结构优化方法研究综述.pdf

第16卷 第4期 1995年 7月 航 空 学 报 ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA Vol 16 No 4 July 1995 1993年12月22日收到 1994年7月2日收到修改稿 高等学校科学技术基金资助课题016号 结构优化方法研究综述 许素强 夏人伟 北京航空航天大学CAD中心 北京 100083 METHODS OF STRUCTURAL OPTIMIZATION AN OVERVIEW Xu Suqiang Xia Renwei CAD Centre Beijing University of Aeronautics and Astronautics Beijing 100083 摘 要 回顾了结构优化研究的过去 介绍了目前的研究状态 展望了发展的趋势 关键词 结构优化 数学规划 近似概念 优化准则 中图分类号 V222 O224 Abstract The past present and future of structural optimization are reviewed Key words structureal optimization mathemiatical programming approximate concept optimality criterion 1 结构优化的概念及其意义 现代结构优化 亦称结构综合 主要指数值结构优化或计算机结构优化 其研究内容 是把数学规划理论与力学分析方法结构起来 以计算机为工具 建立一套科学的 系统 的 可靠而又高效的方法和软件 自动地改进和优化受各种条件限制的承载结构设计 传统的结构设计方法是设计人员根据经验和判断提出设计方案 随后用力学理论对给 定的方案进行分析 校核 若方案不满足约束限制 人工调整设计变量 重新进行分析 校核 直到找到一个可行方案 即满足各种条件限制的方案 这个设计过程周期长 费用 高 效率低 并且得到的结果仅是可行方案 多数不是最优设计 传统的方法无论是分析 还是设计都存在大量的简化和经验 准确性差 科学技术的发展 工程结构复杂性的增加及其要求的提高 传统的设计方法已不能满 足需要 人们希望一个准确性好又有良好的设计效率的新方法的出现 计算机的出现 使 这种要求成为可能 各种计算机辅助分析 计算机辅助设计技术相继出现 其中有限元分 析 优化设计是主要的基础方法 1960年 Schmit 1 首先引入数学规划理论并与有限元方法结合求解多种载荷情况下 弹性结构的最小重量设计问题 形成了全新的结构优化的基本思想 意味着现代结构优化 技 术的开始 该概念一经出现 很快受到了许多学者尤其是结构设计工程师的关注并开 展了广泛深入的研究 随着计算机的发展 结构分析能力和手段的不断完善 数学寻优技 术的提高 结构优化已成为计算力学中最活跃的分支之一 其研究已有很多综述报 道 2 13 研究的范围十分广泛 从研究层次上看可有尺寸优化问题 形状优化问 题 8 14 16 及材料选择 13 17 拓扑优化问题 13 18 从问题的复杂程度看已经从简单的桁 架设计发展到梁 板 壳等多种复杂元素的结构设计 设计变量有连续性 离散性 19 20 约束从最初的应力 位移发展到稳定 动力特性等 随着对工程设计概念例如可靠性 模 糊等不确定性的因素的认识 相应的优化模型也已提出 基于可靠性概念的优化设 计 21 23 结构模糊优化 24 28 目标函数有单目标 多目标等 25 29 31 目前在航空航 天领域考虑控制因素的结构优化问题 32 35 得到了广泛的注意 结构优化软件系统的开发与基础方法研究有同样的重要性 软件是结构优化用于实际 结构的工具 航空工业首先刺激推动了结构优化的发展 也是目前开发和应用结构优化软 件的主要行业 目前已有的程序系统 如GENESIS 36 ASTROS 37 STAR 38 CATIA ELFINI 39 ACCESS 40 42 DDDU 43 一些大的商用有限元分析系统如 MSC NASTRAN也已把敏度分析及优化方法包含进去 44 结构优化有3个基础 一是计算机技术 二是结构分析的方法 三是数学规划的理 论 计算机的技术经过几十年的发展 无论是硬件还是软件水平都有很大提高 而且迅速 发展 为结构分析与优化提供了越来越好的实现环境 