2018版高中数学数列2.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用学案新人教B版.docx

第2课时等比数列前n项和的性质及应用1.掌握等比数列前n项和的性质的应用.(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(重点)3.能用分组转化方法求数列的和.(重点、易错点)基础初探教材整理等比数列前n项和的性质阅读教材P51练习B第2题及习题23A第6题，完成下列问题.等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列.性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm.在等比数列中，若项数为2n(nN)，则q.Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列.1.下列说法正确的是_.(填序号)(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2.(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1.(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列.(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.【解析】(1)错误.因为由等比数列前n项和的性质q，得q.(2)错误.因为由Snqn知在Sna3n113n1中1，故a3.(3)正确.因为a3a4q2(a1a2)，a5a6q4(a1a2)，所以a1a2，a3a4，a5a6成等比数列.(4)错误.因为在等比数列中Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，故S3，S6S3，S9S6成等比数列.【答案】(3)2.已知等比数列an的公比q，则_.【解析】q，3.【答案】33.等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_.【解析】法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.法二：设数列an的首项为a1，公比为q，显然q1，则由得1q55，所以q54，代入得，所以S15(143)210.【答案】210小组合作型等比数列前n项和性质应用(1)等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A.28B.32C.21D.28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_.【精彩点拨】(1)由S2，S4S2，S6S4成等比数列求解.(2)利用 q，及S2nS奇S偶求解.【自主解答】(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列.即7，S47,91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2.S428.(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则q3即S13S2.又S1S2S8032，S132，解得S124.即a2a4a6a8024.【答案】(1)A(2)241.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0).2.等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1).3.等比数列an的公比为q，则SnmSnqnSm.4.若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(A0，q0且q1)，则数列an成等比数列.再练一题1.(1)等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n_. 【导学号：18082037】【解析】(1)根据题意得q2.(2)设S2nx，S4ny，则2，x2,14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n30.【答案】(1)2(2)30分组求和法已知数列an：a1，a2，a3，an，构成一个新数列：a1，(a2a1)，(anan1)，此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列an的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.【精彩点拨】通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了.【自主解答】(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1.(2)Sna1a2a3ann(2n1).分组转化求和法的应用条件和解题步骤：(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.(2)解题步骤再练一题2.求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.【解】Sn246(2462n)n(n1).探究共研型等差、等比数列的性质应用对比探究1已知an为等差数列，且a36，a66，则an_；若将an改为等比数列，则an_.【提示】法一：若an为等差数列，则解得a114，d4，所以an4n18，若an为等比数列，则解得a16，q1，所以an6(1)n16(1)n.法二：若an为等差数列，由663d得d4，所以an6(n3)4即an4n18.若an为等比数列，由6(6)q3得q1，所以an(6)(1)n36(1)n.探究2在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则abc_，abc_，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？【提示】若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b4；1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a2，c8，故abc14，abcb364；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求abc及abc.探究3若Sn为等差数列an的前n项和，已知S21，S43，则S6_，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？【提示】若 an为等差数列，则S2，S4S2，S6S4也为等差数列，即1,2，S63成等差数列，所以S6314，则S66；若an为等比数列，则1,2，S63成等比数列，所以S634，则S67.设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN，求bn的前n项和Tn.【精彩点拨】(1)解决an的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d.(2)解决本小题关键是认识到是数列的前n项和.求解时先利用“Sn与an的关系”求出的通项，再求出bn，进一步求和.【自主解答】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN.(2)由已知1，nN，当n1时，；当n2时，1.所以，nN.由(1)知an2n1，nN，所以bn，nN.所以Tn，Tn.两式相减，得Tn，所以Tn3.1.本题对于1式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法.2.求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件.(2)分清是an与an1的关系，还是an与Sn的关系.(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意anSnSn1(n2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用.(4)整理求解.再练一题3.数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1).(1)求an的通项公式； 【导学号：18082038】(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.【解】(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减，得an1an2an，an13an(n2).又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，得b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d.又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2.解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2.Tn3n2n22n.1.等比数列1，a，a2，a3，(a0)的前n项和Sn()A.B.C.D.【解析】当a1时，Snn；当a1时，Sn.【答案】C2.数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A.B.C.D.【解析】依题意bn，所以bn的前10项和为S10，故选B.【答案】B3.设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_. 【导学号：18082039】【解析】法一：设公比为q(q0)，由题意知q1，根据等比数列前n项和的性质，得1q33，即q32.于是.法二：因为an是等比数列，所以S3，S6S3，S9S6成等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，设S3m(m0)，则S63m，所以4m2m(S93m)，解得S97m，所以.【答案】4.在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_.【解析】法一：当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由题意知an为等比数列，a13k2，k1.法二：由题意，an是等比数列，a13k，