la n a l y s i s a i l da l s oi n n o d u c e dt h ei m p r o v e m e n tt h ed l am o d e li n r e c e n ty e a r s a tk e e p i n gt h em o s ti n h e r e n tn a t u r e s s u c ha sd i f m s i o nm o d e a g g l u t i n a t e p r o b a b i l i t y e t c o ft h ed l am o d e l w ei m p r o v e dt h ed l am o d e l b yc h a n g i n gt h e r a d i u so ft h e a g 黟e g a t i o na l o n gw i t ht h e 行a m e w o r ko ft h ef b m e dn a c t a l t h e n e a r e s t n e i 曲b o r n n a n dt h en e a r e s t n e i g l l b o ra i l dt h en e s tn e a r e s t n e i 曲b o r m 叮n a i l dt h e1 i m i t e dg r o w t hd i r e c t i o no ft h e mw e r ea l lr e s e a r c h e d a i l dw eo b t a i n e dv a r i e t yo f 觚c t a l s t h ed i m e n s i o no ft h ec h 锄g e dm o d e li sl e s st h 趴t h eo n eo fd l a e v e na sp a n s 0 ft h e mw e r es i m i l a rt ot h ee x p 硎m e n t a lr e s u l t t h es i g n i f i c a n c eo ft h i st o p i cr e s e a r c hi st h a tw ei m p r o v e dt h ec l a s s i c sm o d e l h a d c 硎e d0 nt h ep r e l i m i n a 巧a n a l y s i st oi t sf o 肌i i l gp r o c e s s w h i c hi sp o s s i b l yh e l p 如l t o t h ee x p e r i m e n to fo u r l a b o r a t o 巧 k e yw 0 r d s 劬c t a l d i m e n s i o n d l a n n n n n 关于学位论文独立完成和内容创额的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请 丰人郑重声明 所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的 对所研究的课题有新酌见解 据我所知 除 文中特别加以说明 标注乖致谢的地方外 论文中苇包括其他人已经发袁或撰 写过酌研究成果 也不包括其他人为获得任何教育 科研机构的学位或证书而 段保存 汇编学位论文 至氏质文本和电子文表 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书 学位获得者 学位论文作者 釜名 2 硒年刀月口卜 学位论文指导教师鍪名 2 d6 抖7 月 臼 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 厶 刖吾 在新的世纪之初 回顾刚过去的一个世纪的数学发展历程 我们欣喜地看到 数学家们在追求数学理论的完美性和数学应用的广泛性上所做出的孜孜不倦的努 力和所取得的丰硕成果 孤子 混沌 分形 小波 在层出不穷的新学科中 由美籍法国数学家曼德尔布罗特 b b m a d e b r o t 在2 0 世纪7 0 年代开创的分形几何理论被誉为开创了2 0 世纪数学的重要阶段 他因为 对分形几何理论的贡献而获得了1 9 8 5 年的b a m a d 奖和1 9 8 6 年的f r a i l l l i n 奖 历 史上爱因斯坦 费米 卢瑟福等人获得过此殊荣 分形几何的重要性在于它与其它学科的交叉大 应用广 从8 0 年代中期开始 分形 热 了 成为科学界叫得最响的名词 吸引了几乎所有领域的科学家和社 会工作者的眼球 有关分形出版了上百部专著 在国际期刊上发表了几千篇专业 论文 美国物理学家惠勒 j a 胁e e l e r 说 明天谁不熟悉分形 谁就不能被认 为是科学上的文化人 分形论的提出 有以下几个方面的意义 首先它打破了整体与部分之间的隔膜 找到了由部分过渡到整体的媒介和桥 梁 即部分与整体之间的联系 相似性 其次 分形论的提出 使得人们对整体与部分的关系的思维方法由线性进展 