概率论点题(老师点题)大部分必考 附详细解答过程.doc

5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 迟到，坐火车，坐船，坐汽车，乘飞机，则 ，且按题意，.由全概率公式有：7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解 8发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率。解 记 收到信号，发出信号(1) (2) .9设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件次品，因此 11已知独立，且，求.解 因，由独立性有从而 导致 再由 ，有 所以 。最后得到 12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。解 记 命中目标，甲命中，乙命中，丙命中，则 ，因而16设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.解 记在第次试验中出现， 依假设 所以， ， 此即 .第四章13. 设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以解得；（2）；（3） = = = = 16. 设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解 X的密度函数为 ； 其他.方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为19. 设随机变量X的分布函数为，求(1) 常数；(2)；(3) 随机变量X的密度函数。解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即 计算后得 解得 另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。（2） （3）X的密度函数。20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为；（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。解. 由均匀分布的定义知 由指数分布的定义知 因为X与Y独立，易得的联合密度函数 y 0.2 x 图5.3概率，其中区域见图5.3，经计算有。 12. 设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）系数；（2）；（3）证明X与Y相互独立。解 （1）必须满足，即，经计算得；（2）；（3）关于X的边缘密度函数 = 同理可求得Y的边缘密度函数为 易见，因此X与Y相互独立。13. 已知二维随机变量的联合密度函数为 （1）求常数；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？解 （1）满足，即解得；（2）X的边缘密度函数 = Y的边缘密度函数为 = （3），而，易见，因此X与Y不相互独立。14. 设随机变量X与Y的联合分布律为XY01012且，（1） 求常数的值；（2）当取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？解 （1）必须满足，即，可推出，另外由条件概率定义及已知的条件得由此解得，结合可得到，即 （2）当时，可求得，易见因此，X与Y不独立。第六章4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。解 圆面积，由于X均匀取中的值，所以X的密度函数 且为单调增加函数，其反函数，Y的密度函数为 = 5. 设随机变量X服从正态分布，试求随机变量的函数的密度函数。解 ，所以，此时不为单调函数不能直接利用性质求出。须先求Y的分布函数。 . = . 设二维随机变量的联合分布律为XY（） 求的分布律；（） 求的分布律。解 （）随机变量可能取到的值为，中的一个，且综合有概率（）随机变量可能取到的值为，中的一个，且同理可求得综合有概率. 设二维随机变量服从在上的均匀分布，其中为直线，所围成的区域，求的分布函数及密度函数。解 的联合密度函数为-2 0 2 x 图6.2 y 2 设，则的分布函数 其中区域，当时，积分区域见图6.2，此时-2 0 2 x y 2当时，积分区域见图6.3，此时-2 0 2 x y 2图6.4图6.3其中是区域限在中的那部分。当时，积分区域见图6.4，此时-2 0 2 x y 2图6.5其中是区域限在中的那部分。当时，积分区域见图6.5，此时。综合有 的密度函数 第七章2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知，求的值。解3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求的数学期望。解 所以 故 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在2000，4000（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美