穩定度之分析與迴授補償控制器

穩定度之分析與迴授補償控制器之設計 交換式電源供給器報告 交換式電源供給器之理論與實務設計梁適安編著 第六章 內容大綱 前言頻率響應轉換器之迴授原理與穩定度準據轉換器系統之穩定度分析迴授補償網路之結構與設計 前言 在交換式電源轉換器之系統中 整個架構可視為負迴授型式 因此可使用頻率響應 frequencyresponse 法來決定穩定度之程度 而一個系統的頻率響應就是系統饋入正弦輸入信號時的穩定狀態響應 其輸出信號和系統內各處信號都是正弦的 它們和輸入信號只是大小 magnitude 和相位 phase 的不同而已 頻率響應特色 優點 容易取得各種不同頻率範圍和大小的正弦信號 所以利用實驗方法則可容易獲致系統的頻率響應 系統正弦穩定行為的轉移函數容易求得 只要將系統轉移函數中的用來取代即可 2 相位以度為單位對或的圖形 振幅之大小以分貝 dB 為單位對或的圖形 波德圖 在頻率響應中 最有用的方法於Bell實驗室發展出來的波德圖或稱之轉角圖 而波德圖包含兩個圖 波德圖的特色 振幅大小是以分貝表示 因此在轉移函數中含乘與除的項取對數變成加與減 相位也是各項的相位加減取得 系統的行為可以廣泛的表現出來 即可表現出系統的高低頻的行為 可以完全依據波德圖設計補償器 可提供其他頻域圖所需資料 如極座標圖或大小相位圖 頻率響應 若要表現出轉換器在頻域中的形式 則可將時域中的這些方程式以拉普拉斯轉換 6 1 R s 為輸入驅動信號C s 為輸出信號C s R s 之比值 則定義為轉移函數G s G s 即表示為轉換器系統輸出信號之拉普拉斯轉換對輸入驅動信號之拉普拉斯轉和之比 頻率響應 如圖6 1所示 而由此函數即可得知 其結合了增益大小與相位之特性 頻率響應 在 6 1 方程式中 一般定義C s 0的根稱之系統的零點 而R s 0的根則稱之系統極點 轉移函數一可表示為 在此將Z1 Zm或1 T1 1 Tm稱為零點的轉角頻率或轉折頻率 而P1 Pn或1 Ta 1 Tn稱為極點的轉角頻率或是轉折頻率 頻率響應 若要決定增益大小漸進線之變化率 可以用八度或是十進來表示 八度乃指2 1的頻率範圍 即每八度有6dB的斜率 十進則指10 1的頻率範圍 即每十進有 20dB的斜率 增益大小之頻率響應曲線中 遇到極點其響應曲線之斜率是向下轉折的 至於在頻率中的零點 其波德圖的斜率是向上轉折 轉換器之迴授原理 由圖6 2可知電源轉換器可視為閉迴路之負迴授系統 H s 迴授分壓網路G1 s 誤差放大器與補償網路G2 s 脈波寬度調變器與高頻轉換器G3 s 低通濾波器 轉換器之迴授原理 圖6 3閉迴路回授控制系統方塊圖 轉換器之迴授原理 可由圖6 3推導出閉迴路轉移函數 6 4 6 5 6 6 6 7 將 6 4 式 6 5 式代入 6 6 式 則可得 最後 由 6 7 式 可以求得閉迴路轉移函數之表示式 穩定度準則 特性方程式之解為 對於穩定系統系統而言 F s 之根或是其零點都是在S平面的半邊 或是閉迴路轉移函數之極點都是位於S平面的左半邊 若是位於虛軸上或S平面的右半邊 系統就變的不穩定了 特性方程式中的G s H s 項一般稱為迴路轉移函數 G s H s 包含所有關於閉迴路極點的訊息 且也表示出誤差信號與回授信號之間所有迴路之方塊的轉移函數 穩定度準則 在波德圖中 為了分析相對穩定度常利用增益邊限和相位邊限 增益邊限 G M dB 相位交越頻率 增益邊限 當閉迴路系統到不穩定之前 其迴路內所能容許增加的迴路增益 以分貝 dB表示 閉迴路系統之增益邊限定義為 穩定度準則 有時增益邊限不一定能充分表示出所以系統的相對穩定度 所以則須再定義相位邊限來補充增益邊限的不足 相位邊限 P M 增益交越頻率 相位邊限 當閉迴路系統到不穩定之前 