到非线性的阶段 并同系统论一起 共同揭示了整体与部分之间多层面 多维数 的联系方式 分形论从一个新的角度深化和丰富了整体与部分之间的辩证关系 再次 分形论为人们认识世界提供了一个新的方法论 它为人们从部分中认 识整体 从有限中认识无限提供了可能的依据 最后 分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中关于普遍联系和世 界统一性的原理 这主要表现在两个方面 一是分形论从一个特定的层面直接揭 示了宇宙的统一图景 同时 分形论所揭示的整体与部分的内在联系方式是对宇 塑塑奎堂里堡塑里耋些兰塑 丝里茎生堡主堂垡笙茎 宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示 二是关于世界物质统一性 分形 论可以从共时态与历时性两个维度上展开说明 一方面在自然界中蕴含者历史的 演化与嬗变的信息 另一方面部分与整体之间的相似性编织了一张世界统一的网 络 随着计算机技术的快速发展 计算机模拟技术得到了有效的提高 分形在物 理学上的模拟应用 最成功最有影响力的是1 9 8 1 年由t a w i t t e n 和l m s a n d e r 在研究大气中的煤尘 金属粉末和烟尘的扩散凝聚问题时 提出一种称为扩散限 制凝聚 d i 瓶s i o nl i m i t e da g g r e g a t i o n 模型 简称为d l a 模型 d l a 模型揭示 了粒子生长的准静态过程 由它而引发了一系列非平衡生长和凝聚过程的研究 这个模型还提供了一个理解许多其它满足拉普拉斯生长过程的基础 我们实验室利用l b 膜诱导生长技术生成了具有分形结构的多体系形貌 在实 验技术已经成熟的基础上 迫切需要分形理论基础及分析方法 我们就选择这样 一个课题 试图在理论上有新的突破1 2 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕上学位论文 1 1分形发展简史 第一章分形理论 我们平时所说的点 线 面 体都是人们熟知的欧几里德几何要素 然而自 然界中有众多传统的欧氏几何所不能描述的一类复杂无规的几何对象 例如 弯 弯曲曲的海岸线 起伏不平的山脉 粗糙的材料断面 变幻莫测的云朵等等 这 类图形的特点是极不规则或极不光滑 这类对象都属于分形的范畴 所以说分形 几何是大自然的几何 尽管分形直到1 9 7 5 年才正式由m 锄d e l b r o t 1 提出 但分形理论的发展史可以 追溯到1 8 7 2 年 自从有了函数曲线的连续与可微性质及其关系后 是否存在处处连续而点点 又不可微的函数曲线成了研究的热点 首先解决这个问题的是德国数学家 w 萌e r s 仃a s s 他在1 8 7 2 年构造了处处连续 而处处又不可微的函数 形 x c o s 2 万矿x 1 1 七 0 其中0 a l b 且a b 1 w e i e r s 仃a s s 并证明了对某些a 和b 的值 该函数无处 可微 直到1 9 1 6 年 h a r d y 证明了满足上述条件的所有a 和b 的值 w x 函数都 是无处可微的 这就使得数学理论发生了一次危机 在微积分几何中 一般来说连续函数一 定可微 这是微积分几何的首要出发点 但是矛盾就出来了 w 色i e r s 仃a s s 函数是一 个处处连续而处处又不可微的函数 在分形理论产生以前 数学家们很忌讳谈论 w e i e r s 仃a s s 方程 称其为 病态方程 随后的事态发展更令数学家们棘手 竟然有了用传统的欧氏几何束手无策的 难题 向统治了2 0 0 0 多年的欧氏几何发难 当然正式由于这些矛盾和斗争激励了 分形几何的诞生 3 塑堕奎堂望堕望型皇些兰塑 丝旦壅竺堡主堂垡笙奎 1 8 8 3 年 康托尔 g f p c a i l t o r 1 8 4 5 1 9 1 8 构造了三分集 它与实直线是相对立 的 当时人们觉得它几乎是不可能的 而如今它已成为分形几何学中的最典型 最简单的分形模型 它的初始元构造简单 取单位长为l 的线段 平均分成三份 去掉中间的l 3 对剩余的各部分再看成一个整体 重复刚才操作 如此重复无穷 次操作后 就得到c a n t o r 集 3 如图1 1 所示 我们就有这样的一个问题 c a l l t o r 集有无数个点组成 在零维空间 其度量为无穷大 在一维空间里经过n 次迭代 以后 共有2 n 个小区间 每个区间长度为 1 3 n 所以上e n 鳓 e l 硫 詈 o 挣斗 j 这样就出现了在零维空间为无穷大 在一维空间为0 意即c a i l t o r 集在欧氏几何 领域不可度量 o 毛 一一一一亡2 一一一一一一 一一6 i i i 6 一一一一 一一 一一一 一一 一 c 璺 一一 i l 图1 1c a n t o r 三分集 1 9 0 4 年 瑞典数学家v 曲k o c h 构造了k o c h 曲线 k o c h 曲线是经典的分形 f h l 线 在模拟各类不规则边界条件等领域有非常广泛的应用 k o c h 曲线的设计步骤如下 设e o 为单位区间 o 1 第一步 即n l 以e