高考数学一轮总复习 第十四章 推理与证明课件 理 新人教B版.ppt

第十四章推理与证明 高考理数 一 推理 知识清单 二 证明1 直接证明 2 间接证明反证法 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 反证法证明问题的一般步骤 反设 假设要证的结论不成立 而设结论的反面成立 否定结论 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 推导矛盾 立论 既然原命题的结论的反面不成立 从而肯定了原命题成立 命题成立 三 数学归纳法1 数学归纳法的定义由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法 根据推理过程中考察的对象是事物的全体还是部分 可分为完全归纳法和不完全归纳法 2 数学归纳法证题的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n n0 n0 n 时 命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时 命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 只要完成以上两个步骤 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 知识拓展 数学归纳法的应用1 数学归纳法与递推思想数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 2 如何正确运用数学归纳法用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 要做到 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 因此必须注意以下两点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 2 递推是关键数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程中 必须把 n k 时的归纳假设作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 归纳假设要用一次或几次 归纳推理的一般步骤 例1 2015广东湛江一模 10 5分 由正整点坐标 横坐标和纵坐标都是正整数 表示的一组平面向量ai i 1 2 3 n 按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图 规则 n n 第n行共有 2n 1 个向量 若第n行第k个向量为am 则am 例如a1 1 1 a2 1 2 a3 2 2 a4 2 1 依此类推 则a2015 突破方法 方法1归纳推理 a 44 11 b 44 10 c 45 11 d 45 10 解析 第n行共有 2n 1 个向量 前n行共有1 3 5 2n 1 n2个向量 442 2015 452 且442 1936 a2015是第45行第79个向量 a2015 45 11 故选c 答案c1 1 2016湖北黄冈一模 11 5分 观察下列事实 x y 1的不同整数解 x y 的个数为4 x y 2的不同整数解 x y 的个数为8 x y 3的不同整数解 x y 的个数为12 则 x y 20的不同整数解 x y 的个数为 a 76b 80c 86d 92答案b解析由已知条件 得 x y n n n 的整数解 x y 的个数为4n 故 x y 20的不同整数解 x y 的个数为80 故选b 1 2 2016湖北罗田一模 14 5分 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 答案 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1 3 5 2n 1 解析考查规律的观察 概况能力 注意项数 开始值和结束值 第n个等式可为 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1 3 5 2n 1 类比推理的一般步骤 例2 2014江西南昌3月模拟 12 5分 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 解析 两个正三角形是相似三角形 它们的面积比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积比是相似比的立方 它们的体积比为1 8 答案1 82 1 2016贵州都匀二模 10 5分 已知正三角形内切圆的半径是其高的 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论是 a 正四面体的内切球的半径是其高的b 正四面体的内切球的半径是其高的 方法2类比推理 c 正四面体的内切球的半径是其高的d 正四面体的内切球的半径是其高的答案c解析原问题的解法为等面积法 即s ah 3 ar r h 类比问题的解法应为等体积法 v sh 4 sr r h 即正四面体的内切球的半径是其高的 故选c 应用反证法证明数学命题 一般有下面几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设 q 第三步 由p和 q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设 q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知条件矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 例3 2012江苏 20 16分 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an 1 n n 1 设bn 1 1 n n 求证 数列是等差数列 2 设bn 1 n n 且 an 是等比数列 求a1和b1的值 方法3间接证明 解题导引 1 an 1变形 两边平方可证结论 2 基本不等式10 bn 0 所以 an bn 2 从而10知q 0 下证q 1 若q 1 则a1 logq时 an 1 a1qn 与 矛盾 8分 若0a2 1 故当n logq时 an 1 a1qn1 于是b1 b2 b3 又由a1 得bn 所以b1 b2 b3中至少有两项相同 矛盾 14分 所以a1 从而bn 所以a1 b1 16分 3 1等差数列 an 的前n项和为sn a1 1 s3 9 3 1 求数列 an 的通项an与前n项和sn 2 设bn n n 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 解析 1 由已知得 d 2 故an 2n 1 sn n n 2 证明 由 1 得bn n 假设数列 bn 中存在三项bp bq br p q r互不相等 成等比数列 则 bpbr 即 q 2 p r q2 pr 2q p r 0 p q r n pr p r 2 0 p r 与p r矛盾 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 由k到k 1的证明中寻找由k到k 1的变化规律是难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的证明方法 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等方法 或从p k 出发拼凑p k 1 或从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的 结合点 以便顺利过渡 切实掌握 观察 归纳 猜想 证明 这一特殊到一般的推理方法 例4 2014大纲全国 22 12分 函数f x ln x 1 a 1 1 讨论f x 的单调性 2 设a1 1 an 1 ln an 1 证明 0 f x 在 1 a2 2a 上是增函数 若x a2 2a 0 则f x 0 f x 在 a2 2a 0 上是减函数 方法4数学归纳法的应用 若x 0 则f x 0 f x 在 0 上是增函数 4分 ii 当a 2时 f x 0 f x 0成立当且仅当x 0 f x 在 1 上是增函数 iii 当a 2时 若x 1 0 则f x 0 f x 在 1 0 上是增函数 若x 0 a2 2a 则f x 0 f x 在 a2 2a 上是增函数 6分 2 由 1 知 当a 2时 f x 在 1 上是增函数 当x 0 时 f x f 0 0 即ln x 1 x 0 又由 1 知 当a 3时 f x 在 0 3 上是减函数 当x 0 3 时 f x f 0 0 即ln x 1 0 x 3 9分 下面用数学归纳法证明 an i 当n 1时 由已知 a1 1 故结论成立 ii 设当n k时结论成立 即 ak 当n k 1时 ak 1 ln ak 1 ln ak 1 ln ak 1 ln0 设fn x 为fn 1 x 的导数 n n 1 求2f1 f2的值 2 证明 对任意的n n 等式 都成立 解析 1 由已知 得f1 x f 0 x 于是f2 x f 1 x 所以f1 f2 故2f1 f2 1 2 证明 由已知 得xf0 x sinx 等式两边分别对x求导 得f0 x xf 0 x cosx 即f0 x xf1 x cosx sin 类似可得2f1 x xf2 x sinx sin x 3f2 x xf3 x cosx sin 4f3 x xf4 x sinx sin x 2 下面用数学归纳法证明等式nfn 1 x xfn x sin对所有的n n 都成立 i 当n 1时 由上可知等式成立 ii 假设当n k时等式成立