结构分析主要采用有限元分析方 法 有限元比结构优化略早 但几乎是同时发展的 但有限元方法相当完美的变分原理理 论基础及其良好的数值性质使它很快地被工程界所接受 并早已广泛应用 现已成为结构 力学等领域主要的分析工具 有限元技术为结构优化提供了可靠 强大的分析手段 数学 规划为结构优化奠定了良好的数学基础 目前严格数学规划方法能处理的变量和约束还不 多 主要是不能解决变量多 约束多这样的工程设计问题 如何把数学规划的理论应用于 结构优化设计 根据结构设计的特点提出通用性 效率及可靠性等均良好的方法正是30 几年来人们追求的目标 目前结构优化已有所应用 但仍没有被广泛接受 2 数学模型 数学建模是结构优化第一步 不管优化是静力问题 动力问题还是形状 拓扑问题或 者基于可靠性 控制问题 一般都可以非线性规划的形式表示出来 标准的非线性规划模 型如下 min f X s1t1 gj X 0 j 1 p gj X 0 j p 1 m XL X XU 其中f X 是目标函数 一般取结构重量 gj X 为约束函数 可包括物理方程 协 调方程 静或动态强度 刚度限制等 X X 1 X2 Xn T为设计变量 XU XL 分别为X上下限 关于该模形有必要做如下的说明 1 设计变量既可为连续的 又可为离散的 对于工程结构设计 变量通常是很多 的 2 目标函数 约束函数多数情况下是连续可微的 也有可能是非连续 不可微的 3 约束函数通常是隐式的 且具非线性性质 对不同的问题或者同一问题不同设计 683 航 空 学 报 第16卷 点 非线性程度都是不一样的 对每一组设计要做完全分析 计算量通常是很大的 因此 调用结构分析的次数通常是一个优化方法效率高低的重要指标 对于工程结构设计 约束 通常是很多的 3 算法的要求 7 10 11 45 一个方法的好坏 尤其按大型 复杂工程结构应用的观点 应按下列的几个方面衡 量 1 可靠性 reliablity 无论初始点在那里 均应收敛到某一局部最优点 这就是所 谓的可靠性或称全局收敛性 global convergence 鲁棒性 robustness 或稳定性 stability 2 通用性 generality 通用性是指算法能处理等式和不等式各种约束 并且对目 标 约束函数的形式没有限制 3 有效性 efficiency 算法应在较少的迭代次数内收敛 并且在每次迭代内应有较 少的计算量 结构优化问题主要以有限元分析次数衡量计算效率 敏度分析计算量也是重 要的指标 4 准确性 accuracy 准确性是指算法收敛到精确的数学意义上最优点的能力 在 实际应用中 对准确性不一定要求很高 但准确性良好的算法往往数学背景严密 有更好 的可靠性 5 易使用性 ease of use 软件要面向有经验和无经验二类设计人员 尤其是要对 于结构优化理论不熟悉的人员也能较快地掌握 这就要求算法不能有太多的人工调整的参 数 上述几项要求之间有的是相互抵触 有的是相互联系的 易于使用 精确度高的算法 通常可靠性也高 效率高的方法往往损失了一定的可靠性 反之亦然 可靠性 计算效率 和通用性是结构优化方法用于实际最重要的要求 4 结构优化方法的发展及其现状 411 数学规划法和优化准则法 1960年 Schmit 1 首先给出了用数学规划方法求解多种载荷情况下弹性结构设计的 数学表达 开始了现代结构优化的新时代 在这样的表达式中 结构优化设计成为在诸如 应力 位移 频率等性态函数约束下设计变量空间中目标函数的数学极值问题 由数学规 划方法来实现极值的搜索 结构优化的数学规划方法很快得到发展和应用 2 但是直接 采用数学规划理论需要很多次调用函数计算 并且随设计变量的增加而迅速增加 因而对 于实际结构的设计效率太低 经济性很差 使方法难于推广到工程结构设计 在这种背景 下 出现了所谓的优化准则法 1968年 Prager 47 等针对简单连续体问题提出了分析形式的优化准则 后经一系列 发展 46 50 这些形式准则通常称之为所谓连续型准则 COC Continum type Optimality 783第4期 许素强等 结构优化方法研究综述 Criteria 这种准则往往难于应用于实际 实际结构多离散化 即以有限元进行分析 因 此 实用的方法应是以离散化结构为对象的优化准则 即离散型优化准则 DOC Dis2 cretized Optimality Criteria 