o 的 中间三分之一线段为底 向上 实际上也可以都向下 但为了统一 在规则分形 几何里 我们一般采取向上 作一个等边三角形 然后去掉区间 1 3 2 3 得 到一条四折线段的e 1 e o 是处处可微的 但e l 却有三点不可微 第二步 即n 2 对e l 的四条折线段重复上述操作 得到一条十六折线段e 2 它有十五个点不可微 4 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 再重复上述过程 由e l l 到e r i l 当n 趋向于无穷时 便得到一条k o c h 曲线 显然 它是一条处处连续但处处不可微的曲线 基本过程见图1 2 所示 靠蔫0 一 图1 2k o c h 曲线 1 9 0 6 年 英国学者发现了b r o w n i a i l 运动 b r o w n i a n 运动揭示了分形行为的物 理学机制 1 9 1 5 年豪斯道夫 h a u s d o r f r 是首先提出了非整数维数概念的数学家 h a u s d o r f f 的发现是对维数概念的革命性突破 使得维数的范围从整数推广到分数 1 9 1 5 年s i e 巾i n s k i 提出了s i e 叩i n s k i 垫片和海绵等 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕十学位论文 叁 庞 u k n 1n 2n 3 图1 3s i e 印i n s k i 垫片的图形 俄国数学家b e s i c o v i t c h 在近似周期函数和分数维数方面作了许多重要工作 为分形几何理论的产生进一步奠定了基础 2 0 世纪6 0 年代中期 m a n d e l b r o t 产生了分形的思想 1 9 6 7 年发表在美国 科 学 杂志的论文 英国的海岸线有多长 是分形思想诞生的重要标志 1 9 7 3 年 m a n d e l b r o t 在法国巴黎法兰西学院讲学时正式提出了分形几何的概念 1 9 7 5 年 m a n d e l b r o t 创造了 仔a c t a l 一词 4 1 1 9 8 2 年他的名著 t h eg e o m e t r yo f n a t u r e 出版 标志分形理论学科的形成 f jd y s o n 5 对分形诞生的背景及其在科学史上的意义作了阐述 他认为 m a n d e l b r o t 创立的分形一词 是给在纯数学发展进程中起着历史性作用的一大类 对象赋予的一个标题 这一场伟大的思想革命 把1 9 世纪的经典数学和2 0 世纪 的现代数学截然分开 经典数学源自欧几里德的规则几何结构和牛顿连续演化动 力学 现代数学则开始于c a n t o r 集理论和p e a n o 充填空间曲线 从历史上看 欧 几里德和牛顿模式所不能描述的数学结构的发现 推动了这场革命 这些新的结 构曾经一度被认为是 病态 的 是 数学怪物 并把它们与同时期建立起来的 以艺术家感受为标准的立体派绘画和无调音乐相提并论 创造 怪物 的数学家 们则认为 这些东西的重要性在于说明纯数学的世界蕴含着超越他们在自然界中 看到的简单结构的丰富机遇 2 0 世纪数学之花遍地开放 使人们相信它已经完全 摆脱了自身原因所带来的限制 而今 j 卜如m a n d e l b r o t 所指出的 大自然给数学 家们开了一个大玩笑 1 9 世纪数学家们未曾想到的自然界并非不存在 数学家们 6 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 为砸烂1 9 世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造出来的那些病态结构 原来正是他 们周围熟视无睹的东西 m 觚d e l b r o t 自己认为 分形几何并非2 0 世纪数学的直接应用 它是艰难地诞 生于数学危机之中的一个新分支 这一危机始于l8 7 5 年r e y m o o d 对w e i e r s 仃a s s 构造的一种连续不可微函数的首次报道 并约持续到1 9 2 5 年 gc a n t o r gp e a l l o r h ll e b e s g l l e f h a u s d o r 行 v o n k o c h 等数学明星 在对大自然进行的经验性研 究中 非同寻常的偶然相遇 我认为这是由于这些巨人的工作已远远超出它本身 的视界 总的来说 分形像其它新生事物的形成一样 也是在矛盾与斗争中逐步形成 与发展起来了 按照其发展时期来分 分形的形成和发展大致可分为以下三个阶 段 第一阶段 1 8 7 2 年至1 9 2 5 年 数学 怪物 构造分形 这一时期 人们认识到分形的存在 构造了许多经典的分形对象 1 8 7 2 年 病态方程 w 色i e r s 仃a s s 函数出现 1 8 8 3 年 c a n t o r 引入了c a n t o r 三分集 1 8 9 0 年 p e a n o 构造出填充平面的曲线 1 9 0 4 年 v 0 n k o c h 用初等方法构造了一种处处连续且处处不可微的k