高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理.ppt

第八章立体几何 8 6立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一向量作为它的方向向量 2 平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 那么称向量n垂直于平面 记作n 此时 我们把向量n叫做平面 的法向量 非零 知识梳理 1 答案 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v u u1 u2 答案 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 0 v1 v2 v1 v2 0 v u u1 u2 u1 u2 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 平面的单位法向量是唯一确定的 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 5 若a b 则a所在直线与b所在直线平行 6 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行 答案 思考辨析 1 平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k 解析 两平面法向量平行 4 k 4 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析设n x y z 为平面abc的法向量 x y z 正确 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知直线l的方向向量为v 1 2 3 平面 的法向量为u 5 2 3 则l与 的位置关系是 解析 v u 0 v u l 或l l 或l 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 设u v分别是平面 的法向量 u 2 2 5 当v 3 2 2 时 与 的位置关系为 当v 4 4 10 时 与 的位置关系为 解析当v 3 2 2 时 u v 2 2 5 3 2 2 0 当v 4 4 10 时 v 2u 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线on am的位置关系是 on与am垂直 垂直 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 题型一利用空间向量证明平行问题 解析答案 证明 平面pad 平面abcd 且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 解析答案 pb 平面efg pb 平面efg 本例中条件不变 证明平面efg 平面pbc 又 ef 平面pbc bc 平面pbc ef 平面pbc 同理可证gf pc 从而得出gf 平面pbc 又ef gf f ef 平面efg fg 平面efg 平面efg 平面pbc 引申探究 解析答案 思维升华 思维升华 1 恰当建立空间直角坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 如图 在四面体a bcd中 ad 平面bcd bc cd ad 2 bd m是ad的中点 p是bm的中点 点q在线段ac上 且aq 3qc 证明 pq 平面bcd 解析答案 跟踪训练1 证明方法一如图 取bd的中点o 以o为原点 od op所在射线分别为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系o xyz 设点c的坐标为 x0 y0 0 解析答案 又pq 平面bcd 所以pq 平面bcd 解析答案 方法二在线段cd上取点f 使得df 3fc 连结of 同方法一建立空间直角坐标系 写出点a b c的坐标 设点c坐标为 x0 y0 0 解析答案 又pq 平面bcd of 平面bcd pq 平面bcd 例2如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 命题点1证线面垂直 题型二利用空间向量证明垂直问题 解析答案 证明方法一设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m 解析答案 解析答案 方法二如图所示 取bc的中点o 连结ao 因为 abc为正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 解析答案 解析答案 故ab1 平面a1bd 例3如图 在三棱锥pabc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 命题点2证面面垂直 解析答案 证明如图所示 以o为坐标原点 以射线op为z轴的正半轴建立空间直角坐标系o xyz 则o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 2 若点m是线段ap上一点 且am 3 试证明平面amc 平面bmc 解析答案 思维升华 证明由 1 知ap 5 又am 3 且点m在线段ap上 解析答案 思维升华 又根据 1 的结论知ap bc 且bm bc c ap 平面bmc 于是am 平面bmc 又am 平面amc 故平面amc 平面bmc 思维升华 思维升华 证明垂直问题的方法 1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 其一证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 其二证明线面垂直 只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可 当然 也可证直线的方向向量与平面法向量平行 其三证明面面垂直 证明两平面的法向量互相垂直 利用面面垂直的判定定理 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 1 如图所示 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 de 平面abc 跟踪训练2 解析答案 证明如图建立空间直角坐标系a xyz 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 取ab中点为n 连结cn 则n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 又 nc 平面abc de 平面abc 故de 平面abc b1f 平面aef 解析答案 2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 角 求证 cm 平面pad 解析答案 证明以c为坐标原点 分别以cb所在直线为x轴 cd所在直线为y轴 cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系c xyz pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd所成的角 pbc 30 解析答案 cm 平面pad 求证 平面pab 平面pad pb ab be pa 又pa da a be 平面pad 又 be 平面pab 平面pab 平面pad 解析答案 例4如图 棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都等于2 abc和 a1ac均为60 平面aa1c1c 平面abcd 1 求证 bd aa1 题型三利用空间向量解决探索性问题 解析答案 证明设bd与ac交于点o 则bd ac 连结a1o 在 aa1o中 aa1 2 ao 1 a1ao 60 a1o ao 由于平面aa1c1c 平面abcd a1o 平面aa1c1c 平面aa1c1c 平面abcd ao a1o 平面abcd 解析答案 以ob oc oa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 2 求二面角d a1a c的余弦值 解析答案 解由于ob 平面aa1c1c 平面aa1c1c的一个法向量为n1 1 0 0 设n2 x y z 为平面daa1d1的一个法向量 3 在直线cc1上是否存在点p 使bp 平面da1c1 若存在 求出点p的位置 若不存在 请说明理由 解析答案 思维升华 解假设在直线cc1上存在点p 使bp 平面da1c1 解析答案 思维升华 取n3 1 0 1 因为bp 平面da1c1 即点p在c1c的延长线上 且c1c cp 思维升华 思维升华 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 一种是根据条件作出判断 再进一步论证 另一种是利用空间向量 先设出假设存在点的坐标 再根据条件求该点的坐标 