多数情况下 优化准则就指离散型优化准则 也是在1968年 Venkayya 51 提出了一个离散型优化准则 均匀应变能密度准则 标志着离散优化准则 得到极大重视的开始 几年内获得很大进展 5 6 51 58 导出了应力 位移 频率 屈曲 颤振等约束条件下结构的最佳准则 这类方法基于某一设计准则 建立一组相应的迭代公 式 按这组迭代公式修改设计 直至收敛 70年代 人们把数学中最优解应满足的Kuhn Tucker条件作为最优结构满足的准则 59 67 使通用性得到提高 理论性得到加强 优 化准则法最突出的特点是迭代次数少 且迭代次数对设计变量的增加不敏感 因而具有很 高的计算效率 优化准则也易于编程 所以在此期间 用于大型结构优化的实用软件多数 采用准则法 最近 Venkayya 6 把优化准则法推广到更加一般的系统优化并提出所谓复 合射线调整 6 68 69 以确保解的可行性 优化准则法虽然有较高的计算效率 然而在建立 迭代公式的过程中经常需要引入一些假设 这些假设往往与所研究问题的特点 如约束种 类等有关 因此方法的通用性受到限制 准则方法中 每次迭代必须选取主动约束集合 而临界约束估计的合理与否 直接影响收敛的速度 这就对选取临界约束有严格的要求 准则方法本身没有解决如何识别临界约束的问题 一般只跑用约束删除方法确定可能的临 界约束 一旦临界约束的选取出现一些失误 如有真实临界约束没被选入 就会引起收敛 过程的跳动等问题 更重要的是 准则法的递推公式缺乏数学基础 没有收敛性证明 也 许是引起迭代过程振荡或不收敛的原因 最近 Rozvany和zhou 70 73 把COC理论与有限元结合起来 提出一种所谓迭代的 COC算法 该方法目前仅能考虑应力约束 一个位移约束 但计算效率很高 求解的问 题规模 设计变量可达10万 100万 很大 并且已用于几何 拓扑优化 70 71 但该方 法尚难推广于任意约束的情况 通用性仍欠佳 文献 73 对于多位移 多应力 多载荷 情况做了一些探索 但一些假设是勉强的 这些研究使分析学派的思想向实际应用迈进一 步 并架起了分析方法与数值方法的桥梁 具有重要意义 在准则方法发展的同时 以数学规划为基础的结构优化方法一直没有间断 到70年 代中期Schmit 74 75 等提出了结构优化的近似概念 主要包括 设计变量链化 约束 暂时删除 利用导数信息对主动约束进行Taylor展开等 从而使规划方法有了新的生 命力 近似概念的引入 实际上将原问题转化成为一序列近似优化问题 通过求解近似问 题来逼近原问题的解 近似问题中的目标函数和约束函数均为显函数 故近似问题易于求 解 在整个近似问题的求解过程中无须再做结构分析 即每形成一个近似问题 只须一次 结构分析和敏度分析 故与结构优化概念引入初期 直接用数学规划理论求解方法相比 结构分析次数大大减少 其计算效率与准则法相当 文献 75 中近似问题采用NEW2 SUMT法 该方法是由罚函数 SUMT 改进而来 对于SUMT法 要求在整个寻优过 程中 设计须处于可行域 这在实际过程中往往不易实现 而NEWSUMT法将SUMT法 中罚函数光滑地延伸到非可行域 且保持原罚函数的最小值 故这种方法允许有非可行的 设计点 并能引导非可行设计返回到可行域 近似概念的提出大大改进了规划方法的计算效率 达到了结构分析次数与准则法同等 883 航 空 学 报 第16卷 的程度 但却保持了更好的通用性和更严密的数学基础 数学规划方法与优化准则方法的统一的主要标志是对偶法的出现 Fleury和 Sander 76 80 在原有最佳准则方法的基础上 提出了广义最佳准则以及用对偶公式求解结 构优化问题 并研究了准则法和规划方法的关系 接着Schmit和Fleury 40 41 80 82 提出了 近似概念和对偶方法结合的算法 进一步提高了规划法的效率 上述几项工作把数学规划 法和优化准则法联系并统一起来 钱令希等 43 83 利用Kuhn Tucker条件建立了修改设计 变量的迭代关系 用二次规划方法求解拉格朗日乘子也是一种准则法和规划法结合起来的 混合方法 对偶方法 对于准则法使其系统化 理论化 对于近似概念提高了求解近似子 问题的计算效率 它使原来相对立的二种方法统一起来 因而 具有重要的意义 对偶方 法将设计变量空间的寻优过程转化为对偶变量空间寻优 它要求目标函数和约束函数是变 量可分离的形式 且为凸问题 