o c h 曲 线 1 9 0 1 年 m i n l o w s k i 提出了m i i l l o w s k i 容度 1 9 1 9 年 f h a u s d o r f r 提出了h a u s d o r f r 测度和维数 这些概念实际上指出为了 测量一个几何对象 必须依赖于测量方式以及测量所采用的尺度 p e 晌在1 9 1 3 年对b r o w n 运动进行了深入的研究 b r o w n 运动是一类极为典 型的随机分形集 在那时已经受到物理学家的重视 他明确指出b r o w n 运动作为 运动曲线不具有导数 这些论述促使了w i e n e r 在1 9 2 0 年左右建立了b r o w n 运动 的概率模型 为了表示混乱的极端形式 w i e n e r 采用了混沌 c h a o s 一词 总之 在分形理论发展的这一时期 人们已经提出了典型的分形对象及其相 7 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 关问题并为讨论这些问题提供了最基本的工具 第二阶段 1 9 2 6 年至1 9 7 5 年 深化理论 探索用途 这一时期 人们对分形集的性质作了更为深入的研究 不仅形成了理论 而 且将研究范围扩大到数学的许多分支 此外 维数理论研究也获得了丰富的成果 但主要是在纯数学领域 尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果 但是 绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究 而未与其它学科 发生联系 另一方面 物理 地质 天文学和工程学等等学科已产生了大量与分 形几何有关的问题 迫切需要新的思想与有力的工具来处理 正是在这种形势下 m a n d e l b r o t 以其独特的思想 系统 深入 创造性的研究了海岸线的结构 材料的 断裂形貌 地貌生成的几何性质等等典型的自然界中的分形现象 并取得了一系 列令人瞩目的成就 第三阶段 l9 7 5 年至今 完善理论 重于应用 这一时期 分形几何在各个领域的应用取得了全面的发展 并形成了独立的 学科 1 9 7 5 年m a n d e l b r o t 的著作 分形对象一形状 机遇和维数 f r a c t a l f o m c h a n c ea i l dd i m e n s i o n 出版 首次系统阐述了分形几何的思想 内容 意义和方 法 作为一个独立学科 分形几何正式诞生 分形理论后 很快引起了许多学科 的关注 这是由于它不仅在理论上比传统欧式几何有了新的突破 而且在实践上 都具有很重要的价值 值得一提的是分形在其它学科的应用远远超过了它的理论 发展速度 例如在物理学 6 9 化学 1 们 生物学 1 l 气象学 1 2 1 以及材料科学 1 3 1 4 等领域中得到了应用 时至今r 分形 混沌 小波 自组织系统等仍然是非线性科学研究的重点 其中分形与所有其他方面都有联系 著名理论物理学家约翰 惠勒 j w h e e l e r 曾这样评价分形 在过去 一个人 如果不懂得 熵 是怎么回事 就不能说是科学上有教养的人 在将来 一个人 如果不能同样熟悉分形 他就不能被认为是科学上的文化人 我们不妨比较一下分形几何与欧氏几何的关系如表卜1 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 欧氏几何分形几何 半经典的 2 0 0 0 多年历史 捍现代怪物 3 0 多年历史 木基于特征长度和比例j f l 无特征长度和比例 木适合于人工制品撑适用于大自然现象 木用解析公式描述j f j 用 递归或迭代 算法描述 表1 1 欧氏几何与分形几何的比较 1 5 1 2 分形理论 1 2 1 什么是分形 具有自相似性和标度不变性的系统称为分形系统 随着分形理论的产生和发 展 逐步地形成了分形几何学 与传统的几何学相比 分形几何具有这样的特点 1 从整体上看 分形图形是处处不规则的 例如 曲折的海岸线 险峻的山 川和变幻莫测的云朵 它们是不能用欧几里德几何中的圆和直线简单加以描述的 2 在不同尺度上 分形的规则性又是相同的 分形的局部与整体之间 都 是自相似的 当然 也有一些分形图形并不是完全自相似的 而大多数分形是统 计意义上的自相似 其中一些是用来描述一般随机现象 还有一些是用来描述混 沌和非线性系统 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺 度来看都是相似的 或者某系统的某局域性质或结构与整体之间的相似 另外 9 型堕盔堂型笙望堡兰些 竺 丝翌 茎竺堡占堂篁堕茎 在整体与整体之间或部分与部分之间 也存在自相似性 一般情况下自相似性有 比较复杂的表现形式 而不是局域放大一定倍数以后简单的和整体完全重合 但 是 表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数 并不会因为放大或缩小等操 作而变化 如图1 4 是人体小肠的结构 由图可以看到 