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文档简介

3 函数的单调性 2 函数单调性的证明 学习目标 1 掌握定义法证明函数的单调性的一般步骤 2 体会数形结合思想在解决函数问题中的作用 复习回顾 1 函数单调性的概念2 判断函数单调性的一般方法3 常见的几类函数的单调区间和单调性 1 单调性概念 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两个数x1 x2 A 图像特征 从左往右看图像上升 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么 就称函数y f x 在区间A上是增加的 有时也称函数y f x 在区间A上是递增的 区间A为函数的增区间 当x1f x2 那么 就称函数y f x 在区间A上是减少的 有时也称函数y f x 在区间A上是递减的 区间A为函数的减区间 从左往右看图像下降 2 判断函数单调性的一般方法 根据函数图象的上升和下降 找出单调区间 6 5 2 1 3 4 5 7 8 上是增加的 5 2 1 3 4 5 7 8 9 上是减少的 3 常见的几类函数的单调性 思路 1 分类讨论 系数 a k 大于0和小于0 2 借助函数图像来分析 思考 如何从逻辑推理的角度来证明函数的单调性 从定义 概念 出发 例1判断函数f x 3x 2的单调性 并加以证明 解作出f x 3x 2的图像 由图看出 函数的图在R上是上升的 函数是R上的增函数 所以f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 任取x1 x2 R 设x1 x2 取值 作差 变形 定号 即f x1 f x2 所以 函数f x 3x 2是R上的增函数 证明 下结论 用定义证明函数的单调性的步骤 1 任取某个单调区间上任意二值 并设x1 x2 2 作差f x1 f x2 3 判断f x1 f x2 的符号 4 作结论 方法小结 例2说出函数的单调区间 并指明在该区间上的单调性 函数是减函数吗 解 0 和 0 都是函数的单调区间 在这两个区间上函数减少 不是 当x1 1 x2 1时 有f x1 f x2 例3 证明函数f x x3在R上是增函数 证明 设x1 x2是R上任意两个实数 且x10所以f x1 f x2 0即f x1 f x2 所以f x x3在R上是增函数 判断f x1 f x2 的符号的一般方法 方法小结 将和 差 的形式转化为积 商 的形式 具体方法 因式分解 配方 提取公因式 分子有理化 抽象函数单调性的判断 用定义证明函数的单调性的步骤 1 任取某个单调区间上任意二值 并设x1 x2 2 作差f x1 f x2 3 判断f x1 f x2 的符号 4 作结论 分解因式 得出因式 x1 x2
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