可分离性使设计变量和对偶变量有显式关系 凸性是对偶 方法本身所要求的 由于对偶变量少 且约束简单 所以易于求解 近似概念 特别是如何提高近似函数的精度问题是结构优化研究的重要方向 夏人伟 等 84 利用目标函数约束函数二阶Taylor展开构造近似函数 并利用对偶方法求解近似问 题 该方法提高了近似函数的精度 但完全的二阶敏度矩阵计算是费时的 该文对于应 力 位移约束 其二阶敏度分析采用了该作者在文献 85 提出的简化算法 仅保留二阶 敏度矩阵对角项 并可利用一阶敏度简单算出 这样该方法的效率就更高了 此后 该作 者又提出基于二次规划理论的准解析法 86 该方法通过目标函数的二阶Taylor展开及约 束函数的线性展开 建立原结构优化问题的近似问题 导出了其对偶问题的准解析式 因 而省去了对偶空间的寻优过程 Fleury 87 也利用了二阶信息建立了可用对偶方法求解的近 似问题 该方法线化约束函数 目标函数用拉格朗日函数的非完全二阶近似 该方法吸收 了序列二次规划 SQP 的思想 又保留变量可分离的形式 因而可以用对偶方法更有效 地处理近似问题 在采用近似概念时 迭代过程有时会出现振荡 主要原因是近似的精度不够 从数学 意义说 Taylor展开只能在展开点邻域内才有效 现象及理论分析都要求对变量变化施一 限制即移动限制 movelimit 移动限制的确定往往是经验性的 近似精度高低决定着是 放宽还是加紧限制 约束近似的进展之一就是发现对某些结构 如杆 膜结构 倒变量展 开往往比正变量展开得到更好的精度 尤其对于位移约束 这样的近似精度相当高 但对 于某些约束 比如局部屈曲 这种近似并不令人满意 往往引起收敛过程振荡 针对这个 现象 Starnes和Haftka 88 首先提出了保守近似 conservative approximation 的思想 以 确保迭代过程中 中间解尽量向可行域靠近 这从另一个方面减少了迭代振荡的可能 放 宽了移动限制 往往也加速了收敛 保守近似的具体做法是根据约束函数对某一变量的导 数正负决定约束对该变量或其逆变量做Taylor展开 这个思想由Fleury 89 91 Svan2 berg 92 等发展和拓广 Fleury等 89 91 把混合变量展开的思想用于全部函数即目标函数和 约束函数全体的近似 称凸线化 CONLIN CONvex LINearization 方法 Svanberg 92 提出移动渐近线方法MMA Method of Moving Asympotic MMA采用更一般的中间变量 zi 1 U i xi 或zi 1 x i Li 这里Ui和Li是迭代过程中需不断调整的参数 目标函数或约束函数以何种中间变量展开 要根据函数对相应原变量导数的正负确定 983第4期 许素强等 结构优化方法研究综述 MMA是CONLIN的推广 CONLIN是MMA的特例 MMA和CONLIN近似子问题都是 变量可分离的凸问题 都采用了对偶方法求解 CONLIN已用于连接体形状优化 90 及桁 架结构的几何优化问题 91 Samaoui 93 等利用二阶信息确定MMA中的Li和Ui 使Li Ui确定较为系统化 Nguyen等 94 对CONLIN做了理论上的分析 Longo 95 提出了理论 上更严格的保守近似方法 保守近似使中间设计点趋于可行 这对工程设计中有重要的价 值 但保守近似未必能提供更接近于原约束准确的近似 这在Haftka 96 的研究中已有所 证明 近似函数的近似精度与中间变量的选取有密切关系 合适的中间变量能有效地改善近 似的精度 中间变量有逆变量 40 75 混合变量 88 91 或指数形式具有自适应能力的变 量 97 102 等 对梁 板等结构 采用逆截面特性 面积及各种主惯性矩 为中间变量 能得到很好的位移近似质量 周明 夏人伟 69 针对梁 板等复杂结构提出了广义中间变 量思想 使位移 应力 屈曲约束等都能得到良好的近似 该广义中间变量采用截面特性 及一些细节尺寸变量的算式 选取合适的中间函数间接近似原函数也是提高近似质量的一种途径 节点力与应力相 比对设计变量较为不敏感 首先近似节点力再间接计算应力能使应力约束或局部屈曲约束 得到更好的近似精度 Vanderplaats与其合作者 36 103 107 提出了这种思想 并且把其应用 于杆系 梁系 壳结构的尺寸优化 以及杆系 连续体的形状优化 取得很好的效果 