当以不同的放大倍数观察小肠结 构时 即从a 到e 较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构具有自相似 性 小肠的这种相似结构极大的增加了小肠的比表面积 为营养物质的吸收创造 了条件 趱 1 0 蜘呲 峙山 l口i ji ldi 己 l k 白s岱 蛰 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 图1 4 人体小肠的自相似结构 在欧几里德几何学中 点 线 面以及立体几何 立方体 球 锥体等 规 则形体是对自然界中事物的高度抽象 都是欧氏几何学的研究范畴 然而自然界 中广泛存在的则是形形色色不规则的形体 如地球表面的山脉 河流 海岸线等 这些自然界产生的形体具有自相似性 它们不可能是严格地对称 也不存在完全 相同的两个形体 例如 从飞机上俯视海岸线 可以发现海岸线并不是规则的光滑曲线 而是 由很多的半岛和港湾组成 随着观察高度的降低 可以发现原来的半岛和港湾又 是由很多的半岛和港湾所组成 而当你沿着海岸线步行的时候 再来观察脚下的 海岸线 则会发现更为精细的结构 具有自相似性的更小的半岛和海湾组成了海 岸线 因此 问题提出来了 一条海岸线的长度能精确测量吗 答案是否定的 因为随着测量尺码的减小 海岸线的长度会逐渐增大甚至到无穷大11 9 6 7 年 m a i l d e l b r o t 在s c i e n c e 杂志上首次发表一篇题为 英国的海岸线有多长 的论文 口6 j 引起整个学术界的震动 当改变不同测量尺度时 人们认识到海岸线的长度 是变化的 所以它依赖于所使用的测量单位尺度 在数学上 可以用代数方程或者微分方程组来描述某一个物理系统 计算结 果表明 有些系统往往存在一种无限嵌套的自相似几何结构 严格的说 严格意义上自相似的分形在自然界是不存在的 只有在严格的数 学模型中利用无穷迭代方法生成 如前面提到的c a n t o r 三分集 k o c h 曲线等 但 是大自然界的分形 其自相似性并不是严格的 而是在统计意义下的自相似性 海岸线就是其中的一个例子 凡满足统计自相似性的分形称为无规分形 凡是无 规分形都不具有严格的自相似性 只具有在统计意义下的自相似性 自相似性通 常只与非线性复杂系统的动力学特征有关 通常一个具有自相似特性的系统必须满足标度不变性 或者说这类物体没有 特征长度 所谓标度不变性 是指在分形上任一局部区域 对它进行放大 得到 的放大图形会表现出原图的形态特征 因此 对于分形 无论将其放大或缩小 它的形态 复杂程度 不规则性等各种特性均不会发生变化 所以标度不变性又 1 l 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 称为伸缩对称性 值得一提的是 除了严格的数学模型以外 对于实际的分形体 来说 这种标度不变性只在一定的范围内适用 对于一般物体而言 标度变换的 范围往往可以达到好几个数量级 人们通常把标度不变性的适用空间称为该分形 体的无标度空间 事实上我们在研究很多物质的分形结构时 我们也只需要讨论在某个标度区 间内才具有现实意义 例如我们在研究采煤过程中煤块的大小分布时 一方面由 于煤层的厚度等条件限制 讨论直径为几十米甚至几百米的大煤块是没有意义的 这决定了所研究煤块大小分布的上限 另一方面 采煤过程中研究那些半径小于 0 0 1 衄的煤块 统称我们称为煤尘 也是没有意义的 这样就决定了研究煤块大 小分布的下限 遗憾的是目前还没有关于分形的严格定义 但是正如不少学者n 刀认为的那样 就应用层次而言 无需给分形一个严格的定义 只要理解其含义就行了 对分形 的定义 可以用数学家对 集合 定义的办法 集合 很难定义 但却可以给出 一系列集合对象的特征 满足某些共性的元素的整体 有序性 互异性等等 我们不妨引用k f a l c o n n e r 对分形集合f 的描述 1 引 1 分形集合f 具有精细的结构 也就是说在任意小的尺度之下 它总有更复 杂的细节 2 分形集合f 是如此的不规则 以至它的整体和局部不能用传统的几何语言 来描述 3 分形集合f 通常有自相似性 这种自相似性可以使完全的 可以是近似的 也可以是统计意义下的 4 分形集合f 在某种意义下的分形维数大于它的拓扑维数 5 在多数令人感兴趣的情形下 分形集合f 以非常简单的定义 或许以递归 过程产生 1 2 2 分形的维数 维数是刻画图形占领空间规模和整体复杂性的量度 是图形最基本的不变量 1 2 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 早在两千多年以前 欧几里德就给出图形维数的表述 曲面有两个量度 曲线有 一个量度 点连一个量度也没有 这里所说的量度就是欧几里德维数 后来将其 定义为表述空间中的一个几何对象所需要的独立坐标数目或连续参数的最小数 目 例如我们定义曲线时需要一个连续参数 f 积 而我们定义一个曲面时则需要 两个独立的连续参数z g x y 我们可以看到 维数 对于一个几何体是多么的重要 在分形研究中 分形 的维数更是起着至关重要的作用 如果我们不知道分形的维数 