其迴路內所能容許增加的相位 閉迴路系統之增益邊限定義為 穩定度準則 波德圖上增益邊限與相位邊限可定義為圖6 4 穩定度準則 理論上 這些參數僅改變G s H s 的相位 對增益的大小無影響 在圖6 5 a 與 b 所示 分別在極座標圖與相位圖所定義之增益邊限與相位邊限 增益邊限可以表示出迴路增益對閉迴路系統穩定的影響 相位邊限則可顯示出其他的系統參數對穩定度的影響 穩定度準則 穩定度準則 穩定度準則 對於交換式電源轉換器系統而言 若要獲得穩定且不振盪的結果 則迴路增益轉移函數的頻率響應需滿足 1 增益交越頻率之增益為0dB 此時曲線斜率為 1 且相移不可低於 180度 2 相位交越頻率之處 其增益大小必須小於0dB 也就是增益邊限必須大於零 圖6 6所示 此圖中Gd s Gp s 為工作週期至輸出轉移函數 可以利用狀態空間平均法求得此部分 亦可推導出輸入至輸出之轉移函數Gi s Gp s 轉換器系統之穩定度分析 圖6 6中 系統方塊圖中Gm s 為調變器的轉移函數 在PWM系統中 誤差信號會與鋸齒波做比較 若誤差信號準位等於鋸齒波電壓時 則工作週期為100 則調變器轉移函數可以表示為 轉換器系統之穩定度分析 Vm為鋸齒波的最大振幅 圖6 6中 系統方塊圖中H s 為回授分壓網絡之轉移函數 其電路型態如圖6 7所示 轉換器系統之穩定度分析 圖6 7中 可以得知各類型的轉移函數 轉換器系統之穩定度分析 由圖6 7 a 得知其轉移函數為 由圖6 7 b 得知其轉移函數為 從上式中 零點比極點更接近原點 所以可視為領前網路 其頻率響應會隨著頻率的變化而改變 圖6 7中 可以得知各類型的轉移函數 轉換器系統之穩定度分析 由圖6 7 c 得知其轉移函數為 從上式中 極點比零點更接近原點 所以可視為落後網路之型式 將已知轉移函數結合在一起 則可以得到控制至輸出之轉移函數為 轉換器系統之穩定度分析 若將分壓網路之轉移函數包含進去 則為 爲了使系統更穩定 則須加入迴授補償網路G1 s 一般補償網路都是配合運算放大器來達成 轉換器系統之穩定度分析 系統方塊各個轉移函數都求得 即可求出轉換器迴路增益轉移函數為 轉移函數之表示式為 如圖6 8所示為在波德圖上控制至輸出之頻率響應曲線 迴授補償網路之結構與設計 設計降壓型轉換器 其參數值如下 迴授補償網路之結構與設計 輸入電壓 Vin 30V 60V輸出電壓 Vo 12V 輸出電流 Io 2A 20A輸出功率 Po 240W 輸出負載 R 6 0 6 交換頻率 fs 40kHz 交換週期 T 25 sec工作週期 D Vo Vin 0 2 0 4關閉時間 toff 0 8 25 sec 20 sec MAX 最大漣波電流 IL 2 minIo 4A MAX 電感值 L Votoff IL 12 20 4 60 H寄生電阻 RL 40m 電容值 C 4000 F等校串聯電阻 ESR 25m max 5m min 鋸齒波形最大振幅 Vm 5V 將參數代入 6 22 式與 6 23 式 並考慮最大輸入電壓與最大負載 可得 迴授補償網路之結構與設計 且 其波德圖頻率響應結果 如圖6 9與圖6 10所示 由此頻率響應曲線可看出其斜率為 2 40dB sec 至於曲線中轉折頻率分別為 圖6 9所示為在波德圖上工作週期至輸出之頻率響應曲線 迴授補償網路之結構與設計 圖6 10所示為在波德圖上控制至輸出之頻率響應曲線 迴授補償網路之結構與設計 當輸入電壓改變時 轉換器之工作週期也會隨之變化 因此 其控制至輸出之響應曲線 如圖6 11 13所示 迴授補償網路之結構與設計 迴授補償網路之結構與設計 迴授補償網路之結構與設計 補償補路之結構可以區分為三種 迴授補償網路之結構與設計 1 超前補償 leadcompensation 2 落後補償 