对于梁系等复杂结构的优化问题 采用广义中间变量近似约束 在细节尺寸变量空间 对近似问题寻优 69 103 这种处理方法能有效地降低结构分析次数 且保持通用性 多数函数的近似是基于一点函数值 一阶导数 部分二阶导数信息进行展开 基于二 点或多点信息的近似也有不少研究 97 100 108 Haftka 108 从多点逼近的角度出发 利用约 束函数在二点或三点的数值及一阶导数 通过投影关系引入Hermite插值多项式 导出了 基于二点和三点的约束函数逼近多项式 但是多点的Hermite插值多项式的阶数或最高指 数随着点数的增加而明显增大 其非线性程度往往比原函数高 黄季墀等 98 提出了一种 含自适应能力的结构综合方法 利用约束函数在当前设计点上的数值及对设计变量的导数 值 且考虑其在前一阶段设计点上的相应信息 由所谓的预报公式确定适当的变量空间 在该变量空间中对约束函数进行一阶Taylor展开 黄海等 99 把上述两种思想综合起来 构造了类似Hermite插值多项式的近似约束函数 并提供可以调整近似函数最高指数的参 数 该参数的确定借助于文献 98 的方法 使所构成的显式近似函数的非线性程度与真 实函数的非线性程度相符 且其在已知设计点的函数值及导数与原函数对应值相等 一般认为 具有显式的近似问题求解可用各种优化器不难完成 但当变量很多时 计 算量仍是很大的 针对该问题 周明等 69 提出了二级近似概念 即把近似问题进一步近 似 产生一个变量可分离的凸问题 用效率很高的对偶方法求该凸问题 黄海等 99 把多点 逼近与二级近似结合起来 得到了效率很高的结构优化方法 近似概念基本假设是序列近似子问题的解收敛于原问题的解 但这一点是难于保证 的 必须十分小心的选择移动限制 move limit 近似概念技术删去了严格数学规划方法 总是采用的一维线性寻优过程 线性搜索事实上是很多优化方法收敛的基础 基于这种考 虑 以Arora为代表的一批学者 11 109 110 认为 近似概念是不可靠的 他们采用更严格的 093 航 空 学 报 第16卷 处理方法 称之为严格的数学规划方法以区别于数学规划方法中的近似概念 程耿东等 111 采用粗糙线性搜索 Shyy等 112 构造了近似线性搜索过程即所谓伪线性 搜索 pseudo line search 以改进近似概念的可靠性 20几年来 非线性规划本身也有很大进展 113 114 几乎所有重要的方法都对结构优 化问题做了试验 10 11 109 110 Arora 10 做了系统的综述 Belegundu和Arora 109 对各种数 学规划方法做了较为全面的比较 序列二次规划法SQP是数学规划近20年研究热点 被 认为是最有效 最可靠的算法之一 它对于结构优化问题的可靠性和有效性也得到验证 尤其是采用了主动约束策略 SQP应用近似的拉格朗日Hessian矩阵 对于大型复杂问 题 对Hessian矩阵的操作和贮存就会大大增加 会限制其应用 最近 Arora Li 115 提 出 了所谓约束共轭梯度法 constrained conjugate directions methods 仅利用一阶导数信 息 避免SQP中Hessian矩阵的操作和贮存 对大型结构更有效 412 计算机实施及专家系统 在第1节已列举了一些著名的程序系统 本节具体地讨论一些计算机实施问题并介绍 一些结构优化的专家系统 结构优化方法必须在计算机上实施才能用于实际 把算法变成计算机程序是一门艺 术 理论上收敛的算法可能由于编程不当要么不收敛 要么不可靠 要得到可靠性好的程 序既需要理论上的认识也需要大量的经验 110 116 每一种优化算法运行时总有一些参数需 要事先确定或运行过程中调整 一个算法最基本的要求就是在允许的范围内无论采用何种 参数值都应收敛 相应的软件应能反映这种要求 软件系统很复杂 必须模块化 允许方 便地修改和扩展 必须采用先进的软件管理思想 面向对象的编程概念 object oriented programming concepts 数据库设计技术 及数据库管理系统 对于结构优化问题的软件 设计已有所应用 117 118 人工智能和专家系统在结构优化领域也得到相当多的研究 117 128 起因主要有两个 方面 首先 仅用数值的方法还难于解决结构优化的全部问题 还需要专家的经验和判 断 尤其是在某些设计阶段象概念设计阶段 初始设计或拓扑布局设计阶段 