即找到 存在点 若该点坐标不能求出 或有矛盾 则判定 不存在 在四棱锥p abcd中 pd 底面abcd 底面abcd为正方形 pd dc e f分别是ab pb的中点 1 求证 ef cd 跟踪训练3 解析答案 证明如图 分别以da dc dp所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ad a 则d 0 0 0 a a 0 0 b a a 0 2 在平面pad内求一点g 使gf 平面pcb 并证明你的结论 解析答案 返回 若使gf 平面pcb 则 返回 思想与方法系列 典例 14分 2014 湖北 如图 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e f m n分别是棱ab ad a1b1 a1d1的中点 点p q分别在棱dd1 bb1上移动 且dp bq 0 2 1 当 1时 证明 直线bc1 平面efpq 17 利用向量法解决立体几何问题 思想与方法系列 解析答案 规范解答证明以d为原点 射线da dc dd1分别为x y z轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 1分 解析答案 而fp 平面efpq 且bc1 平面efpq 故直线bc1 平面efpq 6分 2 是否存在 使平面efpq与平面pqmn所成的二面角为直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 解析答案 温馨提醒 返回 解设平面efpq的一个法向量为n x y z 于是可取n 1 同理可得平面pqmn的一个法向量为m 2 2 1 10分 若存在 使平面efpq与平面pqmn所成的二面角为直二面角 则m n 2 2 1 1 0 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 返回 温馨提醒 1 利用向量法证明立体几何问题 可以建坐标系或利用基底表示向量 2 建立空间直角坐标系时 要根据题中条件找出三条互相垂直的直线 3 利用向量除了可以证明线线平行 垂直 线面 面面平行 垂直外 还可以利用向量求夹角 距离 从而解决线段长度问题 体积问题等 思想方法感悟提高 1 用向量法解决立体几何问题 是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工具性 这种方法可把复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 2 两种思路 1 选好基底 用向量表示出几何量 利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断 2 建立空间直角坐标系 进行向量的坐标运算 根据运算结果的几何意义解释相关问题 方法与技巧 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b r 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 设点c 2a 1 a 1 2 在点p 2 0 0 a 1 3 2 b 8 1 4 确定的平面上 则a 则 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知平面 内有一点m 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点p中 在平面 内的是 p 2 3 3 p 2 0 1 p 4 4 0 p 3 3 4 点p在平面 内 同理可验证其他三个点不在平面 内 解析答案 ab与平面cde平行或在平面cde内 平行或在平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 面内 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 如图 正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直 ab af 1 m在ef上 且am 平面bde 则m点的坐标为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析如图建立坐标系 设m点的坐标为 x y 1 ac bd o am 平面bde 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知平面 内的三点a 0 0 1 b 0 1 0 c 1 0 0 平面 的一个法向量n 1 1 1 则不重合的两个平面 与 的位置关系是 解析设平面 的法向量为m x y z m 1 1 1 m n m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ab ap ad ap 则 正确 7 如图 四棱锥p abcd的底面为正方形 侧棱pa 底面abcd 且pa ad 2 e f h分别是线段pa pd ab的中点 求证 1 pb 平面efh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 h 1 0 0 pb 平面efh 且eh 平面efh pb 平面efh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 2 pd 平面ahf pd af pd ah 又 af ah a pd 平面ahf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 8 如图 四边形abcd为正方形 pd 平面abcd pd qa qa ab pd 证明 平面pqc 平面dcq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 证明如图 以d为坐标原点 线段da的长为单位长 射线da dp dc分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系d xyz 依题意有d 0 0 0 q 1 1 0 c 0 0 1 p 0 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 又dq dc d pq 平面dcq 又pq 平面pqc 平面pqc 平面dcq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即pq dq pq dc 9 如图 在底面是矩形的四棱锥p abcd中 pa 底面abcd e f分别是pc pd的中点 pa ab 1 bc 2 1 求证 ef 平面pab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明以a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 ap所在直线为z轴 建立如图空间所示的空间直角坐标系 解析答案 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 2 0 d 0 2 0 p 0 0 1 又ab 平面pab ef 平面pab ef 平面pab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求证 平面pad 平面pdc 又ap ad a dc 平面pad dc 平面pdc 平面pad 平面pdc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 10 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别是棱bc dd1上的点 如果b1e 平面abf 则ce与df的和的值为 解析以d1a1 d1c1 d1d分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设ce x df y 则易知e x 1 1 b1 1 1 0 f 0 0 1 y b 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 11 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 p为正方形a1b1c1d1四边上的动点 o为底面正方形abcd的中心 m n分别为ab bc的中点 点q为平面abcd内一点 线段d1q与op互相平分 则满足 的实数 有 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析答案 解析建立如图的空间直角坐标系 设正方体的边长为2 则p x y 2 o 1 1 0 又知d1 0 0 2 q x 1 y 1 0 而q在mn上 xq yq 3 x y 1 即点p坐标满足x y 1 有2个符合题意的点p 即对应有2个 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 如图 在长方体abcd a1b