2019版高考数学复习第七章立体几何课时达标45立体几何中的向量方法二求空间角和距离.docx

第45讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离解密考纲空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，距离主要是点到直线的距离或点到平面的距离，这些知识有时在选择题或填空题中考查，有时在解答题立体几何部分的第(2)问或第(3)问考查，难度适中一、选择题1已知三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，则PS的长度为(D)A9BCD3解析 由条件可分别以SA，SB，SC为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz，则点S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(，1，)，由两点之间的距离公式可得PS3.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)A30B45C60D90解析 不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，所以(0,1,1)，(1,0,1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)ABCD解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则(B)AlBlClDl与斜交解析 u2a，ua，则l.5已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(B)ABCD解析 如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP的长为2.故PAO，即PA与平面ABC所成的角为.6已知三棱锥SABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(D)ABCD解析 如图所示，过点A作ADBC于点D，连接SD；作AGSD于点G，连接GBSA底面ABC，ABC为等边三角形，BCSA，BCADBC平面SAD又AG平面SAD，AGBC又AGSD，AG平面SBCABG即为直线AB与平面SBC所成的角AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG，sinABG.二、填空题7在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为_.解析 如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .8如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_.解析 不妨令CB1，则CACC12，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，0.所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_.解析 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A1(0,0,1)，E，F，D1(0,1,1)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又，点F到平面A1D1E的距离为d.三、解答题10如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；(3)求平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小解析 (1)证明：取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF.E，F分别是AB1，AB的中点，EFBB1，且EFBB1.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，D是CC1的中点，CDEF，且CDEF，四边形CDEF为平行四边形，DECF.ABC是正三角形，CFAB三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1CF，而BB1ABB，CF平面ABB1A1.DECF，DE平面ABB1A1.DE平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C(0，a,0)，D，B1(0,0，a)，(0，a,0)，设异面直线AB1与BC所成角为，则cos ，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.(3)由(2)得，.设n(1，y，z)为平面AB1D的一个法向量由得即n.显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)则cosm，n，故m，n.即所求二面角的大小为.11(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解析 (1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.12(2017天津卷)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解析 如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则因为(0，2，1