第二 结构 优化的过程要求有限元建模 优化设计建模 优化策略及参数选择 优化结果的质量大大 依靠设计者对上述几个方面的认识和理解 一般地 只有少数专家才能合理 准确 有效 地处理 显然 有必要形成一个集成系统 能够自动完成上述的一系列工作以有利于一般 设计者使用 大型复杂结构设计是耗时的 有必要交互式监控优化的过程 监控的对象可包括目标 函数 约束 设计变量 最大约束违犯及其设计迭代史 如果迭代过程不尽满意 应能暂 停以检查问题模型是否有误 一些敏度信息也可监控 例如对某些变量敏度值很小 可考 虑将其抽出 这种交互式优化技术应用可见文献 117 118 121 Prasad 129 提出组成 完整系统的思想 系统要求有完整的分析能力及各种可以选择的优化方法 他建议系统中 各模块之间采用非固定的灵活方式连接 既可按预定的路径命令自动完成设计 也可利用 屏幕给操作人员提供各种信息 人机交互地判断 修改以及选择适当的方法和参数 Chen和Hajela 125 126 开发的专家系统OPSYN 在系统的知识库中包括了有限元建模 优 化建模 优化策略选择和参数选择的规则 推理机具有正向和逆向推理能力且有详细的解 释功能 具有知识编辑功能和自动知识获取系统 Schittkowski 127 开发的集成系统LA2 193第4期 许素强等 结构优化方法研究综述 GRANGE以支持结构优化设计求解的全过程 一旦有限元描述结构完毕 系统可指导用 户定义优化模型即约束 变量链结 优化算法选择 产生格式化的输入文件 对结果进行 评判 该系统可以自学习 利用规则建议适当的优化算法并可对错误给出修正 Balachan2 dran Gero开发的OPTIMA 128 接受用户拟自然语言形式描述优化问题 并把它变成规范 的数学形式 能够识别设计变量 目标函数及约束函数的类型 并选择适当的算法 完成 求解过程 对于概念设计的专家系统 文献 123 130 131 做了一些探索 试图在给定支持 载荷条件下寻找最优布局或拓扑设计 最近Rodriguez Seireg 132 对于连续体形状优化问 题 提出了一种所谓算法规则基的方法 algorithm rule based methodology 建立了一套 规则 每次迭代 根据有限元分析结果 按这些规则修正形状 目前 专家系统的主要成就是系统的组织 然而最重要的是知识的获取 只有具备足 够的专家知识才能使专家系统走向实用 专家知识急待总结而又不易总结 5 结构优化研究的前景 1 可靠性 有效性算法的研究 关于更有效 更可靠 更通用的方法研究将继续 这要更多地依靠非线性规划本身的发展 近似概念有较高的效率 但可靠性尚需提高 应 着重研究提高其可靠性 把移动限制的确定系统化是使该方法可靠性提高的途径之一 Bloebaum 133 提出一种变量移动策略 他利用Kreisselmeier Steinhauser K S 函数 把所有约束包络起来 根据该函数对各设计变量导数的大小分布决定各设计变量的移动极 限 取得了较好的效果 2 并行算法 parallel algorithms 结构优化的巨大计算量 要求更快的计算机处理 速度 平行处理是提高计算机处理速度的重要技术 并行机越来越多 这就要求研究结构 优化的并行算法 并行优化算法已有所研究 134 135 但还不多 EL Sayed等 135 把原结 构分成几个子结构 各个处理器分别进行各子结构的有限元分析并相互之间通信联系 把 这个平行的有限元分析过程与寻优方法结合便形成了一个完整的并行结构优化方法 Wang等 134 把结构优化的分析部分用总势能最小来代替 将整个结构优化算法变为交替 地执行总势能最小和目标函数最小的迭代过程 这个方法勿需组装和求解总刚度矩阵 主 要操作均在单元级上执行 例如结构总势能的计算 可以根据处理器数目将单元分为若干 组 每个组串行处理 组间平行计算 3 高层次优化问题 全局最优解问题 拓扑 布局 离散量优化问题等 目前还没 有一套行之有效的方法 这些问题都要求数学规划的全局寻优方法 然而还没有足以满足 工程要求的有效的全局寻优技术 对于这些要求 恐怕一要利用计算机处理能力的提高 二要采用模糊数学等方法 变追求精确解为追求满意的弱解方式 4 软件系统开发 实际应用要求继续开发可靠性高 用户界面好 求解能力强的软 件系统 特别要结合商用大型有限元程序 