我们就不知道一 个分形有多大 在什么时候能说两个分形是相似的 如何衡量两个不同的分形在 度量上是等价的 在分形几何中 分形和分维同其他数学概念一样 都是从客观存在的数和形 的关系中抽象出来的 分形几何学是研究被经典数学家称之为 病态 的不规则集合 这些不规则 集合一般来说都是不光滑的 不规则的 定量地表述这种不规则性是分形维数 所有的分形都具有一个重要的特征 可通过一个特征数 即分形维数测定其不平 度 复杂性和卷积度 我们首先想一下欧氏空间中几何图形的几何量的计算 欧氏几何学是以规则 几何图形为其研究对象的 欧氏几何的测量有以下特点 几何图形中 曲线是以线段 两点间的距离r 为基础 平面图形以圆或正方形为基础 空间体以球或正方体为基础 这样以来 长度 面积和体积的量纲数就分别等于几何图形存在的空间的维数 即长度单位 的l 2 和3 次幂 像这样把自由度数作为维数 又称为经验维数 是很自然的 但早在1 8 9 0 年就 有人对经验维数提出了较深刻的疑问 这是因为可以用一条一维的曲线即可把二 维的平面完全覆盖 其中最好例子是皮亚诺p e a l l o 曲线 如图1 5 所示 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 图1 5p e 锄 曲线 p e a n o 曲线可定义为图中折线的极限 从图中可以看出 此曲线同样可以把平 面完全覆盖住 此曲线属于自相似 处处都不能微分 是分形的一个很好的例子 p e a n o 曲线的考虑方法 也适用于三维以上 即可以用一个实数来表示n 维空间 图形中的任意点 也就是说 如果从自由度角度来考虑 也可把n 维空间看成一 维 这样就产生了矛盾 为了避免这一矛盾 必须从根本上重新考虑维数的定义 为此 提出了不少有关维数的定义 其中最易理解且与分形维数有密切关系的是 相似维数 s i m i l a r i 够d i m e n s i o n 根据相似性 一般地 如果某图形是由把全体缩小为 的口 个相似图形构成 那么此指数d 就具有维数的意义 此维数被称为相似维数 相似维数常用b 表示 根据定义 d 完全没有是整数的必要 如果某图形是 由全体缩小 的6 个相似形所组成 即6 口 所以相似维数见为 d 坐 1 2 4 l n 口 提出相似维数虽然是把经验维数扩大为非整数值的划时代进展 但按照其定 义 它的适用范围就非常有限 因为只有对具有严格相似性的有规分形 才能应用 这一维数 但是对于近似相似或从统计意义上相似的分形 该公式是不能用的 1 9 1 9 年 h a u s d o r f f 提出维数可以是分数即分数维 并定义了分数维的 1 4 塑塑奎兰堡丝望堡主些 旦箜堡堕壅竺堡主堂垡笙茎 h a u s d o r f r 测度 h a u s d o r f r 维数则适用于包括随机图形在内的任意图形 大部分维数的定义都是基于 用可变尺度万进行量度 这样的设想 忽略尺寸 小于万的不规则性 并察看当万一o 时 这些测量值的变化 也可以用同样的方法 来描述h a u s d o r f r 维数 测度和维数是分形理论及应用中最基本的数学概念 理解测度及维数概念对 于分形理论及其应用是很重要的 所谓测度就是集合大小的一种度量 正如长度 用于量度线段 面积用于量度正方形以及体积用于度量立方体等等的情形一样 测度是内容更广泛 形势更一般的特殊集函数 维数是基于测度上的一个数学概 念 用于表示集合占有空间的大小 分形维数也是表述分形集合复杂性的一种数 量 豪斯道夫测度是分形理论及其应用中最基本的一种测度 它是勒贝格测度在维 数不一定是整数时的推广 大自然中存在大量的只是在统计意义下的自相似体 为了解决这类物体的分维 计算 发展了计算容量维数方法 我们最常用到的是盒子计数法 6 甜 扰刀f f 嘲 计算相似比复杂图形时 采用小方块 或圆片 去覆盖 或填充 被测对象 统计 覆盖所需的方块数来计算其维数d 现用长度为 尺予去测长度为 的线段 三与 之比为 值的大小 与 长短有关 越小 越大 三 芘l 对于平面 对于立方体 对于d 维物体 芘1 2 l 3 l i 觋 r i d 取对数得容量维数 州i m r 幽 o l l g 1 1 3 维数和测量有密切关系 为了测量一块平面图形的面积 可以用一个边长为 面积为 2 的 标准 方块去覆盖它 所得的方块数就是它的面积 以 2 为单位 如果用标准长度 去测面积 那就会得到无穷大 相反 用标准立体 3 去测没有体 积的平面 结果则是零 河南人学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 用刀维的标准体 去测量某个几何对象时 只有 2 与拓扑维d 一致时 才能 得到有限的结果 如果刀 d 则得到0 由此得出结论 对于一个有确定维数的几何体 只有用与它相同维数的 尺 去量 则可得到一确定 的数值 若用低于它维数的 尺 去量它 结果为无穷大 若用高于它维数的 尺 去量它 结果为零 其数学表达式为 o c 厂一 两边取对数可得 巩 l n l n 1 1 4 式中的d 就称为h a u s d o r f r 维数 以瑞典数学家v o nk o