2019版高考数学复习立体几何课时达标检测三十四空间几何体的表面积与体积.docx

课时达标检测(三十四）空间几何体的表面积与体积练基础小题强化运算能力1下列结论中错误的序号有_各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：错误，如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；错误，如图(2)，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾显然正确答案：2(2018南通中学高三月考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1 的中点，则三棱锥MAB1C的体积是_解析：因为VMAB1CVABCA1B1C1VAA1B1MVB1ABCVCB1C1M，所以VMAB1C222222222222.答案：3已知某圆锥体的底面半径r3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是_解析：由已知可得沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2r6，从而其母线长为l9，所以圆锥体的表面积为S侧S底96936.答案：364.(2018陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCm，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析：由PD底面ABCD，得PDAD.又PDm，PAm，则ADm.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP ABCDVO ABCDVO PADVO PABVO PBCVO PCD，即m2mm2Rm2Rm2Rm2Rm2R，解得R(2)m，所以此球的最大半径是(2)m.答案：(2)m5(2018常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为_解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S12rh2r2.圆锥的母线lr，故圆锥的侧面积为S22rlr2，所以.答案：练常考题点检验高考能力一、填空题1已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是_解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r2(2r)2a，r2，2r.答案：2(2018苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是_解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V2222.答案： 3已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2，解得R1，所以VR3.答案：4已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为_解析：如图所示，过顶点A作AO底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连结DO并延长交BC于E，又正四面体的棱长为，所以DE，ODDE，所以在直角三角形AOD中，AO.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连结PD，则在直角三角形POD中，PD2PO2OD2，即R222，解得R，所以外接球的表面积S4R23.答案：35(2018无锡期中)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR，又由题意得r2，则r1.由勾股定理得，R2r2OH2，故R212，即R2.由球的表面积公式得，S4R2.答案：6(2018苏州十中月考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60的菱形，侧棱PA底面ABCD，PA3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为_解析：因为SADM2SABCSABMSMDC24sin 6021sin 6021sin 120，且侧棱PA底面ABCD，所以VMPADVPAMD3.答案：7在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为_解析：，点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的，即三棱锥PMBC的高h1.M为线段B1C1上的点，SMBC33，VMPBCVPMBC1.答案：8(2018启东中学月考)将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_解析：V球13，V柱244.设重新锻造成一个大铁球的半径为R，则R34，R，则该大铁球的表面积S4()28.答案：89(2017徐州市四模)若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为S1，S2，则的值是_解析：设球的半径为r，则圆锥的底面半径和高分别为r,2r，则圆锥的母线长为r，其侧面积Srlr2，所以.答案：10.(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当ABC的边长变化时，设ABC的边长为a(a0)cm，则ABC的面积为a2，DBC的高为5a，则正三棱锥的高为，25a0，0a5，所得三棱锥的体积Va2 .令t25a4a5，则t100a3a4，由t0，得a4，此时所得三棱锥的体积最大，为4 cm3.法二：如图，连结OD交BC于点G，由题意知，ODBC.易得OGBC，设OGx，则BC2x，DG5x，SABC2x3x3x2，故所得三棱锥的体积V3x2x2.令f(x)25x410x5，x，则f(x)100x350x4，令f(x)0，即x42x30，得0x2，则当x时，f(x)f(2)80，V4.所求三棱锥的体积的最大值为4.答案：4二、解答题11(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解：(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APPDP，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.12(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连结O