软件要易于维修和扩展 人工智能和专家系统 将进一步应用于软件的开发 5 实际应用 结构优化技术将进一步在实际工程中应用 实际结构设计包含的因素 广泛 优化方法解决问题的同时也得到更好验证 293 航 空 学 报 第16卷 参 考 文 献 1 Schmit L A Structural design by systematic syntheris Proc 2nd conf Electronic comp ASCE New York 1960 105 122 2 Schmit L A AIAA J 1981 19 10 1249 1263 3 Schmit L A Structural optimization some ideas and insights in Atrek E et al Eds New Direction in Optimum De2 sign New York Wileg 1984 4 Schmit L A Symposium summary 13 205 228 6 Venkayya V B Comp Mech 1989 5 1 21 7 Vanderplaats G N AIAA J 1982 20 7 992 1000 8 Vanderplaats G N Numerical methods for shape optimization an assesment of the state of the art In Atrek E et al Eds New Direction in Optimum Design New York Wiley 1984 9 Levy R Lev O E J of Structural Engineering ASCE 1986 24 5 799 808 10 Arora J S Structural Safety 1990 7 131 148 11 Thaneder P B Arora J S et al Structural Optimization 1990 2 203 212 12 蔡荫林 力学学报 1984 14 3 275 286 13 程耿东 力学与实践 1992 14 1 1 6 14 Bennett J A Botkin M E Eds The optimum shape automated structural design New York Plenum press 1986 15 Topping B H V J Struct Eng ASCE 109 1983 1933 1951 16 Ohkubo S Nakajima T Asai K Total optimization of truss considering shape material A unified Approach Edited by Morris A J John wiley 13 47 64 21 Thaneder P B Structural optimization using probablistic constraints AIAA 91 0922 CP 22 Rojiani KB Bailey GL Reliability based optimum design of steel building in Atrek E et al Eds New Direction in Optimum Structural Design Wiley 111 11 24 王光远 王文泉 计算结构力学 1 2 67 73 25 Rao S S et al Comput Struct 1992 42 1 199 205 26 Rao S S et al A Fuzzy goal programming approach for structural optimization AIAA 92 2501 CP 27 Furuta H et al Application of fuzzy mathematical programming in structural optimization Comput util Struct Eng 1989 201 216 28 Koyama K Fuzzy nonlinear 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