复函复习提要.doc

第一章 复数与复变函数【本章教学目的和要求】：（1） 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义；（2） 理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念；（3） 掌握一些曲线的复数表达式；（4） 理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。 【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线1.1复数1、 复数域：1）概念：每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。2）复数相等：复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。3）共轭复数： 4）复数的四则运算定义为：2、 复平面：C也可以看成平面，我们称为复平面。作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；3、模与幅角：1）向量的长度称为复数的模，定义为：；若2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。3）复数的三角形式与指数形式表示：三角表示定义为：指数表示：4）开方公式： （）4.三点共线问题：两点的参数方程1.2复平面上的点集1 .概念：领域、内点，外点、边界点、开集与闭集2 .区域3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域1.3复变函数1、 单值函数与多值函数2、 极限与连续性：3、 复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，则等价于两个二元实变函数和。1.4复球面与无穷远点1、 引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。2、 无穷远点的邻域：与去心邻域： 第二章 解析函数【本章教学目的和要求】(1) 了解复变函数的可导与微分的概念；（2）理解解析的概念；（3）熟悉复变函数解析的充分条件； (4 ) 了解初等解析函数主要性质。【重点、难点】函数解析性的判断，解析函数的充要条件第一节、 解析函数概念与Cauchy-Riemann条件1、 复变函数的导数与微分2、 解析函数及简单性质：1）定义：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析注1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。2）解析函数的四则运算：3、Cauchy-Riemann条件：定理2.1（点可微必要条件）、定理2.2（点可微充要条件）、定理2.3（点可微充分条件）定理2.4（区域解析的充要条件）定理2.5（区域解析的充分条件）注解2、解析函数的导数形式更简洁：注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：如以及在整个复平面内解析，而在任何点都不可微。第二节：初等函数1、 指数函数：定义复指数函数，为从定义得；指数函数是周期为其基本周期函数；指数函数在整个复平面内有定义并且解析， 2、 三角函数与双曲函数：当时，上述复指数函数，从而得到：。我们规定并分别称为的正弦函数和余弦函数。是奇函数，是偶函数；在平面上是解析的，且；及是为周期的周期函数。 的零点为， 的零点为事实上，可以写成如令即写成故，即：所以是的零点。 在复数域内不能再断言第三节 初等多值函数1 根式函数（1）定义：我们规定根式函数为幂函数的反函数。都变成平面上除去原点及负实轴的区域。这是函数（1）的单叶性区域的分法。（2）分出的单值解析分支（3）的支点和支割线 一般是具有这样性质的点，使得当变点绕这点旋转一周时，多值函数从一支变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，这样的性质的点，就称为支点。是以为支点的。用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称为的支割线2 对数函数（1）定义：我们规定对数函数是指数函数的反函数。即若 （3）则复数为复数的对数，记为令则（3）就是因而故方程（3）的全部根是或称为的主值，于是。（2）分出的单值解析分支仍以为支点3、一般幂函数与一般指数函数第三章 复变函数的积分【本章教学目的和要求】(1) 理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质；(2) 掌握复变函数积分的计算方法；(3) 掌握Cauchy积分定理及其推论；(4) 熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算积分。【重点、难点】柯西积分定理，柯西积分公式及高阶导数公式1.复积分的概念及其简单性质1、复变函数的积分的定义：f(z)沿曲线C的积分，记为于是我们有：积分换元法：，2.复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；（4）。（5）定理3.2（积分估值）如果在C上，|f(z)|N，p=1,2,3,时，必要条件：1）级数的各项有界；2）通项充分条件：级数收敛。2、条件收敛、绝对收敛以及发散的判定3、 复变函数项级数1） 收敛与一致收敛的定义2） 柯西一致收敛准则（复变函数项级数）任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,时，有3）优级数准则：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上， 那么级数在E上绝对且一致收敛。4、 解析函数项级数以及内闭一致收敛定理4.9 （魏尔斯特拉斯定理）4.2幂级数幂级数其中z是复变数，系数是任何复常数。定理4.10 如果幂级数在收敛，那么对满足的任何 z，它都不仅收敛，而且绝对收敛。收敛半径的求法：定理4.13如果的系数满足下列条件之一成立：（1） （2） 那么当时，级数的收敛半径；当时， ；当时， 。4.3、解析函数泰勒展式一、Taylor展式的形式定理4.14、设函数f(z)在圆盘内解析，那么在U内，称为它在U内的泰勒展式。定理4.15函数f(z)在一点解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理4.14中的幂级数展式。2、初等函数在0点的泰勒展式1）,其收敛半径为2）,其收敛半径为3）其收敛半径为4）,其收敛半径为15) 其中，其收敛半径为1。6)，收敛半径为1利用这几类基本初等函数在0点的泰勒展式去求解初等函数在其他点的泰勒展式。4.4、解析函数零点的孤立性和唯一性定理1、 零点的孤立性定义4.7设函数f(z)在的邻域U内解析，并且，那么称为f(z)的零点。2、 m阶零点的判定方法：1） 定义法2） 公式法：其中在U内解析。第五章 洛朗展式及孤立奇点【本章教学目的和要求】（1） 记住几个主要初等函数的泰勒展式，能熟练掌握把一些简单的初等函数展开成洛朗级数的方法（2） 了解孤立奇点的概念，分类及判别方法；【重点、难点】（1） 将函数展开成泰勒级数或罗朗级数以及在不同环域内展开成罗朗级数（2） 孤立奇点的分类5.1解析函数的洛朗展式一、双边幂级数定理5.2 设函数f(z)在圆环：内解析，那么在D内可以展开成洛朗级数：其中，是圆是一个满足的任何数。(不能写成：)例：求函数分别在圆环1|z|2及内的洛朗级数展式。例：在内的洛朗级数展式5.2、解析函数的孤立奇点1、定义：设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。那么在D内，f(z)有洛朗展式2. 一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下（1）、如果当时n=-1,-2,-3,，那么我们说是f(z)的可去奇点，2) 设对于正整数m，,是f(z)的m阶极点（3）、如果有无限个整数n0，使得，那么我们说是f(z)的本质奇点3、定理5.3函数f(z)在内解析，那么是f(z)的可去奇点则下面三个条件是必要与充分条件：1) 存在着极限，其中是一个复数。2) 存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。3) f(z)在的主要部分为零4、定理5.4设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的三个必要与充分条件是：1）定义2）在内，3）以为m阶零点。注：定理5.5设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的极点的必要与充分条件是：。5、定理5.6函数f(z)在内解析，那么是f(z)的本质奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。或者定义判定。5.3、解析函数在无穷远点的性质1、设函数f(z)在区域内解析，那么为函数的孤立奇点2、称分别为级数在点的解析部分和主要部分。3、是f(z)的可去奇点的充要条件： 1）存在有限极限 2）存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。3）定义4、是f(z)的极点或本质奇点的必要与充分条件是：无穷极限或不存在有限或无穷的极限5.4 整函数1）、整函数与亚纯函数的概念：如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在C上，f(z)围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：3） 当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；当f(z)是次多项式时，无穷远点是它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z)的本质奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。第六章 留数【本章教学目的和要求】（1）理解留数的概念，掌握留数的一些求法；（2）理解掌握用留数求闭曲线积分的方法；（3）会用留数求一些实积分。【重点、难点】留数定理，以及将实积分化为复变函数的闭曲线积分，1 留数1、留数定义：称为f(z)在孤立奇点的留数，记作洛朗级数展式中的系数。注：如果是f(z)的可去奇点，那么2、定理6.1（留数