3.1.3导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义基础巩固1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定解析由题图知f(x)在点A,B处的切线斜率kA,kB满足kAkB0.由导数的几何意义,得f(xA)f(xB).答案B2已知曲线y=f(x)=12x2-2上一点P1,-32,则曲线在点P处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.165解析y=12x2-2,y=limx012(x+x)2-2-12x2-2x=limx012(x)2+xxx=limx0x+12x=x.y|x=1=1.曲线在点P1,-32处切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45.故选B.答案B3若曲线y=f(x)=x2在点P处的切线斜率为k,则当k=2时点P的坐标为()A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.-12,-18解析设点P的坐标为(x0,y0),则k=f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx0(x0+x)2-x02x=limx0(x+2x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案C4已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为.解析设P(x0,2x02+4x0),则f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx02(x)2+4x0x+4xx=4x0+4.f(x0)=16,4x0+4=16.x0=3.故点P的坐标为(3,30).答案(3,30)5已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图:则曲线y=f(x)对应图象;曲线y=g(x)对应图象;曲线y=h(x)对应图象.(只填序号)解析由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f(x)对应图象;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g(x)对应图象;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h(x)对应图象.答案6若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.解析设切点坐标为(x0,1),f(x0)=limx02(x0+x)2-4(x0+x)+p-(2x02-4x0+p)x=limx02(x)2+(4x0-4)xx=limx0(2x+4x0-4)=4x0-4,由题意知4x0-4=0,x0=1,即切点坐标为(1,1).1=2-4+p.p=3.答案37若直线l与曲线C满足下列两个条件:(1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x答案8求证:函数f(x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.证明f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0x+x+1x+x-x+1xx=1-1x21,f(x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.9已知曲线y=f(x)=1t-x上的两点P(2,-1),Q-1,12.求:(1)曲线在点P、点Q处的切线的斜率;(2)曲线在点P、点Q处的切线方程.分析由导数的几何意义,可知求曲线在点P、点Q处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.解把P(2,-1)代入y=1t-x,得t=1,即y=11-x.所以y=limx0f(x+x)-f(x)x=limx011-(x+x)-11-xx=limx0x1-(x+x)(1-x)x=limx01(1-x-x)(1-x)=1(1-x)2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y|x=2=1(1-2)2=1,曲