第三章 多维随机变量及其分布.doc

第三章 多维随机变量及其分布I 基本要求1、了解多维随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解二维随机变量的分布函数的概念与性质；理解二维离散型随机变量的分布列、二维连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、理解二维随机变量的边际分布函数、边际分布列、边际密度函数；4、理解随机变量的独立性概念；5、会求两个独立随机变量的简单函数的分布；II 内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设，为随机变量，则称它们的有序数组（）为二维随机变量.设（）为二维随机变量，对于任意实数、，称二元函数为（）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）是变量或的非减函数；（2）且；（3）关于右连续，关于也右连续；（4）对任意点，若，则.上式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布律.表3.1 联合分布律具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有 ，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数，有；（2）；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称，分别为关于和关于的边缘分布函数. 当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布律.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、随机变量的独立性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立.设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是.设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对任何实数，有.6、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.的分布：若为离散型随机变量，联合分布律为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.疑 难 分 析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.III基本练习1、一个箱子共有100个灯泡，其中一、二、三等品分别为80个、10个、10个.现从中随机抽取一个，记、求的联合分布列？解：依题意有、所以的联合分布列为0101/108/1011/1002、设二维随机变量的联合分布函数为 求：(1) 未知常数、；(2) 联合密度函数；(3) ？解：(1) 因为为分布函数，所以，又有、可得；又有，可知；(2) ；(3) .3、设随机变量、均服从上的均匀分布，且，求？解：又因为、均服从上的均匀分布，所以有，故.4、求第1题中关于、的边际分布列？解： 的联合分布列为0101/108/1011/100可知、，所以的边际分布列为011/54/5同理可求的边际分布列为019/101/105、设二维随机变量的联合密度函数为求：(1) 未知常数；(2) 、？解：(1) 因为，所以有，计算积分可得，即；(2) ；.6、求第2题中关于、的边际分布函数？解：第2题中的联合分布函数为 所以、的边际分布函数的边际分布函数分别为 ； .7、求第5题中关于、的边际密度函数？解：第5题中的联合密度函数为记、分别为、的边际密度函数，则有；.8、设二维随机变量的联合密度函数如下：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；求：(1) 未知常数；(2) 关于、的边际密度函数？解：(1) 由得，计算积分可得，即；于是，、的边际密为 ； ；(2) 由得，计算积分可得，即.于是，、的边际密度为；.(3) 由得，计算积分可得，即.于是，、的边际密度为；.(4) 由得，计算积分可得.于是，、的边际密度为；.9、设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求关于、的边际密度函数？其中区域为：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) 易知的联合密度函数为；、的边际密度为；.(2) 的联合密度函数为；、的边际密度为；.(3) 的联合密度函数为：；、的边际密度为；.10、二维随机变量的联合分布列为2580.40.150.30.350.80.050.120.03判断、是否独立？解：易求、的边际分布列为0.40.80.80.22580.20.420.38因为，所以、不独立.11、设的联合分布列为12311/61/91/1821/3问、取什么值时，、独立？解：易求、的边际分布列为：121/31/3+1231/21/9+1/18+、独立时有，可知，得；又由得分布列可知，即.12、判断第8题各小题中、是否独立？解：(1)的联合密度函数为 ；、的边际密度为 、 易知，有，故、相互独立.(2) 的联合密度函数为、的边际密度为、易知，有，故、相互独立.(3) 的联合密度函数为、的边际密度为、易知，故、不独立.(4) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，故、不独立.13、判断第9题各小题中、是否独立？解：(1) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，故、相互独立.(2) 的联合密度函数为；、的边际密度为；易知，有，所以、不独立.(3) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，所以、不独立.14、设的联合分布列为-10100.300.310.10.20.1求如下随机变量函数的分布列？(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解：由的分布列可知0.300.30.10.20.1-101012000-101001111-100-101所以有(1) 的分布列为-10120.30.10.50.1(2)