lagcompensation 3 超前 落後補償 lead lagcompensation 超前補償 迴授補償網路之結構與設計 超前之意 即指輸出信號之相位會領先輸入信號 電路中加入超前補償 會對轉換器之影響為 1 增加系統之頻代寬度 導致較快的暫態響應 但容易受雜訊干擾 2 降低overshoot現象 與改善系統相對穩定性 3 增加了轉換器系統之增益交越頻率 0dB時的頻率 4 增加轉換器系統之相位邊限 P M 5 需要額外的增益放大器來補強超前網路在低頻之衰減 6 超前補償對穩態響應只做有限之改進 圖6 14 a 所示為典型的超前補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 14 b 為零點與極點在座標上之位置 而波德圖之頻率響應 則如圖6 14 c 所示 迴授補償網路之結構與設計 圖6 15所示為具有運算放大器的非反相超前補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 15所示為具有運算放大器的非反相超前補償網路 迴授補償網路之結構與設計 圖6 16所示為具有運算放大器的反相超前補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 16所示為具有運算放大器的反相超前補償網路 迴授補償網路之結構與設計 落後補償 迴授補償網路之結構與設計 落後之意 即指輸出信號之相位會落後輸入信號 電路中加入落後補償 會對轉換器之影響為 1 可用於改善穩態誤差 2 會降低頻帶寬度 導致較慢暫態響應 但卻可抑制高頻雜訊 3 低頻信號通行無阻 高頻信號則予以衰減 圖6 17 a 所示為典型的落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 17 b 為零點與極點在座標上之位置 而波德圖之頻率響應 則如圖6 17 c 所示 迴授補償網路之結構與設計 圖6 18所示為具有運算放大器的非反相落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 18所示為具有運算放大器的非反相落後補償網路 迴授補償網路之結構與設計 圖6 19所示為具有運算放大器的反相落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 原點 圖6 19所示為具有運算放大器的反相落後補償網路 迴授補償網路之結構與設計 圖6 20所示之電路亦為反相落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 20所示為具有運算放大器的反相落後補償網路 迴授補償網路之結構與設計 超前 落後補償 迴授補償網路之結構與設計 超前 落後之意 即指輸出信號之相位在不同頻率範圍有落後有超前輸入信號 等於結合超前補償與落後補償之設計方式 已達到改善暫態與穩態響應不良之轉換器系統 圖6 21 a 為RC網路所組成的超前 落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 圖6 21 b 為零點與極點在座標上之位置 而波德圖之頻率響應 則如圖6 21 c 所示 迴授補償網路之結構與設計 波德圖之頻率響應 則如圖6 21 c 所示 迴授補償網路之結構與設計 圖6 22 a 所示為具有運算放大器的反相超前 落後補償網路 其轉移函數為 迴授補償網路之結構與設計 網路中的零點與極點 分別為 零點 極點 原點 圖6 22 a 所示為具有運算放大器的反相超前 落後補償網路 迴授補償網路之結構與設計 圖6 22 b 所示為波德圖頻率響應曲線 迴授補償網路之結構與設計 圖6 23 a