c h 在1 9 0 4 年首次提出的k o c h 曲线为例 如图1 3 按 式 1 4 k o c h 曲线的h a u s d o r f r 维数可表示为 等 l 2 6 8 因此巩并非恒为整数 也可以是个分数 它定量地表示了k o c h 曲线的复杂 程度 m a l l d e l b r o t 推广了h a u s d o r f f 维数并在19 8 2 年指出 h a u s d o 柞b e s i c o v i t c h 维 数严格大于其拓扑维数的集合称为分形 但实际中我们很难利用这个判定法去判 定是否是分形 1 9 8 6 年 他修改了这一尝试性定义 提出 其组成部分以某种方式 与整体相似的形体叫分形 这个定义非常简洁明了 在实际应用中很多学者利用 这个定义直接观察某图形是不是分形 1 2 3 分形维数的测量方法 首先要强调的是 在现实世界中 分形维数的定义范围 是客观存在的 既 存在一个上限和下限 也就是说 纯粹数学意义上的分形 在自然界是不存在的 对于现实中存在的物体 说它具有分形的特性 那么在它成立的尺度内 必然存 在上限和下限 只有在某种被限定的观察尺度的范围内 其相似性才成立 分形 1 6 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研冗生侦士学位论文 维数所具有的意义也仅在此范围内 例如 最近有人 19 研究了某些云彩边界的几 何性质 发现存在从1 公里到1 0 0 0 公里的无标度区 这不难理解 小于l 公里的 云朵 更多受当地地形地貌的影响 大于1 0 0 0 公里时 地球曲率开始起作用 以上讨论了分形维数的数学定义 我们从分维的数学定义出发 可以确定分 形维数的测量方法 根据测量参数和步骤的不同 大致可分为如下五类 2 0 1 根据相关函数求维数 2 根据频谱求维数 3 改变观察尺度求维数 4 根据分布函数求维数 5 根据测度关系求维数 以下逐节做简要介绍 1 2 3 1 根据相关函数求维数 自然界存在大量的对象 它们本身并不是严格数学意义上的分形 但是它们 具有分形的明显特征 如果对它们的某些性质 例如密度等 作统计平均 便能找到 一个量 它在双对数图上随长度标尺增加而线性减小 这样的对象称为无规分形 无规分形又称为统计分形 它们的自相似性是近似的或者说在统计意义上是成立 的 检验一个对象是否是无规分形的主要办法就是检验它的标度不变性 一种有 效办法就是计算密度 密度关联函数 雨 古 撕 枷 1 5 它代表相距为厂的两个点的密度 这两个点均为对象内部的点 关联 是数学 期望值 设集团内有n 个粒子 粒子数n 等于体积v 1 5 式给出了如果在 处存在一个粒子 则在厂 处找到一个粒子的概率 如果 属于集团 则应有 p l 否则便为o 通常的分形是各项同性的 关联函数不依赖于方向 因此 1 7 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 密度 密度关联函数c 只与r 有关 即c c 现将 1 5 式作为分形几何判据的出发点 假设由 1 5 式决定的关联函数 在任何一个因子b 的长度重标变换下是不变的 c 6 o c6 一口c 6 1 6 显然 只有当c r 函数满足 c 口 1 7 幂率关系时 口是大于o 而小于欧式维数d 的非整数 才能满足 1 6 式的泛函 方程 1 7 式说明 在无规分形内 密度是代数衰减的 因为密度 密度关联函 数正比于围绕该点的密度分布 现举例计算一个对象中半径为l 的球内的粒子数n l 上 o crc dd o c 扣口 1 8 根据分形维数的定义 可得 办 d 一口 1 9 这种确定d 的方法在无规分形中广泛地被采用 相关函数是最基本的统计量之一 相关函数经傅立叶变换后的波谱f 尼 在 0 d d l 时 成为下列幂型 露 4 f 办c s 2 万舫 c 芘尼d 一 一1 1 1 0 1 2 3 2 根据频谱求维数 根据观测对空间或时间的随机变量的统计性质进行调查时 往往可以较简单 地得到与波数变化相对应的频谱 从频谱的角度来看 所谓改变观察的尺度就是 改变截止频率正 此处所指的截止频率 指的是把较此更细小的振动成分舍去的 界限频率 应此 如果说某变动是分形 那么也就等于说即使变换截止频率以也 不改变频谱的形状 这等同于 即使进行观测尺度的变换 一旯的波谱形状也 l 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 不变 具有这种性质的频谱s 只限于下述幂型 s 厂 o c 厂 1 11 其中 称为功率谱指数 另一方面 若时间序列尸 f 是分形现象 则它的标度率应是 尸 f 芘f 口 1 1 2 其中口为标度指数 由量纲分析 尸2 f 芘芦 厂 1 1 3 所以有 2 口 1 1 1 4 若把单变量的时间序列看成是一条直线 它应该是一维的 频率的波动是在 直线上叠加不均匀的涨落造成的 故其拓扑维d l 分形维数d 和口的关系为 d d 1 一口 1 1 5 对d 1 的单变量时间序列d 2 一口 因此有 d 半 1 1 6 根据式 1 1 6 可通过功率谱指数夕求得分形维数d 1 2 3 3 改变观察尺度求维数 采用改变观察尺度求维数是用圆和球 线段和正方形 立方体等具有特征长 度的基本图形去近似分形图形 例如用长度为 的线段集合近似海岸线那样的复 杂曲线 方法是 先把曲线的一端作为起点 然后以此点为中心画一个半径为 的 圆 把此圆与曲线最初相交的点和起点用直线连结起来 再把此交点重新看作起 点 以后反复进行同样的操作 如图卜6 用长度为 的折线去近似上面的海岸线 时 把测得的线段总数记作 如果改变基准长度 则 也要变化 1 9 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 图1 6 用折线近似海岸线 如果海岸线是笔直的 则有以下的公式 1 芘二 1 1 1 7 的关系式能够成立 如果把基准长度 变小 这时能测出 大时被漏掉的细致构造 所以需要更多的小线段 因 已变小 来近似海岸线 一般地说 如果某曲线具有 一d 1 1 8 关系 即可称d 为这一曲线的维数 参看图卜7 可以把此方法进行以下扩展 首先 用间隔为 的格子把平面分 割成边长为 的正方形 然后数出此平面上至少包含一个点的正方形的个数 并把 此数记为 p 如果当 取不同的大小时 式 1 1 8 成立 则d 就是平面上点的 分布的维数 如果平面上的点是均匀地致密排列并覆盖住整个平面 此时d 2 与直线时一样 它与经验维数相一致 这个方法不仅适用于曲线和点的分布 也 适用于像河流这样有大量分岔的图形 所以是个很有用的方法 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕十学位论文 钐殇彰 钐殇彩 彩 彩彩彩彩 钐够 图卜7 改变尺度求平面上点的分布维数 1 2 3 4 根据分布函数求维数 月面照片上的不同大小的月坑 如果只看照片 其真实大小是完全看不出来 了 如果说照片上的月坑是1 0 0 0 k m 就会觉得它很大 如果说它是5 0 c m 也只会 使人感觉到它是如此之小 并不会特别使人抱有不自然之感 如图1 8 所示月球表 面照片 月坑的大小分布并没有特征长度 当考虑这种分布大小时 可以从其分 布函数的类型即可求的分形维数 图1 8 月球表面照片 r 1 0 0 0 k m 还是r 5 0 c m 1 2 3 5 根据测度关系求维数 2 l 塑堕 大堂堡垒望里童些兰塑 璧塑窒竺堡 兰垡笙茎 这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的 如果把一个立方 体的每边的边长扩大到原来的2 倍 那么二维测度的表面积即为2 2 倍 三维测度 的体积为2 3 倍 因此若把一个量的单位长度扩大到2 倍 并假定它能具有2 d 的量 那么此量为也可以称之d 维数的 具体如何找到这个关系 要具体问题具体分析 这里从略 1 2 4 实际测量中码尺与分形维数关系 在分形维数的数学定义中 要求码尺趋于零时的极限存在 但是对于不同学 科中研究的分形以及自然界存在的分形 一般说来并不存在无穷的嵌套结构 而 只存在有限的嵌套层次 所以 码尺万的范围选择关系到测量的分形维数的有效性 和准确性 码尺的选择原则是 码尺的长度单位与分形存在层次的尺度单位相一致 近 几年来国内外一些学者的研究表明 对实际分形体而言 测量的分形维数值随码 尺改变而变化 也就是说 对同一分形体由于选取的码尺不同 会得到不同的分 维值 分维不确定性的产生原因是由于 实际存在的分形体不具有无限层次的自相 似结构 把适用于无限层次分形体的公式用于实际的有限层次分形体 就有可能 产生分维不确定性 所以 测量码尺万存在一个合理的取值范围 当民 万 万一 时 测得的有限层次分形体的分维是一确定值d 在这里瓯是下临界点 是 上临界点 当万 万懈时 测得的分维值d l m a 则我们认为该粒 了不能被粘合 令其消失 即把其颜色设成背景色 并返回程序 3 如图3 1 所示 中心用较黑较粗圆周标示的粒子是中心粒予 最后一个被粘合 的粒子我们用虚框标示 而用长划线标示的运动到r m a x 外的粒子则消失 i x i l y i r o 是一个平面方位阱 r o 为有效力程 即为位阱宽度 粘合表示键合 位阱足够深 意味着强吸引 反应速度就越快 在程序中我们首先设定r o 5 每粘合一个粒予我们要判断该粒子到中心粒子的 距离d i s t 如果d i s t r o 则把d i s t 的值赋予r o 由此可 见r o 是变化的 但不是一直变化的 只有当被粘合粒了到中心粒子的距离d i s t r o 时 r o 才变化一次 并且我们还可以看到r o 其实每次变化最多只能有一个格点的距 离 但当我们释放粒子数很多时 我们会发现r o 的变化还是很显著的 3 6 河南大学理论物理专业2 0 0 5 级研究生硕士学位论文 图3 1 改进型d l a 模型示意图 图3 1 中的中心黑实心粒子的是我们设定的中心凝聚粒子 r 是产生随机粒子 的圆半径 r 0 是凝聚区域半径 r m a 是逃逸区域半径 有两种粘合方式 n n 粘 合方式是上 下 左 右四个最近邻位置 m 州粘合方式是在n n 粘合方式基础 上再加上左上 左下 右上 右下四